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第五节 受迫振动 共振
物理观念 1.知道阻尼振动、驱动力、受迫振动的概念。
2.知道共振现象及发生共振的条件。
科学思维 1.理解受迫振动的频率是由驱动力的频率决定的。
2.理解受迫振动的振幅与驱动力频率的关系曲线，并能解决相关问题。
科学探究 阻尼振动能量的转化、受迫振动的特点。
科学态度与责任 了解共振在生产、生活中的应用和危害。
核
心
素
养
点
击
一、受迫振动的频率
1．填一填
(1)等幅振动： 保持不变的振动。
(2)阻尼振动： 逐渐减小的振动。
(3)受迫振动：在系统外界 作用下的振动。
(4)固有频率：弹簧振子和单摆的自由振动频率。
(5)受迫振动的频率：等于 的频率，与弹簧振子的固有频率 。
振幅
振幅
驱动力
驱动力
无关
2．判一判
(1)单摆在空中的摆动属于阻尼振动。 ( )
(2)受迫振动的频率等于振动系统的固有频率。 ( )
(3)物体做受迫振动时，振幅可能是不变的。 ( )
3．选一选
下列振动中属于受迫振动的是 ( )
A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的摆动
B．电磁打点计时器接通电源后，振针的振动
C．小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动
D．弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动
√
×
√
解析：敲击后的钟不再受驱动力，其振动是自由振动，不属于受迫振动，故A错误；电磁打点计时器接通电源后，振针的振动受电源的驱动，属于受迫振动，振荡频率等于交流电的频率，故B正确；小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动，由于空气阻力的作用，小孩和吊床一起做阻尼振动，故选项C错误；忽略空气阻力，弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动时，受到的合外力具有简谐运动回复力的特点，故属于简谐振动，故D错误。
答案：B
二、共振 共振的应用和防止
1．填一填
(1)共振：当驱动力的频率 固有频率时，物体做受迫振动的 达到最大值的现象。
(2)受迫振动的振幅与驱动力频率的关系曲线。
f0为振动系统的固有频率。
等于
振幅
(3)共振的应用和防止
①应用：共振筛、地震仪、电子表、原子钟等。
②防止：桥梁、建筑物、机器设备等，设计时要考虑共振产生的危害。
2．判一判
(1)发生共振的物体所做的振动必定是受迫振动，其振动频率等于驱动力的频率。
( )
(2)生活中应尽量使驱动力的频率接近振动系统的固有频率。 ( )
(3)当驱动力的频率增大时，振动的振幅也一定增大。 ( )
√
×
×
√
×
×
3．想一想
用扁担挑水时，有时桶里的水会荡得厉害，甚至从桶中溅出来，这是为什么？如何避免这一现象的发生？
提示：挑水时，由于行走时肩膀的起伏，人通过扁担对水桶作用，使水受到驱动力而做受迫振动，当驱动力的频率接近(或等于)桶里水的固有频率时，水桶里的水就发生共振，所以水会荡得厉害，以至于飞溅出来。为了避免发生这种现象，就要使驱动力的频率尽量远离桶里水的固有频率，解决的办法有改变行走的步频或停止走动片刻，也可以在桶里放些漂浮物，增大阻力，使振动系统克服阻力做功，消耗部分机械能，以减小水的振幅。
探究(一) 比较简谐运动与阻尼振动
[问题驱动]
如图所示的实验装置为一挂在曲轴上的弹簧振子，
匀速摇动手柄，下面的弹簧振子就会振动起来。实际
动手做一下，然后回答以下几个问题。
(1)如果手柄不动而用手拉动一下振子，会看到什么现象？这种振动属于什么振动？
(2)阻尼振动的振幅在减小的过程中，频率是否随着减小？
提示：(1)振子的振幅逐渐减小，属于阻尼振动。
(2)阻尼振动的振动频率保持不变。
[重难释解]
1．简谐运动是一种理想化的模型，物体运动过程中的一切阻力都不考虑。
2．阻尼振动考虑阻力的影响，是更贴合实际的一种运动。
3．简谐运动和阻尼振动的比较
振动类型
比较项目 简谐运动 阻尼振动
产生条件 不受阻力作用 受阻力作用
频率 固有频率 频率不变
振幅 不变 减小
振动图像
实例 弹簧振子振动，单摆做小角度摆动 敲锣打鼓发出的声音越来越弱
典例1(多选)如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法正确的是( )
A．摆球在A时刻的动能等于B时刻的动能
B．摆球在A时刻的势能等于B时刻的势能
C．摆球在A时刻的机械能等于B时刻的机械能
D．摆球在A时刻的机械能大于B时刻的机械能
[解析] 在单摆做阻尼振动的过程中，因不断克服空气阻力做功使动能逐渐转化为内能，C项错误，D项正确；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍在不断地相互转化。由于A、B两时刻，单摆的位移相等，所以势能相等，但动能不相等，A项错误，B项正确。
[答案] BD
阻尼振动的三个特点
(1)振幅逐渐减小，最后停止振动。
(2)系统的机械能逐渐减少，最后耗尽。
(3)周期、频率不随振幅的变化而变化。
[素养训练]
1．(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是 ( )
A．单摆的机械能逐渐转化为其他形式的能
B．单摆后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．单摆振幅减小，频率也随着减小
D．单摆振幅虽然减小，但其频率不变
解析：单摆做阻尼振动，因不断克服空气阻力做功使机械能转化为其他形式的能，但是在振动过程中，动能和势能仍不断相互转化，单摆从最大位移处向平衡位置运动的过程中，后一时刻的动能大于前一时刻的动能，故A正确，B错误；做阻尼振动的物体，频率由系统的特征决定，与振幅无关，所以其频率不变，C错误，D正确。
答案：AD
2．(多选)下列说法中正确的是 ( )
A．阻尼振动是减幅振动
B．实际的振动系统不可避免地要受到阻尼作用
C．阻尼过大时，系统将不能发生振动
D．发生阻尼振动，振动系统的机械能不发生变化
解析：阻尼振动即振动过程中受到阻力作用的振动，因为实际的运动在空气中要受到空气的阻力作用，因此不可避免地受到阻尼作用，即B选项正确；由于振幅是振动系统能量大小的标志，阻尼振动过程中由于要克服阻力做功，消耗系统的机械能，因此系统机械能减小，所以振幅要减小，则A选项正确；当阻尼过大时由于合外力可能为零，将不能提供回复力，则振动系统将不能发生振动，C选项正确；发生阻尼振动，振动系统的机械能逐渐减小，D错误。
答案：ABC
3．自由摆动的秋千，摆动的振幅越来越小，下列说法正确的是 ( )
A．机械能守恒
B．能量正在消失
C．总能量守恒，机械能减小
