湖南省长沙市长郡双语实验中学2023-2024学年九年级下学期数学入学考试试卷（pdf、无答案）

2021 级 2024 年寒假作业精选练习数学科目
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转 120°后，能与原图形完全重合
的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，一定有 5 次正面向上
B．天气预报说“明天的降水概率为 40%”，表示明天有 40%的时间都在降雨
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D．“a 是实数， a 0”是不可能事件
3
3．已知函数 y = 的图象上有三点 ( 3, y1 )， ( 2, y2 )， (1, y3 )则函数值 y1，y2，y3 的大小关系是（ ）
x
A． y2 y3 y1 B． y3 y2 y1 C． y1 y2 y3 D． y3 y1 y2
4．已知二次函数 y = ax2 + bx + c的图象如图所示，那么 a、b、c 的符号为（ ）
A． a 0，b 0， c 0 B． a 0，b 0 ， c 0
C． a 0，b 0 ， c 0 D． a 0，b 0， c 0
C
y
O
A B A
O x D
B
（第 4 题图） （第 5 题图） （第 8 题图）
5．如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 为⊙O 上两点，若 CAB = 35 ，则∠D 等于（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
6．已知圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 6cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．18cm2 B．18πcm2 C．27cm2 D．27πcm2
1
7．在平面直角坐标系中，已知点 A( 4,2)， B ( 6, 4)，以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把△ABO 缩
2
小，则点 A 的对应点 A′的坐标是（ ）
A． ( 2,1) B． (2, 1) C． ( 8,4)或 (8, 4) D． ( 2,1)或 (2, 1)
1
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8．建筑队在工地一边靠墙处，用 81 米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为 y 平方米，
为方便取物，在各个仓库之间留出了 1 米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个 1 米宽的缺口作小
门，若设 AB = x 米，则 y 关于 x 的函数关系式为（ ）
A． y = x (81 4x) B． y = x (78 2x) C． y = x (84 2x) D． y = x (84 4x)
9．如图，C 是 AB 的中点，弦 AB = 8，CD⊥AB，且CD = 2，则 AB 所在圆的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
A
D E
C
C
D
A B
D B A B C
（第 9 题图） （第 14 题图） （第 16 题图）
10．如果 m、n 是一元二次方程 x2 x = 5的两个实数根，那么多项式m2 mn + n +1的值是（ ）
A．12 B．10 C．7 D．5
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．在一个不透明的盒子中装有 n 个规格相同的乒乓球，其中有 2 个黄色球，每次摸球前先将盒中的球摇
匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到黄色球的频率稳定于0.2 ，那
么可以推算出 n 大约是_________．
x 2
12．在 y = 函数中，自变量 x 的取值范围是_________．
x 5
2 k
13．若反比例函数 y = 的图象分布在第二、四象限，则 k 的取值范围是_________．
x
14．如图，△DEC 与△ABC 关于点 C 成中心对称，AB = 3，AC =1， D = 90 ，则 AE 的长是_________．
15．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如表：
x … 3 2 1 0 1 …
y … 3 2 3 6 11 …
则该函数图象的对称轴是_________．
16．如图，△ABC 中，点 D 在边 AC 上， ABD = C ， AD = 9， DC = 7，那么 AB = _________．
三、解答题（共 66 分）
1
0 1
17．（6 分）计算： ( 1) tan 60 + + 3 ．
2
2
{#{QQABLQAUggAgApBAARgCAQViCAMQkBAAAAoOQBAMMAAAiBFABAA=}#}
2a a
2 4a + 4
18．（6 分）先化简，再求值： 1 ，其中 a =1．
a + 2 a + 2
19．（6 分）如图所示，渔船在 A 处看到灯塔 C 在北偏东 60°方向上，渔船向正东方向航行了 12km 到达 B
处，在 B 处看到灯塔 C 在正北方向上．
（1）求这时渔船与灯塔 C 的距离．
（2）若渔船继续向正东方向行驶 4km 到达 D 处，求 sin∠BCD 的值．
北
C
东
A B D
20．（8 分）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大公的召开，某中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了
部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制
成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生数是_________人，圆心角 =
_________度；
（2）已知该中学共有 1500 名学生，估计此次竞赛
该校获优异等级的学生人数为多少？
（3）若在这次竞赛中有 A、B、C、D 四人成绩均
为满分，现从中抽取 2 人代表学校参加区级比赛，
请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到 A、C 两
人同时参赛的概率．
3
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21．（8 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 9，E、F 分别是 AB、BC 边上的点，且 EDF = 45 ．将△DAE
绕点 D 逆时针旋转 90°，得到△DCM．
（1）求证： EF = FM ；
（2）当 AE = 3时，求 EF 的长．
A D
E
B M
F C
22．（9 分）为了创建国家卫生城市，我县某小区购进 A 型和 B 型两种分类垃圾桶，购买 A 型垃圾桶花费了
2500 元，购买 B 型垃圾桶花费了 2000 元，且购买 A 型垃圾桶数量是购买 B 型垃圾桶数量的 2 倍，已知购
买一个 B 型垃圾桶比购买一个 A 型垃圾桶多花 30 元．
（1）求购买一个 A 型垃圾桶需多少元？
（2）若小区一 次性购买 A 型，B 型垃圾桶共 60 个，要使总费用不超过 4000 元，最少要购买多少个 A 型
垃圾桶？
23．（9 分）已知：如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，过点 C 的切线与直径 AB 的延长线相交于点 P，连
接 PD．
（1）求证：PD 是⊙O 的切线．
1
（2）若 PD = 4， tan DAB = ，求直径 AB 的长．
2
D
A P
O B
C
4
{#{QQABLQAUggAgApBAARgCAQViCAMQkBAAAAoOQBAMMAAAiBFABAA=}#}
24．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线： y = ax2 + bx + c交 x 轴于 A( 1,0)， B (3,0)两点，与
3
y 轴交于点C 0, ．
2
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图 1，点 D 为第四象限抛物线上一点，连接 OD，过点 B 作 BE⊥OD，垂足为 E，若BE = 2OE ，求
点 D 的坐标；
（3）如图 2，点 M 为第四象限抛物线上一动点，连接 AM，交 BC 于点 N，连接 BM，记△BMN 的面积为
S
S1，△ABN 的面积为 S 12，求 的最大值．
S2
y y
O O
A B x A B x
N
E
C C
D M
5
{#{QQABLQAUggAgApBAARgCAQViCAMQkBAAAAoOQBAMMAAAiBFABAA=}#}
25．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上的一点，点 D 为弧 AB 的中点，过点 D 作 AB 的平行
线交 CB 的延长线于点 E．
（1）如图 1，求证：△ADC∽△DEC；
（2）若⊙O 的半径为 3，求 CA CE 的最大值；
CB 3
（3）如图 2，连接 AE，设 tan ABC = x ， tan AEC = y，①求 y 关于 x 的函数解析式；②若 = ，求 y
BE 5
的值．
C C
B A B A
O O
E E
D D
6
{#{QQABLQAUggAgApBAARgCAQViCAMQkBAAAAoOQBAMMAAAiBFABAA=}#}