连州市2023-2024学年高二下学期3月月考
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
根据导数的公式求导，再将代入即可得到结论．
【解答】
解：，，．
故选A．
2.【答案】B
【分析】利用复数的定义及乘法法则计算即可.
【详解】由，
根据题意可知.
故选：B
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分步计数原理，属于基础题．
根据分步乘法计数原理计算可得．
【解答】
解：三名学生分别从门选修课中选修一门课程，
对于任意名同学均有种不同的选法，故不同的选法有种．
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查基本初等函数的导数公式，属于基础题。
根据导数公式运算对选项一一验证即可．
【解答】
解：对于， ，故A错；
对于， ，故B错；
对于， ，故C正确；
对于， ，故D错．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的图象，属于基础题．
先求出函数的定义域，然后求导，判断单调性；另一方面，当 时，从函数值的正负性加以判断，最后选出答案．
【解答】
解：函数的定义域为 ，
，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 或 时， ，所以 在 ， 上单调递减，
显然当 时， ，当 时， ．
故选：．
6.【答案】B
【分析】利用正弦定理的边角变换，结合三角函数的恒等变换即可得解.
【详解】因为，
由正弦定理及二倍角公式得：，
因为在中，，则，
即，即，
因为在中，，所以，所以.
故选：B.
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了曲线的切线方程，考查导数的应用，本题是一道中档题．
先求出函数的导数，得到函数的大致图象，通过讨论是切点和不是切点，从而求出切线的方程．
【解答】
解：，
令，解得：，令，解得：或，
函数在上递减，在上递增，在上递减，
，，
函数的图象如图所示：
显然在上，
若不是切点，
是过的一条切线方程，
若是切点，
在点处的切线的斜率是：，
切线方程是：，
即：，
综上，切线方程是：或，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数解不等式，属于中档题．
令 ，由题意可得 为定义域上的偶函数，且在 上单调递增，在 上单调递减；分 与 两类讨论，将不等式 等价转化为 与 ，分别解之即可．
【解答】
解：令 ，
当 时， ，
当 时， ，
在 上单调递减；
又 为 的奇函数，
，即 为偶函数，
在 上单调递增；
又由不等式 得 ，
当 ，即 时，不等式可化为 ，即 ，
由 在 上单调递减得 ，解得 ，故 ；
当 ，即 时，不等式可化为 ，即 ，
由 在 上单调递增得 ，解得 ，故 ；
综上所述，不等式 的解集为： ．
故选：．
9．【答案】AD
【分析】A. 根据极值和最值的关系判断；B.根据极值点的定义判断；C.由导数的正负和函数的增减关系判断；D.由导数的几何意义判断.
【详解】A. 因为时，，当时，，所以在处取得最小值，故正确；
B. 时，，当时，，所以不是函数的极值点，故错误；
C. 当时，，在区间上单调，故错误；
D. 因为，在处切线的斜率大于零，故正确；
故选：AD
10．【答案】ACD
【分析】根据单调性求出极值可判断选项A、B；把分别代入求值可判断选项C、D.
【详解】的定义域为，，
由，得或；，得；
所以在上单调递增，上单调递减，在单调递增，
所以极大值点为1，极小值点为2，即，
所以，故A对，，B错误
，故C正确；
由在上单调递减可得 ，即，故D正确
故选：ACD
11．【答案】ABD
【解析】数列的前项和为，且满足，，可得：，化为：，利用等差数列的通项公式可得，，时，，进而求出．
【详解】数列的前项和为，且满足，，
∴，化为：，
∴数列是等差数列，公差为4，
∴，可得，
∴时，，
，
对选项逐一进行分析可得，A，B，D三个选项错误，C选项正确.
故选：ABD.
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用向量的数量积求向量的模，向量数量积的运算，属于基础题．
由条件即可求出，利用向量的数量积求向量的模，，代入求值即可得解．
【解答】
解：因为单位向量的夹角为，则，
所以，
所以．
故答案为．
13.【答案】8
【详解】比2000大，故千位为2，3，4，
若千位为2，则个位为4，有（个）符合题意的四位数；
若千位为3，则个位为2或4，有（个）符合题意的四位数；
若千位为4，则个位为2，有（个）符合题意的四位数．
根据分类加法计数原理得，一共有（个）符合题意的四位数．
14.【答案】
【解析】本题考查了已知切线斜率、倾斜角求参数，，考查点到直线的距离，属于一般题．
过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小根据导数的几何意义即可求解．
【解答】
解：过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小．
设切点为，
切线斜率为，
由题知，解得或舍．
，此时点到直线距离．
故答案为：．
15.【答案】
解：令，则，…………2分
，…………4分
当时，，在上单调递减；…………6分
当时，，在上单调递增；…………8分
所以在处取得极小值，也是最小值。…………10分
最小值为，…………11分
所以，即，…………12分
所以.…………13分
【答案】解：Ⅰ由得，…………1分
所以，，…………3分
所以在处的切线方程为．…………5分
Ⅱ因为，所以，．…………6分
所以或，…………8分
，…………10分
则的单调递增区间为，，单调递减区间为…………11分
则当时，取得极大值，极大值为，…………13分
当时取得极小值，极小值为． …………15分
【解析】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性与极值，属于中档题．
Ⅰ求出，从而求得在处的切线斜率，进而利用点斜式写出即可；
Ⅱ求导后，根据导数与函数单调性的关系，即可求得的单调区间和极值．
17.【答案】
(1)
(2)面积的最大值为，此时直线的方程为
【分析】(1)根据抛物线和双曲线的性质结合椭圆的的关系求解；
(2)利用韦达定理求出弦长，再利用点到直线距离公式为三角形的高即可求解.