D．只有动能和势能的相互转化
解析：自由摆动的秋千可以看作阻尼振动的模型，振动系统中的能量转化包括动能、势能和内能之间的相互转化。系统由于受到阻力，系统的机械能不断减小，但总能量守恒。
答案：C
探究(二) 受迫振动和共振
[问题驱动]
如图所示，两个弹簧振子悬挂在同一个支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为8 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，支架受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用而做受迫振动。两个弹簧振子的振动情况是怎样？
提示：支架在受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用下做受迫振动时，甲、乙两个弹簧振子都做受迫振动，它们振动的频率都等于驱动力的频率9 Hz，由于甲的固有频率接近于驱动力的频率，所以甲的振幅较大。
[重难释解]
1．受迫振动和共振的比较
振动类型 受迫振动 共振
受力情况 周期性驱动力 周期性驱动力
振动周期或频率 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T固或f驱＝f固
振动能量 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 机械运转时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
2．对共振曲线的理解
(1)两坐标轴的意义
横轴：驱动力频率。
纵轴：受迫振动的振幅，如图所示。
(2)f0的意义：表示固有频率。
(3)认识曲线形状：f＝f0，共振；f＞f0或f＜f0，振幅较小；f与f0相差越大，振幅越小。
(4)结论：驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0，受迫振动的振幅越大，反之振幅越小。
典例2 (多选)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示。则 ( )
A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同
B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同
D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
[解析] 根据共振发生的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时发生共振，此时落果效果最好，而不同的树木的固有频率不同，针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同，故A正确；当振动器的振动频率等于树木的固有频率时发生共振，此时树干的振幅最大，则随着振动器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，故B错误；打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率为其固有频率，不同粗细的树干的固有频率是不同的，故C错误；树干在振动器的振动下做受迫振动，则稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同，故D正确。
[答案] AD
[素养训练]
1．(多选)下列说法中正确的是 ( )
A．有阻力的振动叫作受迫振动
B．物体振动时受到外力作用，它的振动就是受迫振动
C．物体在周期性外力作用下的振动叫作受迫振动
D．物体在周期性外力作用下振动，它的振动频率最终等于驱动力频率
解析：物体在周期性外力作用下的振动叫作受迫振动，选项C对，B错；这个周期性的外力应当能给振动物体补充能量，而阻力不行，选项A错；受迫振动的频率最终等于驱动力频率，选项D对。
答案：CD
解析：这是一个受迫振动的问题，由D摆提供驱动力，提供A、B、C、E摆振动的能量，A、B、C、E摆做受迫振动，其振动的频率和周期等于D摆的振动频率和周期，故C选项错误。因为B摆的摆长与D摆相等，B摆的固有周期等于驱动力的周期，满足发生共振的条件，B摆发生共振，振幅最大，故A选项正确。
答案：A
3．(多选)一个单摆做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图所示，则 ( )
A．此单摆的固有周期为2 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
一、培养创新意识和创新思维
(选自鲁科版新教材“物理聊吧”)荡过秋千的人都有这种经验：轻推一下使它微微摆动后，只要按照它的固有频率周期性地施加推力，尽管每次的推力都很小，经过一段时间，秋千也会荡得很高。这是为什么？请与同学讨论交流。
提示：按照秋千的固有频率周期性地施加推力时，尽管每次的推力都很小，它每次都对系统做正功，系统振动的能量越来越大，秋千荡得越来越高。
二、注重学以致用和思维建模
1．“共振”与生活
共振技术普遍用于机械、化学、力学、电磁学、光学及分子、原子物理学、工程技术等几乎所有的科技领域。如音响设备中扬声器纸盆的振动，各种弦乐器中音腔在共鸣箱中的振动等利用了“力学共振；电磁波的接收和发射利用了“电磁共振”；激光的产生利用了“光学共振”；医疗中则有已经非常普及的“核磁共振”等。
2．利用共振解决问题
(1)在分析解答有关共振问题时，要抓住产生共振的条件分析：驱动力的频率等于固有频率时产生共振，此时振动的振幅最大。
(2)在解决有关共振的实际问题时，要抽象出受迫振动这一物理模型，弄清驱动力频率和固有频率，然后利用共振的条件进行求解。
(3)图像法解决问题直观方便，如图所示，利用共振图线可以找出最大振幅，以及振动的固有频率或固有周期，然后再利用周期公式进行分析。
[对点训练]
1．部队经过桥梁时，规定不许齐步走，登山运动员登高山时(高山上有积雪)，不许高声叫喊，主要原因是 ( )
A．减轻对桥的压力，避免产生回声
B．减小对桥、高山的冲力
C．避免使桥、积雪发生共振
D．使桥受到的压力均匀，使登山运动员耗散能量减小
解析：部队过桥时如果齐步走，会给桥梁施加周期性的外力，容易使桥梁的振动幅度增加，可能发生共振，造成桥梁倒塌。登山运动员登高山时(高山上有常年积雪，高山内部温度较高，有部分雪融化成了水，对覆雪起了润滑作用)高声叫喊，声波容易引起积雪共振从而发生雪崩，故应选C。
答案：C
