山东省实验中学 2023 级高一第二学期第一次阶段测试
数学试题答案 2024.03
第Ⅰ卷
一、单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
A C A B B B C C
二、多项选择题
9 10 11
BC BCD ABC
第Ⅱ卷
三、填空题
2√39
12. 30° 13. 14. 1
3
四、解答题
15.答案：(1) 5或 2 (2) 3
解析：(1)由复数z为实数，得 2 3 10 = 0，……………………………………3 分
解得 = 5或 = 2.……………………………………………………………………6 分
2
由复数z为纯虚数，得{ 6 = 0(2) 2 ，………………………………………10 分 3 10 ≠ 0
解得 = 3.………………………………………………………………………………13 分
7 5
16.答案：(1) 或 1 (2) ( , 0) ∪ (0,+∞)
4 3
解析：(1) + = (2, 2 + t), 5 8 = ( 3, 10 8 )
∵ ( + ) ⊥ (5 8 ),
∴ ( + ) (5 8 ) = 0,……………………………………………………………3 分
∴ 2 ( 3) + (2 + ) (10 8 ) = 0,
即 4 2 + 3 7 = 0……………………………………………………………………6 分
7
解得 = 或 = 1……………………………………………………………………7 分
4
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(2)当 = 1时， + = (1 + , 2 + )
∵ 与 + 的夹角为锐角,
(1 + ) + 2 (2 + ) > 0
∴ { ,……………………………………………………………13 分
(2 + ) 2 (1 + ) ≠ 0
5
>
解得：{ 3
≠ 0
5
∴ 的取值范围是( , 0) ∪ (0,+∞),……………………………………………………15 分
3
2
13
2 13 3 317. （1）△ABC 中，因为cosC ，所以sin C 1 cos C 1 .…3 分 14 14 14
a c a 7 3 3 3
由正弦定理得： ， 所以sin A sin C …5 分
sin A sin C c 3 14 2
2
所以 A 或 A . …………………………………………………7 分
3 3
2
（ 2 ） 选 条 件 ① ： b a 1 ， 则 b a ， 所 以 A （ A 舍
3 3
去）…………………………………………………9 分.
13 3 3 1 3
此时cosC ，sin C ，cos A , sin A ,…………………11 分
14 14 2 2
13 1 3 3 3 1
所以cos B cos A C cos AcosC sin Asin C .
14 2 14 2 7
1
即cos B .…………………………………………………13 分
7
2
2 3a 3a 1
由余弦定理得：b2 a2 c2 2accos B ,即 a 1 a2 2a ，解得：
7 7 7
7
a=7（a 舍去）. …………………………………………………15 分
15
5
选条件②：bcos A .
2
2
因为b 0，所以cos A 0 所以 A （ A 舍去）……………………9 分.
3 3
13 3 3 1 3
此时cosC ，sin C ，cos A ,sin A ,
14 14 2 2
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13 1 3 3 3 11
所以cos B cos A C cos AcosC sin Asin C .……11 分
14 2 14 2 14
2
11 11 5 3
即cos B ，所以sin B 1 cos2 B 1 ………………………13 分 14 14 14
5
5 1
a b 2
由正弦定理得： ,即 b
a sin A 2cos A
2 3 ，
sin A sin B sin A 7
sin B sin B 5 3 2
14
即 a=7. …………………………………………………15 分
2π
18.答案：(1) (2) 4√3
3
解析：(1)由题意知 中，√3 + = √3 ，
故√3sin + sin = √3sin ，…………………………………………2 分
即√3sin( + ) + sin = √3 sin ,
即√3(sin cos + cos sin ) + sin = √3 sin ,……………………4 分
所以√3cos sin + sin = 0，
而 ∈ (0, π), ∴ sin ≠ 0，
故√3cos + = 0，即tan = √3，…………………………………………6 分
2
又 ∈ (0, π)，故 = ；…………………………………………………………8 分
3
（2）由于点 是 上的点， 平分∠ ，且 = 2，
1 π
则∠ = ∠ = ∠ = ，………………………………………………9 分
2 3
1 2 1 1
由 = + ，得 sin = 2 sin + 2 sin ，……12 分 2 3 2 3 2 3
即bc = 2(c + b)，则bc = 2(c + b) ≥ 4√bc，当且仅当b = c时取等号，
故bc ≥ 16，当且仅当b = c = 4时取等号，……………………………………15 分
1 √3
所以 = sin = ≥ 4√3，即 面积的最小值为4√3.………17 分 2 4
π 2√3
19.答案：(1) (2) (3) 2√3 + 2
2 3
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解析：（1）由已知 中cos2 + cos2 cos2 = 1，
即1 2sin2 + 1 2sin2 1 + 2sin2 = 1，………………………………2 分
故sin2 = sin2 + sin2 ，由正弦定理可得 2 = 2 + 2，…………………4 分
π
故 直角三角形，即 = .…………………………………………………5 分
2
π
（2）由（1） = ，所以三角形 的三个角都小于120°，
2
则由费马点定义可知：∠ = ∠ = ∠ = 120°，…………………6 分
设| | = , | | = , | | = ，由 + + = 得：
1 √3 1 √3 1 √3 1
+ + = × 2，
2 2 2 2 2 2 2
4√3
整理得 + + = ，…………………………………………………8 分
3
则 + +
1 1 1 1 4√3 2√3
= ( ) + ( ) + ( ) = × = .…………………10 分
2 2 2 2 3 3
2π
（3）点 为 的费马点，则∠ = ∠ = ∠ = ，
3
设| | = | |,| | = | |, | | = , > 0, > 0, > 0，
则由| | + | | = | |得 + = ；…………………………………………11 分
由余弦定理得| |2 = 2
2π
+ 2 2 2 2cos = ( 2 + + 1) 2，
3
2 2 2π| | = + 2 2 2 2cos = ( 2 + + 1) 2，
3
2 2 2 2 2 2 2π| | = + 2 cos = ( 2 + 2 + ) 2，…………………13 分
3
