惠来一中2023~2024学年度第二学期高二级第一次阶段考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数为方程(，)的一个根，则该方程的另一个复数根是（ ）
A. B. C. D.
3. 设是等比数列，且，，则（ ）
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
4．用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（ ）
A．16个 B．12个 C．9个 D．8个
5. 已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6．已知函数在处取得极小值1，则（ ）
A． B． C． D．
7 已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为A，，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A B. C. D.
8. 若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入的极差为12
B．估计该地农户家庭年收入的75%分位数约为9
C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
D．估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元
10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. “”是“与夹角为钝角”的充要条件
D. 若，则在上的投影向量的坐标为
11．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．一定是异面直线
B．存在点，使得
C．直线与平面所成角的正切值的最大值为
D．过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 记为等差数列的前项和，若，则___________.
13．已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为元．设入水处的较短池壁长度为，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的总维修费用最低时的值为 ．
14. 已知函数是上的奇函数，，都有成立，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)求函数过点的切线；
16．（15分）记为等差数列的前n项和．已知，
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
17．（15分）如图，在四棱锥中，底面.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
18．（17分）已知点在双曲线上
(1)求双曲线的方程
(2)过点的互相垂直的两直线与轴分别交于点，求面积的最小值
(3)已知直线交双曲线于两点，且直线的斜率之和为0，求直线的斜率
19．（17分）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
(1)类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)求的最小值．2023-2024年惠来一中第一次阶段考试答案及评分细则
高二数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据方程可得斜率，进而可得倾斜角.
【详解】由直线，可得，
即其斜率，
设直线的倾斜角为，
则，，
故选：D.
2. 若复数为方程(，)的一个根，则该方程的另一个复数根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据实系数方程的虚根成共轭复数求解即可.
【详解】因为两根互为共轭复数，所以另一根为.
故选：A.
3. 设是等比数列，且，，则（ ）
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.
【详解】设等比数列的公比为，则，
，
因此，.
故选：D.
【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
4．用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（ ）
A．16个 B．12个 C．9个 D．8个
4．D
【分析】利用分类计数原理分类讨论计算即可.
【详解】比2000大，故千位为2，3，4，
若千位为2，则个位为4，有（个）符合题意的四位数；
若千位为3，则个位为2或4，有（个）符合题意的四位数；
若千位为4，则个位为2，有（个）符合题意的四位数．
根据分类加法计数原理得，一共有（个）符合题意的四位数．
故选:D．
5. 已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法，结合直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】圆的方程可化为，
其圆心坐标为，半径为，
当时，直线，圆心到直线的距离，此时直线与圆相切，故充分性成立；
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，所以，故必要性成立，
所以“”是“直线与圆相切”的充要条件.
故选：C.
6．已知函数在处取得极小值1，则（ ）
A． B．
C． D．
6．C
【分析】
根据极值定义进行求解即可.
【详解】由，
因为在处取得极小值1，
所以有，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以是函数的极小值点，故满足题意，
于是有.
故选：C
7 已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为A，，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据切线求得，利用的最小值是得出关于的齐次不等式，从而得出关于的齐次不等式，得出离心率的范围．
【详解】如图，，又，所以，
而是圆切线，则，
在中，，因此有，
从而，而，所以，
在双曲线上，因此，所以，
，从而，，即，
故选：B．
8. 若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用换元法结合三角函数图象的列出限制条件可得答案.
【详解】令,
则等价于有两个根，由于时，有两个根；
∴原题等价于与有一个公共点，如图，
则且，所以.
故选：B.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入的极差为12
B．估计该地农户家庭年收入的75%分位数约为9
C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
D．估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元
9．BCD
【分析】
根据给定的频率分布直方图，求出极差、75%分位数、平均数判断ABD；求出数据在内的频率判断C.
【详解】观察频率分布直方图，
对于A，该地农户家庭年收入的极差约为，A错误；
对于B，数据在的频率为，
数据在的频率为，因此75%分位数，，解得，B正确；
对于C，数据在内的频率为，C正确；
对于D，庭年收入的平均值
（万元），D正确.
故选：BCD
10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. “”是“与夹角为钝角”的充要条件
D. 若，则在上的投影向量的坐标为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A项，利用向量的模的坐标运算；B项，利用向量共线的坐标条件求解；C项，由共线反向特例可知；D项，结合数量积与单位向量表示投影向量即可.
【详解】选项A，若，则，又，
则，
则，
故，A项正确；
选项B，，
若，则，解得，B项正确；
选项C，，
若，则，其中当时，与共线且反向，
此时与的夹角为钝角，故与的夹角为钝角，
即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件，C项错误；
选项D，若，则，又，
则，
则在上的投影向量的坐标，
故D正确.
故选：ABD
11．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．一定是异面直线
B．存在点，使得
C．直线与平面所成角的正切值的最大值为
D．过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为
11．AD
【分析】
对ABC选项，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解和判断即可；对D选项，由正方体的性质可得截面面积最大的状态，画出截面图，求得面积即可判断.
【详解】以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：
则，
设，则点坐标为；
对A：设平面的法向量为，，
则，即，取，解得，故；
又，，
考虑到，则，故，
故一定是异面直线，A正确；
对B：，，
若，则，即，
解得，又，故不存在这样的点，使得，B错误；
对C： ，取平面的法向量，
则，
设直线与平面的夹角为
则，则，
，又，故，
即直线与平面所成角的正切值的最大值为，C错误；
对D：在正方体中，过的截面为六边形且六边形为正六边形时面积最大.