2．(多选)把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上安一个电动偏心轮，它每转一周给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，如图所示。筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15 s，在某电压下，电动偏心轮转速是36 r/min。已知增大电压可使偏心轮转速提高；增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期。那么要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是 ( )
A．提高输入电压 B．降低输入电压
C．增加筛子质量 D．减小筛子质量
3. 为了交通安全，常在公路上设置如图所示的减速带，减速带使路面稍微拱起以达到车辆减速的目的。一排等间距设置的减速带，可有效降低车速，称为洗衣板效应。如果某路面上的减速带的间距为1.5 m，一辆固有频率为2 Hz的汽车匀速驶过这排减速带，下列说法正确的是 ( )
A．当汽车以5 m/s的速度行驶时，其振动频率为2 Hz
B．当汽车以3 m/s的速度行驶时最不颠簸
C．当汽车以3 m/s的速度行驶时颠簸得最厉害
D．汽车速度越大，颠簸得就越厉害(共46张PPT)
第二章 机械振动
第一节 简谐运动
一、简谐振动
1．填一填
(1)机械振动
物体(或物体的某一部分)在 附近所做的往复运动，简称振动。
(2)平衡位置
物体振动停止时保持静止的位置。
(3)弹簧振子： 与弹簧组成的系统，它是一个理想化模型，其中的小球称为振子。
某一位置
小球
(4)回复力
①定义：物体振动时受到总是使振子返回 的力。
②方向：跟振子偏离平衡位置的位移方向 ，总是指向 。
(5)简谐运动的回复力
跟物体离开平衡位置的位移大小成 ，方向与位移的方向 ，其表达式为：F＝ 。
2．判一判
(1)平衡位置即速度为0时的位置。 ( )
(2)平衡位置为振子能保持静止的位置。 ( )
(3)振动物体所受的回复力大小一定与物体离开平衡位置的位移大小成正比。( )
平衡位置
相反
平衡位置
正比
相反
－kx
×
√
×
3．想一想
一切发声的物体都在振动，比如蜜蜂翅膀抖动和古筝琴弦振动，那么振动是怎样产生的？
提示：由于发声的物体总是存在一个指向平衡位置的回复力作用，因而产生了振动。
完整
全振动
之比
2．判一判
(1)振幅是指振子的位移。 ( )
(2)振子从平衡位置出发到又回到平衡位置的时间为一个周期。 ( )
(3)物体振动的周期越小，说明物体振动得越快。 ( )
×
×
√
3．选一选
(多选)如图所示，弹簧振子以O为平衡位置，在BC间做简谐运动，则 ( )
A．从B→O→C为一次全振动
B．从O→B→O→C为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振劝
D．从D→C→O→B→O→D为一次全振动
解析：根据全振动的定义可知，一次全振动应包括四个振幅，并且从一点出发并同方向回到该点，才是一次全振动，从B→O→C为半个全振动，A选项错误，从O→B→O→C的过程中没有再回到起始点，不是一次全振动，B选项错误；从C→O→B→O→C为一次全振动，从D→C→O→B→O→D为一次全振动，C、D选项正确。
答案：CD
三、简谐运动的能量特征
1．填一填
(1)在平衡位置：回复力为零，加速度为零，速度最大，动能 ，弹性势能为 。
(2)在最大振幅处：振子离开平衡的距离最大，回复力最大，加速度 ，速度为零，动能为零，弹性势能 。
(3)当振子离开平衡位置时，回复力、加速度弹性势能 ，速度、动能 ，反之亦然。
(4)弹簧振子在振动过程中，弹性势能和动能相互 ，其和 。
零
最大
最大
增大
减小
转化
不变
最大
2．判一判
(1)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为0，因此系统的能量一定为0。( )
(2)回复力变大时，弹簧振子的速度变小。 ( )
(3)振动过程中的机械能守恒是一种理想化的模型，实际的振动是有一定的能量损耗。 ( )
×
√
√
探究(一) 简谐运动的回复力
[问题驱动]
如图所示为弹簧振子的模型，O点为振子的平衡位置，A、O间和B、O间距离都是x，弹簧振子振动系数为k。
(1)当振子在A点时所受弹簧的弹力方向如何？
大小是多少？在B点呢？
(2)弹力的作用是什么？
(3)弹力的大小与位移是什么关系？
提示：(1)由A指向O，kx；由B指向O，kx。
(2)使振子回到平衡位置。
(3)弹力的大小与位移的大小成正比关系。
[重难释解]
1．回复力的来源
(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。
(2)回复力可以由某一个力提供，如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；也可能是几个力的合力，如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力；还可能是某一力的分力。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。分析物体的受力时不能再加上回复力。
典例1(多选)如图所示，物体系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态。现在向右拉动物体，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力)，设向右为正方向，物体相对O点的位移为x，则下列判断正确的是 ( )
A．物体做简谐运动，OC＝OB
B．物体做简谐运动，OC≠OB
C．物体所受合力F＝－kx
D．物体所受合力F＝－3kx
[解题指导] 通过题图可以得到以下信息：
(1)振动物体在水平方向受两弹簧的弹力，且两弹力的方向相同。
(2)物体做简谐运动时其振动范围关于O点对称。
[解析] 物体的位移为x，则物体所受的合力F＝－k1x－k2x＝－(k2＋k1)x＝－3kx，D正确，C错误；可见物体做的是简谐运动，由简谐运动的对称性可得OC＝OB，A正确，B错误。
[答案] AD
[素养训练]
1．某一弹簧振子做简谐运动，在下面的四幅图像中，能正确反映加速度a与位移x的关系的是 ( )
解析：回复力F＝－kx，又由F＝ma可知应选B项。
答案： B
2．(多选)如图所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，关于物块A受力的说法中正确的是 ( )
A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A做简谐振动的回复力是B对它的摩擦力
D．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