【详解】（1）抛物线的焦点为，…………1分
所以，…………2分
因为双曲线的焦点坐标为，…………3分
所以则，…………4分
所以椭圆E的方程为.…………5分
（2）设，
联立可得，…………7分
因为直线与椭圆E交于A、B两点，
所以解得，…………8分
由韦达定理可得，…………9分
由弦长公式可得，…………10分
点到直线的距离为，…………11分
所以
…………12分
当且仅当即时取得等号，…………13分
所以面积的最大值为，…………14分
此时直线的方程为.…………15分
18.【答案】
(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由已知得，且，从而面，由此能证明点为中点．
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得解；
（3）过点作，即可证明平面，再用等面积法求出即可；
【详解】（1）证明：在正三棱柱中，有底面，面，
， …………1分
又是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
且…………2分
，面
面，…………3分
面，
，…………4分
底面是边长为2的正三角形，
点为中点．…………5分
（2）解：过作，交于．以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． …………6分
由（1）知，，，，
，则、，，，所以，，，…………8分
设面的一个法向量为，
则，取，得， …………9分
令面的一个法向量为， 则，令，则
…………10分
设二面角的大小为，由图知为锐角，
故，…………11分
解得．
故二面角的大小为． …………12分
（3）解：过点作，由（1）知且，平面，
平面，…………12分
在平面内，
，…………13分
又，平面，
平面…………14分
由（1）知，，，，
，…………15分
，…………16分
点到平面的距离为．…………17分
19.【答案】
解：、 ，…………1分
时， 恒成立， 在 上是增函数；…………2分
时， 时， 在上单调递减，…………3分
时， 在上单调递增，…………4分
综上， 时， 在 上是增函数，
时， 在 上单调递减，在 上单调递增．…………5分
当 时，由得 在 上是增函数，不符合题意；…………6分
当 时，由得 ．…………7分
当 时， ， 只有一个零点，不符合题意；…………8分
当 时， ，故 在 有一个零点，…………9分
又 在 上是增函数，
设 ，…………10分
，…………11分
，
在 单调递增， ，
在 单调递增， ，…………12分
设 ，
由 知，
当 ， ， 单调递减；
当 ， ， 单调递增，…………13分
，即 ，
故 在 有一个零点，…………14分
故函数有两个零点；
当 时， ，故 有一个零点，
又 在 上是减函数， ，…………15分
由得 ，
故 在 有一个零点，故函数有两个零点，…………16分
综上， 的取值范围是 或 ．…………17分
【解析】本题考查利用导数判断函数单调性，利用导数研究函数零点，属于拔高题．
根据题意，分 和 两种情况讨论求解即可；
分别讨论 ，由 的单调性及零点存在定理判断零点即可．连州市2023-2024学年高二下学期3月月考
数 学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，( )
A. B. C. D.
2.若复数是纯虚数，则实数（ ）
A.1 B. C. D.0
3.三名学生分别从门选修课中选修一门课程，不同的选法有( )
A.种 B.种 C. 种 D.种
4.下列导数运算正确的是( )
A. B. C. D.
5.函数的大致图象为( )
6.在中，角的对边分别为，已知．则角（ ）
A. B. C. D.
7.过曲线：上一点的切线方程为( )
A.或 B.
C. 或 D.
8.已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（ ）
A.函数在处取得最小值
B.是函数的极值点
C.在区间上不单调
D.在处切线的斜率大于零
10.已知函数，记的极小值点为，极大值点为，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知数列的前项和为，且满足，，则下列说法错误的是（ ）
A.数列的前项和为 B.数列的通项公式为
C.数列为递增数列 D.数列为递增数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两个单位向量，的夹角为，则 ．
13.用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有 个．
14.若点是曲线上任意一点，则点到直线：距离的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求证：对于,都有．
16.本小题分
已知函数，．
1求函数在处的切线方程；
2求函数的单调区间和极值．
17.本小题分
若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程．
18.本小题分
已知正三棱柱底面边长为2，M是BC上一点，三角形是以M为直角顶点的等腰直角三角形.
(1)证明M是BC中点；
(2)求二面角的大小；
(3)直接写出点C到平面的距离.
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若有且仅有个零点，求实数的取值范围.
