海南中学2024-2025学年度第二学期第一次月考
高一数学试题
（满分：150 分；考试时间：120 分钟）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知在 ABC中， AB 2,AC 1,cosA
5
，则 BC （ ）
6
A 1 B 5 C 5 D 15． ． ． ．
2 3 3
【答案】D
BC 2 AB2 AC 2【详解】由余弦定理得 2AB·AC cos A 22
5 5
12 2 2 1 ，
6 3
BC 15所以 ．故选：D．
3
r
2．已知向量 a (3,1)，b (3,2)， c (1, 4)，则 cos a,b c （ ）
A 5 5 5 5． B． C． D．
5 5 3 10
【答案】A
【详解】
因为 b c (2, 2)，
cos a, c a (b c) 3 2 1 ( 2)所以
4 5 b
a b c 2 ．3 12 22 2 2 10 2 2 5
故选：A.
π 3 π 3．已知 为第二象限角，且 sin 6
，则 cos 2 （ ）
3 6
A 2 2 B 2 2 C 2
2
． ． ． D．
3 3 3 3
【答案】B
π
【详解】由于 为第二象限角，则 2kπ π 2kπ, k Z ,
2
2π 2kπ π 7π则 2kπ,k Z，
3 6 6
由 sin π 3
2π
0可得 2kπ
π
π 2kπ,k Z，
6 3 3 6
4π
4kπ 2 π 2π 4k π,k Z，
3 3
2
π cos 2 =1 2sin
2
π 3 1 1 2
3 6
3
，
3
试卷第 1页，共 14页
{#{QQABJQIAggAIQIIAABhCQQHACgGQkBEACCoORAAIMAIACRNABAA=}#}
cos 2 π = 1由于 0 ，
3 3
3π 4kπ 2 π所以 2π 4k π,k Z，故 sin 2
π
=
2 2
，
2 3 3 3
所以 cos
2
π
cos
2
π π
sin 2 π 2 2
6
，
3 2 3 3
故选：B
4．如图所示，为测量河对岸一点C与岸边一点A之间的距离，已经测得岸边的A，B两
点间的距离为m， CAB ， CBA ，则C，A间的距离为（ ）
msin msin m sin m sin
A． B． sin C．sin sin D． sin
【答案】C
AB AC
【详解】因为 ，
sin ACB sin ABC
AB sin ABC m sin
所以 AC sin ACB sin .
故选：C.
π
5．在 ABC中，已知 A ，a 2，若 ABC有两解，则（ ）
6
A． 2 b 4 B．b 4 C． 2 b 4 D．0 b 2
【答案】C
【分析】根据正弦定理及图形关系得到bsinA a b即可得到答案.
【详解】
如上图所示，要使 ABC有两解，则以 B为圆心，2为半径的圆与射线 AC有两个交点，
ABC有两解的充要条件为bsinA a b，代入题设得 2 b 4 .
故选：C.
试卷第 2页，共 14页
{#{QQABJQIAggAIQIIAABhCQQHACgGQkBEACCoORAAIMAIACRNABAA=}#}
6．设G为 ABC的重心，则GA 2GB 3GC （ ）
A．0 B． AC C． BC D． AB
【答案】B
【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解.
【详解】因为G为 ABC重心，
所以GA GB GC 0，
所以GA 2GB 3GC 2GA 2GB 2GC AG GC AC，
故选：B.
7.如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，其对称中心 O 平分线段 MN，且MN 2BC，
点 E 为 DC 的中点，则EM EN ( )
A．1 B．3 C．-1 D．-3
【答案】D
【解析】由题可知MN 2BC 4,OM 2,OE 1，
EM EN EO OM EO ON
EO OM 2 2EO OM EO OM 1 4 3 ,选 D
π
ABC AC BC8. 中， sin B cos 2A，则 的取值范围是（ ）
2 AB
1 1 1 1 2 1 2
A． 1， B． ， C． ， D． ，
2 3 2 2 3 3 3
【答案】B
π
【分析】化简得到 cosB cos2A
，从而得到 2A B，得到C π 3A， A 0, ，利用
3
AC BC 1 AC BC
正弦定理得到 ，从而得到 的取值范围.