解析：物块A做简谐运动，在水平方向其合外力不断变化，具体受力情况为：竖直方向上受到的重力和支持力是一对平衡力，水平方向只有B物体对它的摩擦力作用，摩擦力提供回复力，C、D正确。
答案：CD
探究(二) 简谐运动的振幅、周期和频率
[问题驱动]
如图所示为理想弹簧振子，O为它的平衡位置，将振子拉
到A点由静止释放，观察振子的振动；然后将振子拉到B点释放，
再观察振子的振动。
(1)两次振动有什么差别？用什么物理量来描述这种差别？
(2)用秒表分别记录完成50次往复运动所用的时间，两种情况下是否相同？每完成一次往复运动所用时间是否相同？这个时间有什么物理意义？
提示：(1)第二次振动的幅度比第一次振动的幅度大，用振幅来描述振动幅度的大小。
(2)两种情况下所用的时间是相等的。每完成一次往复运动所用的时间是相同的。这个时间表示振动的快慢。
[重难释解]
1．对全振动的理解
正确理解全振动的概念，应注意把握全振动的五种特征。
(1)振动特征：一个完整的振动过程。
(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
(3)时间特征：历时一个周期。
(4)路程特征：振幅的4倍。
(5)相位特征：增加2π。
2．简谐运动中振幅和几个常见量的关系
(1)振幅和振动系统能量的关系：对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定，振幅越大，振动系统能量越大。
(2)振幅与位移的关系：振动中的位移是矢量，振幅是标量，在数值上，振幅与某一时刻位移的大小可能相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。
(3)振幅与路程的关系：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍的振幅，半个周期内的路程为2倍的振幅。
(4)振幅与周期的关系：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。
典例2 弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，B、C两点相距20 cm，某时刻振子处于B点，经过0.5 s，振子首次到达C点，求：
(1)振子的振幅；
(2)振子的周期和频率；
(3)振子在5 s内通过的路程。
[解题指导]
(1)振子从B点首次到达C点的时间为周期的一半。
(2)振子在一个周期内经过的路程为振幅的四倍。
解决简谐运动问题的两点技巧
(1)先确定最大位移处(v＝0)和平衡位置，才能确定振幅大小。
(2)求某段时间Δt内振子通过的路程时，须先确定这段时间是周期的多少倍，若Δt＝kT，则s＝4kA。(k为整数)
[素养训练]
1．关于描述简谐运动的物理量，下列说法正确的是 ( )
A．振幅等于四分之一个周期内的路程
B．周期是指振动物体从任一位置出发又回到这个位置所用的时间
C．一个全振动过程中，振子的位移大小等于振幅的四倍
D．频率是50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变100次
解析：由于平衡位置附近速度较大，因此四分之一个周期内走过的路程不一定等于振幅，A错误；周期指发生一次全振动所用的时间，B错误；一个全振动过程中，位移为零，C错误；一个周期内速度方向改变2次，频率为50 Hz,1 s内速度方向改变100次，D正确。
答案： D
3．如图所示，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，2 s后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2 s内经过的路程为5.6 m。该弹簧振子的周期为________s，振幅为________m。
解析：根据简谐运动对称性可知，振子零时刻向右经过A点，2 s后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，则A、B两点关于平衡位置对称，而振子经过了半个周期的运动，则周期为T＝2t＝4 s。从A到B经过了半个周期的振动，路程为s＝5.6 m，而一个完整的周期路程为2s，为4个振幅的路程，有4A＝2s，解得振幅为A＝2.8 m。
答案：4 2.8
探究(三) 简谐运动中各物理量的变化规律
[问题驱动]
如图所示，O点为振子的平衡位置，A、B分别是振子运动的最右端和最左端。
(1)振子在振动过程中通过O点时速度最大还是最小？
(2)振子在振动过程中由A→B的过程中加速度如何变化？
提示：(1)最大。
(2)先减小后反向增大。
[重难释解]
1．水平的弹簧振子运动时，弹性势能与动能相互转化。弹性势能最小时，动能最大；弹性势能最大时，动能最小。
2．如图所示的水平弹簧振子，其各个物理量的变化关系如下表所示：
振子的运动 A→O O→A′ A′→O O→A
位移 方向 向右 向左 向左 向右
大小 减小 增大 减小 增大
回复力 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
加速度 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
速度 方向 向左 向左 向右 向右
大小 增大 减小 增大 减小
振子的动能 增大 减小 增大 减小
弹簧的势能 减小 增大 减小 增大
系统总能量 不变 不变 不变 不变
典例3 如图所示是一个弹簧振子在0～0.4 s时间内做简谐运动的图像，由图像可知 ( )
A．在0.25～0.3 s时间内，振子受到的回复力越来越小
B．t＝0.7 s时刻，振子的速度最大
C．振子的动能和势能相互转化的周期为0.4 s
D．振子的动能和势能相互转化的周期为0.2 s
[解析] 在0.25～0.3 s时间内，振子的位移增大，受到的回复力越来越大，故A错误；由题图可知，该振子的周期为0.4 s，且t＝0.3 s时，振子位移最大，可知在0.7 s时刻振子的位移也是最大，速度为零，故B错误；动能与势能都是标量，它们变化的周期等于简谐振动周期的一半，所以振子的动能和势能相互转化的周期为0.2 s，故C错误，D正确。
[答案] D
[素养训练]
1．弹簧振子在水平方向上做简谐运动的过程中，下列说法正确的是 ( )
A．弹簧振子在平衡位置时它的机械能最大
B．弹簧振子在最大位移处时它的弹性势能最大
C．弹簧振子从平衡位置到最大位移处它的动能增大
D．弹簧振子从最大位移处到平衡位置它的机械能减小
解析：弹簧振子做简谐运动时机械能守恒，因此选项A和D均错误；在最大位移处时，弹性势能最大，B选项正确；从平衡位置到最大位移处的运动是振子远离平衡位置的运动，速度减小，动能减小，C选项错误。
答案：B
2．(多选)如图所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是 ( )