此时过的截面经过对称中心，
设截面交于中点，也为中点，
所以为的中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积最大，
取的中点为，连接，如下所示：
故此时截面为正六边形，
其面积，故D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题A选项解决的关键是能够掌握用向量法证明异面直线的方法；本题D选项解决的关键是能够合理转化问题，类比解决，从而找到截面面积最大的状态.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 记为等差数列的前项和，若，则___________.
【答案】100
【解析】
【分析】根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.
【详解】得
【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键．
13．已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为元．设入水处的较短池壁长度为，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的总维修费用最低时的值为 ．
13．
【分析】
将池壁的总维修费用表示为关于的函数，利用导数可求得的单调性，结合单调性可得最小值点，从而得到结果.
【详解】
由题意知：池底面积为，则池底维修费用为（元）；
表示较短池壁长，，解得：，
池壁的总维修费用表达式为，
，
令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值，即此时泳池的总维修费用最低.
故答案为：.
14. 已知函数是上的奇函数，，都有成立，则________．
【答案】0
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，即函数的周期，即可得到，从而得到结果.
【详解】因为函数是上的奇函数，则，
又，都有，
令，则，即，
所以，都有，
即，所以，
即函数的周期，则，
由，令，可得，
所以，则，
所以，
则.
故答案为：0
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)求函数过点的切线；
58．(1)
(2)或
【分析】
（1）由题意对求导得函数单调性，由此即可求解；
（2）由题意设出切点，表示出切线方程（含参），从而，，由此可求得，，进一步即可得解.
【详解】（1）
由题意得，的定义域为， 1分
， 2分
令，解得，或（舍去）；，解得，所以，4分
所以在上单调递减，在上单调递增，5分
所以. 6分
（2）设切点为，切线的斜率， 8分
所以，9分
因为直线过点，所以，又， 11分
解得或， 12分
所以直线方程为或 13分
62．记为等差数列的前n项和．已知，
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
16．(1)
(2)
【分析】
（1）根据题意，求得的值，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）求得，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】（1）解：由差数列的前n项和为，
可得，，可得，所以公差 ， 5分
所以的首项为2，公差为1，可得通项公式为. 8分
解：由（1）知，
可得， 11分
则. 15分
17．如图，在四棱锥中，底面.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）利用线面垂直的性质定理及判定定理即可得证；
（2）分别求两个平面的一个法向量，利用空间向量的夹角公式求平面与平面的夹角的余弦值；或确定平面与平而所成角的平面角，利用解三角形的相关知识即可求解.
【详解】（1）因为，所以， 1分
又，所以由余弦定理得
, 3分
因为，所以， 4分
因为平面平面，所以， 6分
又因为平面，所以平面， 7分
（2）解法一：以为坐标原点，所在的直线分别为轴，过点垂直于平面的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则， 9分
则， 10分
设平面的法向量为，
则即取， 12分
易得平面的一个法向量为，13分
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为，15分
解法二：如图，过作，交的延长线于，连接，
因为平面平面，所以， 8分
因为平面， 9分
所以平面，又平面，所以， 10分
所以即为平面与平面所成角的平面角，
由（1）可得， 11分
由余弦定理得
， 12分
由正弦定理得，所以，
因为，所以，所以， 13分
所以， 14分
所以，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为， 15分
18．已知点在双曲线上
(1)求双曲线的方程
(2)过点的互相垂直的两直线与轴分别交于点，求面积的最小值
(3)已知直线交双曲线于两点，且直线的斜率之和为0，求直线的斜率
1．(1)
(2)1
(3)
【分析】（1）把点坐标代入双曲线方程即可求解；
（2）设出直线的方程，求得点的坐标，表示出的面积，利于基本不等式求最小值即可；
（3）设出直线的方程，联立直线和双曲线方程消元后利于韦达定理得到关系式，用坐标表示直线的斜率，根据条件求解即可.
【详解】（1）将点代入曲线方程，
解得,
则双曲线的方程为 2分
（2）设的方程为， 3分
则的方程为 4分
令，得 5分
则 6分
当且仅当，即时，面积的最小值为1 7分
当斜率不存在时，不构成三角形
则面积的最小值为1 8分
（3）已知直线的斜率存在，
设 9分
联立方程组,
可得 10分
11分
即 12分
由直线的斜率之和为0可得 13分
即
即 14分
所以 15分
化简得
所以或 16分
当时，过点与题意不符
所以 17分
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是条件坐标化，在求面积最小值时，用点的坐标表达面积是解题的关键；对于第三问中的条件，直线的斜率之和为0，用坐标表达斜率建立等式是解题的关键.
19．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
(1)类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)求的最小值．
6．(1),
(2)
(3)0
【分析】
（1）求导即可得结论;
（2）构造函数,求导,并结合分类讨论确定函数的最小值即可求解;
（3）多次求导最终判断函数单调在内单调递增,且函数为偶函数从而确定最小值.
【详解】（1）
求导易知,. 2分
（2）构造函数，，由（1）可知， 3分
①当时，由,
可知，，故单调递增， 4分
此时，故对任意，恒成立，满足题意； 5分
②当时，令，，
则，可知单调递增， 6分
由与可知，
存在唯一，使得，
故当时，，
则在内单调递减， 8分
故对任意，，即，矛盾；
综上所述，实数的取值范围为． 9分
（3），， 10分
令，则； 11分
令，则， 12分
当时，由（2）可知，，
则， 13分
令，则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增， 15分
因为，
即为偶函数，故在内单调递减， 16分
则，故当且仅当时，取得最小值0． 17分