AB 2cos A 1 AB
【详解】 sin
π
B
cos B cos 2A，
2
在 ABC中， A,B 0, π ，故 2A B或2A B 2π，
B
当 2A B 2π时， A π，故 A B π，不合要求，舍去，
2
所以 2A B，C π A B π A 2A π 3A，
A,B 0, π 2A 0, π A 0, π 因为 ，所以 ，即 ，
2
因为C π 3A 0, π A π ，所以 0, ，
3
AC AB BC
由正弦定理得 ，
sin B sinC sin A
试卷第 3页，共 14页
{#{QQABJQIAggAIQIIAABhCQQHACgGQkBEACCoORAAIMAIACRNABAA=}#}
故
AC BC sin B sin A sin 2A sin A 2sin Acos A sin A 2sin Acos A sin A
AB sinC sin π 3A sin 2A A sin 2Acos A cos2Asin A
因为 A 0, π ，所以 sin A 0，
AC BC 2cos A 1 2cos A 1 2cos A 1
故 AB 2cos2 A cos2A 4cos2 A 1 2cos A 1 2cos A 1 ，
因为 A
0, π ，所以2cos A 1 0，
3
AC BC 1
故 ，
AB 2cos A 1
π 1
因为 A 0, ，所以 cos A ,1 ， 2cos A 1,2 ， 2cos A 1 2,3 ，
3 2
AC BC 1 1 1
故
， .
AB 2cos A 1 3 2
故选：B
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积
有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角
形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分
9．已知函数 f x 2cos 2x
π
,则下列描述正确的是（ ）
6
A．函数 f x 的最小正周期为 π
x πB． 是函数 f x 图象的一个对称轴
6
π
C． , 0 是函数 f x 图象的一个对称中心
3
π
D．若函数 f x 的图象向左平移 个单位长度可得函数 g x 的图象,则 g x 为奇函
6
数
【答案】ACD
【分析】
π
对于 A根据最小正周期公式求解即可;对于 B,C,求解 f , f
π 的值即可判断;对于
6 3
D,先根据条件得到平移后的函数解析式,再利用奇偶性定义判断即可.
试卷第 4页，共 14页
{#{QQABJQIAggAIQIIAABhCQQHACgGQkBEACCoORAAIMAIACRNABAA=}#}
【详解】
f x 2cos 2x π T 2π函数 的最小正周期 π2 ,故 A正确; 6
f π 2cos
2
π π
2cos
π
0 ,所以 f x π关于 ,0
对称,故 B错误;
6 6 6 2 6
f π 2π π π π 2cos
2cos
0 ,所以 ,0 是函数 f x 图象的一个对称中
3 3 6 2 3
心,故 C正确;
g x π 2cos 2 x π π根据题意 2cos
2x 2sin 2x,
6 6 2
则 g x 2sin 2x 2sin 2x g x ,所以 g x 为奇函数,故 D正确.
故选:ACD.
10．已知 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，则以下四个命题正确的有（ ）
A．当 a 5, b 7, A 60 时，满足条件的三角形共有1个
B．若 sin A : sin B : sinC 3 : 5 : 7则这个三角形的最大角是120
C．若 a2 b2 c2，则 ABC为锐角三角形
D．若C ， a2 c2 bc，则 ABC为等腰直角三角形
4
【答案】BD
【分析】利用正弦定理求得 sin B 1,即可判定 A错误；利用正弦定理转化为边的比值，
进而利用余弦定理求得最大角的余弦，得到最大角的值，对 B作出判定；注意到三角形
的各个角的情况，周全考虑，即可判定 C错误；根据已知条件,综合使用正余弦定理可
求得角 A的值，进而证明 D正确.