故由| |2 + | |2 = | |2得( 2 + + 1) 2 + ( 2 + + 1) 2 = ( 2 + 2 + ) 2，
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即 + + 2 = ，………………………………………………………………14 分
+
而 > 0, > 0，故 + + 2 = ≤ ( )2，
2
当且仅当 = ，结合 + + 2 = ，解得 = = 1 + √3时，等号成立，……16 分
又 + = ，即有 2 4 8 ≥ 0，解得 ≥ 2 + 2√3或 ≤ 2 2√3（舍去），
故实数 的最小值为2 + 2√3.………………………………………………………17 分
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数学试题 2024.03
说明：本试卷满分 150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试时间
120分钟。
第Ⅰ卷 （选择题 共 58分）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1.已知 , ∈ , + 3 + 1 + = 0，则( )
A. = 1, = 3 B. = 1, = 3 C. = 1, = 3 D. = 1, = 3
2.在 中， 为△ 的重心，满足 = + ( ， ∈ )，则 2 =( )
A. 4 B. 5 C.0 D. 1
3 3
3.已知| | = 1，| | = 2，|2 | = 4，则 与 夹角的余弦值为( )
A. 1 B. 1 C.0 D.1
2
4. 已知 , 是夹角为 120°的两个单位向量，若向量 在向量 上的投影向量为 2 ，则
=( )
2 3 2 3
A. 2 B.2 C. D.
3 3
5.在
2
中， 为 边上一点，满足 ⊥ , = , = 2，则 =( )
3
A. 3 B.6 C. 2 D. 8
2 3 3
6.某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠穆朗玛峰高度进行测量，其方法为：
首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一
点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.
该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆 ( 在水平面)垂直于水平面，
45 5 1
水平面上两点 , 的距离为 ，测得∠ = , ∠ = ，其中 = ，在
2 6 3
3点处测得旗杆顶点的仰角为 , = ，则该旗杆的高度为(单位： )( )
5
A.9 B.12 C.15 D.18
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7. 在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，且2b a c，设 的面积为 ，
若
2 3
= S ，则此三角形的形状为( )
3
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
8.在锐角△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，△ 的面积为 ，
sin(A C) 2S 1若
b2 2
，则 tan A 的取值范围为( )
a 3tan(B A)
A.[ 2 3，+∞) B.( 2 3 2 3 4 2 3 10 3， +∞) C.( ， ) D.[ ， )
3 3 3 3 3 9
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9.在 中， = 2 ， 为线段 上一点，且有 = + , , ∈ 0, + ∞ ，则
3
下列命题正确的是( )
A. + = 1 B. + 3 = 1
1 1
C. 1的最大值为 D. 的最小值为 4 + 3
12
10.下列说法正确的是( )
A.已知向量 , ，则“ 与 共线”是“ = ”的充要条件
B.已知非零向量 , 满足 + ⊥ ,则 =
C.若 为 的外心，且 = = ，则 是等边三角形
7
D.已知单位向量 , , 满足 2 + 3 + 4 = 0 ，则 + =
16
11. 的内角 , , 的对边分别为 , , ，若 = 2, = 2，则( )
A. = 2 B. 2 + 2 = 8
C.角 的最大值为 D． 面积的最小值为 3
3
第Ⅱ卷（非选择题 共 92分）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12.在 中，角 , , 的对边分别是 , , , = 60°, = 2 3, = 2，则∠ =________.
a b c
13.若在 中，∠ ＝60°， ＝1， = 3，则 =_______.sin A sin B sinC
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14. 如图，半径为 1的扇形 中，∠
2
= ， 是弧 上的一点，
3
且满足 ⊥ ， ， 分别是线段 ， 上的动点，则 的
最大值为________.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （13分）
复数 = 2 6 + 2 3 10 ，其中 ∈ .
(1)若复数 为实数，求 的值；
(2)若复数 为纯虚数，求 的值.
16. （15分）
已知向量 = 1, 2 ， = 1, ∈ ．
(1)若 + ⊥ 5 8 ，求 的值；
(2)若 = 1, 与 + 的夹角为锐角，求实数 的取值范围．
17. （15分）
13 7
在△ABC 中，已知 cosC ,a c ．
14 3
（I）求∠A 的大小；
（II）请从条件①：b a 1；条件②：b cos A
5
这两个条件中任选一个作为条件，求 cosB
2
和 a 的值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
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18. （17分）
在 ，角 , , 的对边分别为 , , ， 3 + = 3 .
(1)求 ；
(2)若点 是 上的点， 平分∠ ，且 = 2，求 面积的最小值.
19. （17分）
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内
求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，
当△ 的三个内角均小于 120°时，使得∠ = ∠ = ∠ = 120°的点 即为费马点；
当△ 有一个内角大于或等于 120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面
问题：已知△ 的内角 , , 所对的边分别为 , , ，且 2 + 2 2 = 1
(1)求 ；
(2)若 = 2，设点 为△ 的费马点，求 + + ；
(3)设点 为△ 的费马点， + = ，求实数 的最小值．
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