A．在第1 s内，质点速度逐渐增大
B．在第1 s内，质点加速度逐渐增大
C．在第1 s内，质点的回复力逐渐增大
D．在第4 s内，质点的动能逐渐增大，势能逐渐减小，机械能保持不变
解析：在第1 s内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，但机械能守恒。
答案： BCD
3.(多选)如图所示，弹簧振子在C、B间做简谐运动，O点为其平衡位置，则( )
A．振子在由C点运动到O点的过程中，回复力逐渐增大
B．振子在由O点运动到B点的过程中，速度不断增加
C．振子在O点加速度最小，在B点加速度最大
D．振子通过平衡位置O点时，动能最大，势能最小
一、培养创新意识和创新思维
判断振动为简谐运动的方法
1．运动学方法：找出质点的位移与时间的关系，若遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x?t图像)是一条正弦曲线，就可判定此振动为简谐运动，通常的问题判定中很少应用这个方法。
2．动力学方法：找出回复力和位移的关系，若满足F＝－kx的规律，就可以判定此振动为简谐运动，此方法是既简单又常用的方法。操作步骤如下：
(1)物体静止时的位置即为平衡位置，并且规定正方向；
(2)在振动过程中任选一位置(平衡位置除外)，对物体进行受力分析；
(3)将力沿振动方向进行分解，求出振动方向上的合力；
(4)判定振动方向上的合力与位移的关系是否符合F＝－kx。
[对点训练]
一质量为m，侧面积为S的正方体木块，放在水面上静止(平衡)，如图所示。现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸没)撤掉外力，木块在水面上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动。
解析：以木块为研究对象，设水密度为ρ，静止时木块浸入水中深度为Δx，当木块由静止被压入水中x后所受力如图所示，则
F回＝mg－F浮
又F浮＝ρgS(Δx＋x)，mg＝ρgSΔx
所以F回＝－ρgSx
即F回＝－kx(k＝ρgS)，所以木块的振动为简谐运动。
答案：木块的振动是简谐运动
二、注重学以致用和思维建模
1．(多选)下列各种运动中，属于简谐运动的是 ( )
A．拍皮球时球的往复运动
B．将轻弹簧上端固定，下端挂一砝码、砝码在竖直方向上来回运动
C．水平光滑平面上，一端固定的轻弹簧组成弹簧振子的往复运动
D．孩子用力荡秋千，秋千来回运动
解析：拍皮球随时往返运动，但是受到力不满足简谐运动的条件，所以不是简谐运动，故A错误；轻弹簧上端固定、下端连重物，重物上下振动时，重物受到的合力与物体相对于平衡位置的位移满足F＝－kx为简谐运动，故B正确；光滑平面上，一端固定的轻弹簧组成弹簧振子的往复运动，此模型是弹簧振子模型，属于简谐运动，故C正确；孩子荡秋千，只有秋千在摆角很小的情况下才能看作是简谐运动，故D错误。故选B、C。
答案：BC
2．(多选)某鱼漂的示意图如图所示，O、M、N为鱼漂上的三个点。
当鱼漂静止时，水面恰好过O点。用手将鱼漂向下压，使M点到
达水面，松手后，鱼漂会上下运动，上升到最高处时，N点到达
水面。不考虑阻力的影响，鱼漂在一定时间内近似做简谐运动。
下列说法正确的是 ( )
A．鱼漂的平衡位置处，重力与浮力大小相等
B．O点过水面时，鱼漂的速度最大
C．M点到达水面时，鱼漂具有向下的加速度
D．鱼漂由上往下运动时，速度越来越大
解析：鱼漂的平衡位置是F合＝0的位置，即F浮＝G，故A正确；由简谐运动的规律可知，O点过水面时，鱼漂的速度最大，B正确；M点到达水面时，鱼漂应具有向上的加速度，C错误；鱼漂由上往下运动时，速度先增大后减小，D错误。
答案： AB
3．(选自鲁科版新教材课后练习)滑板运动非常有趣。如图所示，某同学踩着滑板在弧形滑道的内壁来回滑行。滑板的这种运动可视为振动吗？若可以，它的平衡位置在哪里？
提示：可以视为振动，平衡位置在最低点。(共32张PPT)
第三节 单 摆
一、单摆
1．填一填
(1)定义：悬挂物体的绳子的伸缩和质量可以忽略不计，绳长比物体的尺寸大很多，物体可以看作质点，这样的装置可以看作单摆。
(2)单摆是一种理想化模型。
(3)单摆的摆角小于 ___，单摆的摆动可近似看成 。
5°
简谐运动
(4)单摆的回复力。
①来源：重力mg沿圆弧切线方向的 。
②大小：F＝ 。
2．判一判
(1)单摆摆球受重力、摆线的拉力、回复力、向心力作用。 ( )
(2)单摆摆球受的回复力最大时，向心力为0；回复力为0时，向心力最大。 ( )
(3)单摆的回复力就是摆球的向心力。 ( )
分力
mgsin θ
×
√
×
3．选一选
在如图所示的装置中，可视为单摆的是 ( )
解析：单摆的悬线要求无弹性、直径小且质量可忽略，故A正确，B、C错误；悬点必须固定，故D错误。
答案：A
控制变量
(4)单摆的周期与装置的固有因素有关，和外界条件无关，故单摆的周期也叫作单摆的 周期。
(5)弹簧振子的简谐运动的周期和频率也是固有的，与弹簧振子的 和振子质量有关。
2．判一判
(1)单摆摆球的质量越大，周期越小。 ( )
(2)单摆的摆线越长，周期越大。 ( )
(3)单摆的振幅越大，周期越大。 ( )
固有
劲度系数
×
√
×
3．想一想
如图，某同学家中有一架摆钟。
(1)若发现摆钟走得较慢，应怎样调节钟摆？
(2)将摆钟从北京带到广州，摆钟走得快了，还是慢了？
探究(一) 单摆的回复力及运动特征
[问题驱动]
如图所示，小球和细线构成一个单摆，运动过程中
小球受到几个力的作用？什么力充当了小球振动的回复力？
提示：小球受两个力的作用：重力和细线的拉力。重力沿圆弧切线方向的分力G1＝mgsin θ，提供了使小球振动的回复力，如图所示。
[重难释解]
1．单摆的回复力
如图所示，重力G沿圆弧切线方向的分力G1＝mgsin θ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力F＝G1＝mgsin θ。
典例1 图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中 ( )
A．摆球在A点和C点处，速度为0，合力也为0
B．摆球在A点和C点处，速度为0，回复力也为0
C．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
D．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
[解析] 摆球在摆动过程中，最高点A、C处速度为0，回复力最大，合力不为0，故A、B错误；在最低点B，速度最大，回复力为0，摆球做圆周运动，细线的拉力最大，故C错误，D正确。
[答案] D
(1)摆球一边做简谐运动，一边做竖直面内的圆周运动。
(2)易混淆回复力和向心力，回复力等于重力沿圆弧切线方向的分力，而向心力是沿摆线方向的合力。