7 3
【详解】对于Ａ， sin B bsin A 7 3 2 1，无解，故 A错误；
a 5 10
对于 B,根据已知条件，由正弦定理得： a :b : c 3:5 : 7 ,
a2 b2 2
不妨令 a 3 ,则b 5,c 7 , c 9 25 49 1最大角C的余弦值为： cosC ,
2ab 30 2
∴C 120 ，故 B正确；
对于 C，由条件，结合余弦定理只能得到 cosC 0 ,即角C为锐角，无法保证其它角也为
锐角，故 C错误；
2 2 2 2
对于 D, cosC a b c b bc b c cos 2 ,得到b c 2a ,
2ab 2ab 2a 4 2
2 2 2 2
又 a c bc, a bc c c b c 2ac,
a 2c ,
试卷第 5页，共 14页
{#{QQABJQIAggAIQIIAABhCQQHACgGQkBEACCoORAAIMAIACRNABAA=}#}
sin A 2 sinC 2 sin 1, A ,
4 2
ABC为等腰直角三角形，故 D正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查正余弦定理，熟练掌握并灵活运用正余弦定理是关键.
11．如图， ABC中，BD
1 1
BC，点 E在线段 AC上，AD与 BE交于点 F，BF BE，
3 2
则下列说法正确的是（ ）
2 1 2
A． AD AB AC B． AE EC
3 3 3
C． AF 2BF CF 0 D． S△BFD :S△AFB 1:3
【答案】ACD
【分析】
2 1 uuur uuur
由已知可得 BD :DC 1: 2，进而可得 AD AB AC，判断 A；设
3 3 AE AC
，利用
3
A，F ，D共线可求 ，进而可判断 B；根据 AF AD4 ，利用三角形面积比可判断 D；
根据向量的线性运算可判断 C．
【详解】
对于 A：根据 BD
1
BC，
3
1 1 AD AB BD AB BC AB AC AB 2 1 故 AB AC，故 A正确；3 3 3 3
uuur uuur
对于 B：设 AE AC，则 BE AE AB AC AB,BF
1
BE 1 1 AC AB,
2 2 2
1 1 2 1 AF AB BF AB AC ，又 AD AB AC，
2 2 3 3
1 1 2 1
A， F ，D三点共线， AF mAD AB AC m AB AC
，2 2 3 3
1 2 1 1 1 3 1 = m且 = m， ,m ，故 AE AC2 4 ，故 B错误；2 3 2 3 2
3
对于 D：由于m ，故 AF
3
AD
4 4 ，
S BFD : S AFB FD : AF 1:3，故 D正确；
3 3 2 1 1
对于 C: AF AD AB AC AB
1
AC ，
4 4 3 3 2 4
试卷第 6页，共 14页
{#{QQABJQIAggAIQIIAABhCQQHACgGQkBEACCoORAAIMAIACRNABAA=}#}
1 1 1 1 BF AC AB AC AB ，
2 2 4 2
3 CF CA AF CA AD -AC 1 AB 1+ AC 1 3= AB AC，
4 2 4 2 4
1 1 AF 2BF CF AB AC 2 1
1
AC AB 1
3
AB AC 0，故 C正确．
2 4 4 2 2 4
故选：ACD．
【点睛】
关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握平面向量的线性运算与基底法，从而得解.
三．填空题: 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12．在 ABC中，内角A， B，C所对的边分别为 a，b， c，已知 A 45 ， B 60 ，
b 3，则a ___________
【答案】 = 2
b a 3
2
3 a
【详解】由正弦定理 ，得 ，所以 a 2 2 .
sin B sin A sin60
sin 45 3
2
13 ．若向量 a,b 满足 a 1,1 , b 1，且 a 在b 上的投影向量为 b，则
a b b .
【答案】0
a b b
【详解】由题意知， a在b上的投影向量为 bb b ，
由 b 1，得 a b 1，
2 2
所以 (a b) b a b b 1 b 0 .
故答案为：0
π 1
14.已知向量 a，b 夹角为 ， b 2，若对任意 x R ，恒有 b xa b a，则函数3 2
f t tb a 1 tb a t R 的最小值为 .
2
【答案】 7
【分析】先根据向量的夹角、模长及恒成立求出 a 2，利用距离和的最值求解 f (t)的
最小值.
1 22
【详解】因为 b xa b a ，所以
2 b xa b
1
a ，
2
试卷第 7页，共 14页
{#{QQABJQIAggAIQIIAABhCQQHACgGQkBEACCoORAAIMAIACRNABAA=}#}
2 1 2 2
整理可得 a x 2 a x a a 0，
4
2 2 1 2
因为对任意 x R ，上式恒成立，所以 4 a 4 a a a
4
0 ；
1 2
由题意知 a 0，所以 1 a 0，所以 a 2 .
2
1 2 2 2f (t) tb a tb a 1
2
t 2 b a 2tb a t 2 b a tb a
2 4
2 2
4t 2 4t 4 4t 2 2t 1 2
t 1 3 1 3
t
2 4 4 16
2
t 1 3 1
2 3
(0 )
2 t
(0 )
2
2 2 4 4
1 3 1 3
可以看作点 P t,0 与点 A , , B , 的距离之和；
2 2 4 4
1 3 7
如图，点 B关于 x的对称点为 B , ，则 PA PB PA PB AB 4 4
；
2
所以 f (t)的最小值为 7 .
故答案为： 7 .
四．解答题：本题共 5小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．(13分)已知平面向量 a 1, x ，b 2x 3, x ， x R．
(1)若a b，求 x的值；
(2)若 a ∥b，求 2a b 的值．
【详解】（1）若 a b，则 a b 1,x 2x 3, x 1 2x 3 x x 0 ．
整理得 x2 2x 3 0，解得 x= 1或 x 3．
故 x的值为 1或3．
试卷第 8页，共 14页
{#{QQABJQIAggAIQIIAABhCQQHACgGQkBEACCoORAAIMAIACRNABAA=}#}
（2）若 a∥b，则有1 x x 2x 3 0，即 x 2x 4 0，解得 x 0或 x 2．
当 x 0时， a 1,0 ，b 3,0 ，∴ 2a b 1,0 ，∴ 2a b 1．
当 x 2时，a 1, 2 ，b 1, 2 ，∴ 2a b 3, 6 ，∴ 2a b 32 6 2 3 5 ．
综上， 2a b 的值为 1或3 5．
16．（15分）如图，在 ABC中，已知 AB 2，AC 4， BAC 60 ，BM MC，AN NC，
AM，BN相交于点 P.设 AB=a， AC b .
(1)用向量 a，b表示 BN ；
(2)求 AM ， BN 夹角 的余弦值.
1
【答案】(1) BN b a
2
(2) 7
14
【分析】（1）根据向量的线性运算求解；
（2）由题意可得 AM
1 a 1 b，结合数量积的定义以及运算律运算求解.
2 2
uuur uuur uuur 1uuur uuur 1r r
【详解】（1）由题意可得： BN AN AB AC AB b a .
2 2
uuur uuur uuur uuur 1uuur uuur 1 uuur uuur 1uuur 1uuur 1 r 1 r
（2）因为 AM AB BC AB BC AB AC AB AB AC a b ，2 2 2 2 2 2
r r r r
由题意可得： a b a b cos60 2 4
1
4
2 ，
uuur 22
BN 1
r r 1 r2 r r r2
可得 b a b a b a 4 4 4 4，
2 4
uuur2 r r 2 r2 r r r2
AM 1 1 1 1 1 a b
a a b b 1 2 4 7，
2 2 4 2 4
uuur uuur 1 r r 1 r r r2 r r r2BN AM b a a
1
b 1 a 1 1 a b b 2 1 4 1，
2 2 2 2 4 4
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur AM BN 1 7
即 AM 2, BN 7,AM BN 1，所以 cos uuur uuur
AM BN 2 7 14
，
7
故 AM ， BN 夹角 的余弦值为 .
14
试卷第 9页，共 14页
{#{QQABJQIAggAIQIIAABhCQQHACgGQkBEACCoORAAIMAIACRNABAA=}#}
17．（15分）在海岸 A处，发现北偏西 75°的方向，与 A距离 2海里的 B处有一艘走私
船，在 A处北偏东 45°方向，与 A距离（ 3 1）海里的 C处的缉私船奉命以 10 3海
里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以 10海里/小时的速度从 B向北偏西 30°方
向逃窜，问：
(1)刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？
(2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
【答案】(1)缉私船距离走私船 6 海里，在走私船的正东方向
(2)缉私船沿北偏西60 的方向能最快追上走私船
【分析】（1 2）根据题求得 BC 6，由正弦定理求得 sin ACB ，得到 ACB 45 ，
2
得出 BC为水平线，即可得到答案；
（2）设经过时间 t小时后，缉私船追上走私船，得到 BD 10t,CD 10 3t, DBC 120 ，
结合正弦定理求得 BCD 30 ，进而得到答案.