(3)摆球做简谐运动到平衡位置时，回复力等于0，而向心力最大。
[素养训练]
1．(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是 ( )
A．摆线质量不计
B．摆线长度不伸缩
C．摆球的直径比摆线长度小得多
D．只要是单摆的运动就是简谐运动
解析：单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量且摆线不伸缩，摆球直径远小于摆线长度，A、B、C项正确；把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的，只有在偏角很小(θ<5°)的情况下才能视单摆的运动为简谐运动，D项错误。
答案：ABC
2．关于单摆摆球在运动过程中的受力情况，下列结论正确的是 ( )
A．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用
B．摆球的回复力最大时，向心力为零；摆球的回复力为零时，向心力最大
C．摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大
D．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向
解析：摆球在摆动过程中只受重力和摆线的张力，回复力和向心力都是按效果命名的，A错误；摆球摆动到回复力最大即最大位移处时，速度为零，向心力为零，此时摆线的张力等于球的重力沿摆线方向的分力，一定小于摆球重力，摆球在平衡位置时，向心力最大，此时加速度方向沿摆线方向，B正确，C、D错误。
答案：B
3.一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是 ( )
A．t1时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大
B．t2时刻摆球速度为0，悬线对它的拉力最小
C．t3时刻摆球速度为0，摆球的回复力最小
D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
解析：在t1时刻和t3时刻摆球的位移最大，回复力最大，速度为0，A、C均错误；在t2时刻和t4时刻摆球在平衡位置，速度最大，悬线拉力最大，回复力为0，故B错误，D正确。
答案：D
探究(二) 单摆周期公式的理解和应用
[问题驱动]
由于单摆的回复力是由摆球的重力沿圆弧切线方向的分力提供的，那么是否摆球的质量越大，回复力越大，单摆摆动得越快，周期越小？
3．等效摆长
摆长l是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定是摆线的长。
续表
[素养训练]
1．若单摆的摆长不变，摆球的质量减小，摆球离开平衡位置的最大摆角减小，则单摆振动的 ( )
A．频率不变，振幅不变 B．频率不变，振幅改变
C．频率改变，振幅不变 D．频率改变，振幅改变
3. 如图所示，甲、乙两个体重相等的小孩玩滑梯游戏，AB为半径很大的光滑圆槽，A、B两点在同一水平高度上，且AB弧长远小于半径，圆槽的最低点为O，开始时甲静止在A点，乙静止在弧OB的中点C，听到哨声两人同时无初速滑下，则 ( )
A．两人在O点相遇
B．两人在O点左侧相遇
C．相遇时的动能相同
D．相遇时两人的向心加速度相同
一、培养创新意识和创新思维
1．(选自人教版新教材课后练习)下图是两个单摆的振动图像。
(1)甲、乙两个摆的摆长之比是多少？
(2)以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，从t＝0起，乙第一次到达右方最大位移时，甲摆动到了什么位置？向什么方向运动？
二、注重学以致用和思维建模
1．惠更斯利用摆的等时性原理制成了第一座摆钟。如图甲所示为日常生活中我们能见到的一种摆钟。图乙所示为摆的结构示意图，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动。在a地走时准确的摆钟移到b地未做其他调整时摆动加快了，下列说法正确的是 ( )
A．a地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
B．a地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
C．b地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
D．b地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
2．一个单摆的摆球偏离到最大位置时，正好遇到空中竖直下落的雨滴，雨滴均匀附着在摆球的表面，下列说法正确的是 ( )
A．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期减小，振幅要增大
B．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期减小，振幅也减小
C．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期也不变，振幅要增大
D．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期不变，振幅要增大
3．(选自鲁科版新教材课后练习)某同学用单摆测定一座山的海拔，在山顶上他测得摆长为l的单摆做简谐运动的周期为T。已知引力常量为G，地球质量为M，地球半径为R。求山顶的海拔。(共28张PPT)
第四节 用单摆测量重力加速度
?实验目的
1．用单摆测量重力加速度。
2．会使用秒表测量时间。
3．能分析实验误差的来源，并能采用适当方法减小测量误差。
?实验器材
长约1 m的细线、开有小孔的金属小球、带有铁夹的铁架台、刻度尺、秒表、游标卡尺。
?误差分析
1．系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。只要注意了上面这些问题，就可以使系统误差减小到远小于偶然误差而达到忽略不计的程度。
2．偶然误差：主要来自时间(即单摆周期)的测量上。因此，要注意测准时间(周期)。要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4,3,2,1,0,1，2，…在数“零”的同时按下秒表开始计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。
?注意事项
1．选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。
2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。