【详解】（1）由题意，可得 AB 2, AC 3 1, BAC 120 ，
则 BC AB2 AC 2 2AB AC cos BAC 4 4－2 3 2 3 2 6，
AB BC
2 6
ABC ＝在 中，由正弦定理 ＝ ，即 ，
sin ACB sin BAC sin ACB 3
2
sin 2解得 ACB ，因为0 ACB 180 ，所以 ACB 45 ，所以 BC为水平线，
2
所以刚发现走私船时，缉私船距离走私船 6 海里，在走私船的正东方向．
（2）设经过时间 t小时后，缉私船追上走私船，
在△BCD中，可得 BD 10t,CD 10 3t, DBC 120 ，
10t 3
由正弦定理得 sin BCD BDsin CBD 2 1 ，
CD 10 3t 2
因为 BCD为锐角，所以 BCD 30 ，
所以缉私船沿北偏西60 的方向能最快追上走私船．
试卷第 10页，共 14页
{#{QQABJQIAggAIQIIAABhCQQHACgGQkBEACCoORAAIMAIACRNABAA=}#}
18．（17分）请在下列三个条件中选择一个填入横线中并完成问题（如果多选则按第一
个评卷．）
2b a cos A
① ；② 2ccosC acosB bcos A；③ ccos A 3csin A b a．
c cosC
设 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知_____________．
（1）求角 C；
（2）若 ABC 3 3的面积为 ，且 a b 5，求 c．
2
【答案】条件选择见解析（1）C ；（2） c 7．3
【分析】（1）选①②③均是由正弦定理将边化角进行化简，再结合正弦和差公式即可求
解；
（2）根据三角形面积公式即可求出 ab 6，再用余弦定理结合已知条件即可求解．
【详解】解：（1）选①
2sin B sin A cos A
2sin B cosC sin AcosC sinC cos A
sinC cosC
2sin B cosC sin AcosC sinC cos A sin(A C)
由 A C B得 2sinBcosC sinB
又 sinB 0
1
所以 cosC
2
∵C (0, )
C ∴
3
a b c
选②由正弦定理知： sin A sin B sinC，
因为 2ccosC acosB bcos A，
所以 2sinC cosC sin AcosB sin Bcos A sin A B sinC，
因为 sinC 0，所以 cosC
1
，
2
因为C (0, )，所以C .
3
a b c
选③由正弦定理 sin A sin B sinC得 sinC cos A 3 sinC sin A sin B sin A ，
由 sin B sin(A C ) sin A cosC + cos A sin C 得
sinC cos A 3 sinC sin A sin AcosC cos AsinC sin A
由 sin A 0得 3 sin C cosC 1 2sin(C ) 1
6
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{#{QQABJQIAggAIQIIAABhCQQHACgGQkBEACCoORAAIMAIACRNABAA=}#}
C 5 又
6 6 6
∴C
3
1 3 3 1 3
（2）由 S ABC ab sinC知： ab ，2 2 2 2
所以 ab 6，
又 a b 5，
所以 a2 b2 (a b)2 2ab 52 2 6 13，
由余弦定理知： c2 a2 b2 2abcosC 13
1
2 6 7，
2
所以 c 7．
19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：
“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学
家 托 里 拆 利 给 出 了 解 答 ， 当 ABC 的 三 个 内 角 均 小 于 120 时 ， 使 得
AOB BOC COA 120 的点O即为费马点；当 ABC有一个内角大于或等于
120 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 ABC的内角
A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且 cos2B cos2C cos2A 1
(1)求A；
(2)若bc 2，设点 P为 ABC的费马点，求 PA PB PB PC PC PA；
(3)设点 P为 ABC的费马点， PB PC t PA ，求实数 t的最小值．
π
【答案】(1) A
2
(2) 2 3
3
(3) 2 2 3
【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简 cos2B cos2C cos2A 1可得
a2 b2 c2，即可求得答案；
（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.
2π
（3）由（1）结论可得 APB BPC CPA ，设
3
| PB | m | PA | , | PC | n | PA |,| PA | x，推出m n t，利用余弦定理以及勾股定理即可
推出m n 2 mn，再结合基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）由已知 ABC中 cos2B cos2C cos2A 1，即
试卷第 12页，共 14页
{#{QQABJQIAggAIQIIAABhCQQHACgGQkBEACCoORAAIMAIACRNABAA=}#}
1 2sin2 B 1 2sin2C 1 2sin2 A 1，
故 sin2 A sin2 B sin2 C，由正弦定理可得 a2 b2 c2，
A π故 ABC直角三角形，即 .
2
π
（2）由（1） A ，所以三角形 ABC的三个角都小于120 ，
2
则由费马点定义可知： APB BPC APC 120 ，
设 PA x, PB y, PC z，由 S APB S BPC S APC S ABC得：
1 xy 3 1 yz 3 1 xz 3 1 2 4 3 ，整理得 xy yz xz ，
2 2 2 2 2 2 2 3
则 PA PB PB PC PA PC
xy 1 1 1 1 4 3 2 3 yz
xz
2
.
2 2 2 3 3
2π
（3）点 P为 ABC的费马点，则 APB BPC CPA ，
3
设 | PB | m | PA |, | PC | n | PA |,| PA | x,m 0, n 0, x 0，
则由 PB PC t PA得m n t；
| AB |2 x2 m2x2 2mx2 cos 2π m2 m 1 x2由余弦定理得 ，3
| AC |2 x2 n2x2 2nx2 cos 2π n2 n 1 x2，3
| BC |2 m2x2 n2x2 2mnx2 cos 2π m2 n2 mn x2，3
2 2 2 2
故由 | AC |2 | AB |2 | BC |2得 n n 1 x m m 1 x m2 n2 mn x2，
即m n 2 mn，而m 0,n 0，故m n 2 mn (
m n
) 2 ，
2
当且仅当m n，结合m n 2 mn，解得m n 1 3时，等号成立，
又m n t，即有 t 2 4t 8 0，解得 t 2 2 3或 t 2 2 3（舍去），
故实数 t的最小值为 2 2 3 .
【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答
试卷第 13页，共 14页
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第二问，解答第二问的关键在于设 | PB | m | PA | , | PC | n | PA |,| PA | x，推出m n t，
结合费马点含义，利用余弦定理推出m n 2 mn，然后利用基本不等式即可求解.
试卷第 14页，共 14页
{#{QQABJQIAggAIQIIAABhCQQHACgGQkBEACCoORAAIMAIACRNABAA=}#}海南中学2023-2024学年度第二学期第一次月考
高一数学试题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知在中，，则（ ）
A．1 B． C． D．
2.已知向量 ,则
A． B． C． D．
3.已知为第二象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
4.如图所示，为测量河对岸一点与岸边一点之间的距离，已经测得岸边的，两点间的距离为，，，则，间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
5.在中，已知，，若有两解，则（ ）
A． B． C． D．
6.设为的重心，则（ ）
A．0 B． C． D．
7.如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则( )
A．1 B．3 C．-1 D．-3
8.中，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分
9.已知函数,则下列描述正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．是函数图象的一个对称轴
C．是函数图象的一个对称中心
D．若函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象,则为奇函数
10.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有（ ）
A．当时，满足条件的三角形共有个
B．若则这个三角形的最大角是
C．若，则为锐角三角形
D．若，，则为等腰直角三角形
11.如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三．填空题: 本题共3小题，每小题5分，共15分
12.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则___________.
13.若向量满足，且在上的投影向量为，则 .
已知向量，夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为 .
四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)已知平面向量，，．
(1)若求x的值；
(2)若，求的值．
16.(15分)如图，在中，已知，，，，，AM，BN相交于点P.设，.
(1)用向量，表示；
(2)求，夹角的余弦值.
17.(15分)在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：
(1)刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？
(2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
18.(17分)请在下列三个条件中选择一个填入横线中并完成问题（如果多选则按第一个评卷．）
①；②；③．
设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____________．
（1）求角C；
（2）若的面积为，且，求c．
19.(17分)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
(1)求；
(2)若，设点为的费马点，求；
(3)设点为的费马点，，求实数的最小值．