3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过5°。可通过估算振幅的办法掌握。
4．摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。
5．计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记。以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时按下秒表，开始计时、计数。
(一)实验原理与操作
[典例1] 在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
(1)小博同学制作了如图甲、乙、丙所示的三个单摆，你认为他应选用________图所示的单摆来做实验。
(2)实验过程中小博同学分别用了图丁、戊所示的两种不同方式悬挂小球，你认为________[选填“丁”或“戊”]悬挂方式较好。
(3)小博同学用停表测得单摆完成40次全振动的时间如图所示，则单摆的周期为________s。
[解析] (1)单摆在摆动过程中，空气等对它的阻力要尽量小，甚至忽略不计，所以摆球选铁球；摆线要尽可能细一些，摆长不能过短，一般取1 m左右的细线，选乙。
(2)如果选丁所示悬挂方式，摆动过程中，摆长在不断变化，无法准确测量，故选戊悬挂方式较好。
(二)数据处理和误差分析
[典例2] 用单摆测量重力加速度的实验装置如图所示。
(1)若测量结果得到的g值偏大，可能是因为______。(填选项前的字母)
A．组装单摆时，选择的摆球质量偏大
B．测量摆长时，将悬线长作为单摆的摆长
C．测量周期时，把n次全振动误认为是(n＋1)次全振动
(2)下表是某同学记录的实验数据，并做了部分处理。
组次 1 2 3 4 5 6
摆长l/cm 40.00 50.00 60.00 80.00 100.00 120.00
50次全振动时间t/s 63.0 74.0 77.5 89.5 100.0 109.5
周期T/s 1.26 1.48 1.55 1.79 2.19
周期的平方T2/s2 1.59 2.01 2.40 3.20 4.80
请计算第5组实验中的T2＝________s2。
(3)将上表数据输入计算机，可得到图2所示的l T2图像，图线经过坐标原点，斜率k＝0.25 m/s2。由此求得重力加速度g＝________m/s2。(π2＝9.87，此空答案保留3位有效数字)
[对点训练]
2.用单摆测量重力加速度的实验装置如图所示。
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用________(选填选项前的字母)。
A．长度为1 m左右的细线
B．长度为30 cm左右的细线
C．直径为1.8 cm的塑料球
D．直径为1.8 cm的铁球
(2)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)L及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝________(用L、n、t表示)。
(3)下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理。
请计算出第3组实验中的T＝_______s，g＝_______m/s2。
组次 1 2 3
摆长L/cm 80.00 90.00 100.00
50次全振动时间t/s 90.0 95.5 100.5
振动周期T/s 1.80 1.91
重力加速度g/(m·s－2) 9.74 9.73
(4)用多组实验数据作出T2-L图像，也可以求出重力加速度g。已知三位同学作出的T2-L图线的示意图如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过坐标原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值，则相对于图线b，下列分析正确的是________(选填选项前的字母)。
A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值
r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20
T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64
(1)由实验数据得出如图乙所示的拟合直线，图中纵轴表示________。
(2)Ic的国际单位为________，由拟合直线得到Ic的值为________(保留到小数点后两位)。
(3)若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
[对点训练]
3．(选自鲁科版新教材课后练习)将一单摆竖直悬挂于一深度未知且开口向下的小筒中，单摆的下部露于筒外，如图甲所示。将摆球拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁。如果本实验的长度测量工具只能测量筒的下端口到摆球球心的距离l，并通过改变l测出对应的摆动周期T，作出T2-l图像，那么可通过此图像得出小筒的深度x和当地的重力加速度g。
(1)若有游标卡尺、秒表、天平、毫米刻度尺几种测量工具，则本实验所需的测量工具为________。
(2)实验中所得到的T2-l图像应是如图乙所示a、b、c中的________。
(3)由图像可知，小筒的深度x＝________m，当地的重力加速度g＝________m/s2。
答案：(1)秒表、毫米刻度尺、游标卡尺 (2)a (3)0.3 9.86(共35张PPT)
第二节 简谐运动的描述
位移
x＝Acos(ωt＋φ)
平衡位置
振幅
2．判一判
(1)由简谐运动的位移公式可以看出，振幅是周期性变化的。 ( )
(2)圆频率ω和振动频率f成正比。 ( )
(3)由简谐运动的位移公式可以看出，振幅越大，振子的位移越大。 ( )
×
√
×
超前
ωt＋φ
相位
√
√
√
2．根据如图所示的某振子的振动图像，回答下列问题：
(1)算出下列时刻振子相对平衡位置的位移：
①t1＝0.5 s；②t2＝1.5 s；
(2)将位移随时间的变化规律写成x＝Asin(ωt＋φ)的形式并指出振动的初相位的大小。
探究(二) 简谐运动的图像
[问题驱动]
如图所示，在弹簧振子的小球上固定安置一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，铅笔可在纸上留下痕迹。
(1)振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？
(2)振子振动时，匀速拖动白纸时，画出的轨迹又是怎样的？
提示：(1)是一条平行于小球运动方向的线段。 (2)是一条正弦曲线。
[重难释解]
1．对简谐运动图像(x-t图像)的认识
(1)图像形状：正(余)弦曲线。
(2)物理意义：表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律。
2．由简谐运动图像获取的信息
(1)任意时刻质点的位移的大小和方向。如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。
(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙所示质点在a位置时，下一时刻离平衡位置更远，故此刻质点向x轴正方向振动。
(3)简谐运动中速度和位移的关系：看下一时刻质点的位置，判断是远离还是衡位置，若远离平衡位置，则速度越来越小，位移越来越大，若衡位置，则速度越来越大，位移越来越小。如图乙所示，质点在b位置时，从正向位移处向着平衡位置运动，则速度为负且正在增大，位移正在减小。质点在c位置时，从负向位移处远离平衡位置运动，则速度为负且正在减小，位移正在增大
典例2 如图甲所示，一弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O点为振子的平衡位置，其振动图像如图乙所示，规定向右的方向为正方向，试根据图像分析以下问题：
(1)在t＝0时刻，振子所处的位置为________，正在向________(选填“左”或“右”)方向运动。
(2)A、B两点间的距离为________cm。
(3)在乙图中，振子在t＝1 s、t＝2 s和t＝3 s时所处的位置依次是________、________和________。
(4)质点在前4 s内的位移等于________cm，其路程为________cm。
[解题指导] 振动位移x＞0时，表示振子处于平衡位置正方向一侧，x＜0时表示振子位于平衡位置负方向一侧，振动位移的大小表示振子到平衡位置的距离。
[解析] (1)由振动图像知，t＝0时，x＝0，表示振子位于平衡位置，在0～1 s内，振动位移x＞0，且逐渐增大，表示t＝0时，振子沿正方向运动，即向右运动。
(2)由题图乙知，振子离开平衡位置的最大距离为3 cm，则AB＝6 cm。
(3)t＝1 s时，x＝3 cm，振子位于B点位置；在t＝2 s时，x＝0，振子位于平衡位置；在t＝3 s时，x＝－3 cm，振子位于A点位置。
(4)在t＝4 s时，振子又回到了平衡位置，故位移Δx＝0，其路程为s＝3×4 cm＝12 cm。
[答案] (1)O点 右 (2)6 (3)B点 O点 A点 (4)0 12
简谐运动图像的应用
(1)分析图像问题时，要把图像与物体的振动过程联系起来，图像上的一个点表示振动中的一个状态，图像上的一段图线对应振动的一个过程。
(2)从图像中可直接读出质点的最大位移、某时刻质点的位移大小和方向；可判断某时刻质点的速度方向及一段时间内速度大小的变化情况。
[素养训练]
1．(多选)如图所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法正确的是 ( )
A．该图像的坐标原点是建在小球的平衡位置
B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的
C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀
速运动
D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同
解析：从图像中能看出坐标原点在小球的平衡位置，选项A正确；横轴虽然是由底片匀速运动得到的位移，但已经转化为时间轴，小球只在x轴上振动，选项B错误，选项C正确；因图像中相邻小球之间时间相同，密处说明小球位置变化慢，选项D正确。
答案：ACD
2．(多选)如图所示是表示一质点做简谐运动的x t图像，下列说法正确的是( )
A．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
B．t2时刻振子的位移最大
C．t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
D．该图像是从平衡位置开始计时的
解析：从题图可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，因此该图像是从正的最大位移处开始计时的，D选项错误；t1时刻以后振子的位移为负，因此t1时刻振子正通过平衡位置向负方向运动，A选项错误；t2时刻振子在负的最大位移处，因此t2时刻振子的位移最大，B选项正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向正方向运动，C选项正确。
答案：BC
答案：小于 最大
[对点训练]
如图所示为A、B两个简谐运动的位移—时间图像。
试根据图像写出：
(1)A的振幅是________ cm，周期是________ s；B的振幅是________ cm，周期是________ s。
(2)试写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。
二、注重学以致用和思维建模
1．如图甲所示，弹簧和小球分别套在光滑横杆上，弹簧左端与小球相连，右端固定在支架上，形成一个弹簧振子。在球底部固定一毛笔头，笔头下放一纸板。使小球偏离平衡位置并释放，其振动可视为简谐运动。沿图示方向匀速拉动纸板，笔头会在纸板上画出一图像。
如图乙所示，为笔头在纸板上画出的图像，已知纸板匀速移动的速度为1 m/s，则振子振动的周期为多少？振幅多大？
2．(选自鲁科版新教材课后练习)心电图仪通过一系列的传感手段，可将与人心跳对应的生物电流情况记录在匀速运动的坐标纸上。医生通过心电图，测量相邻两波峰间隔的时间，便可计算出1 min内人心脏跳动的次数(即心率)。同一台心电图仪正常工作时测得被检者甲、乙的心电图分别如图1、2所示。若医生测量时记下被检者甲每分钟心跳60次，则可推知乙每分钟心跳的次数和这台心电图仪输出坐标纸的走纸速度大小分别为 ( )
A．48次，25 mm/s B．48次，36 mm/s
C．75次，45 mm/s D．75次，25 mm/s(共31张PPT)
第二章 机械振动
一、主干知识成体系
二、 迁移交汇辨析清
(一)简谐运动、阻尼振动、受迫振动的对比
简谐运动 阻尼振动 受迫振动
产生条件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱动力作用
频率 固有频率 频率不变 驱动力频率
振幅 不变 减小 大小变化不确定
振动图像
形状不确定
实例 弹簧振子振动，单摆做小角度摆动 敲锣打鼓发出的声音越来越弱 扬声器纸盆振动发声、钟摆的摆动
[典例1] 图甲为一弹簧振子的振动图像，规定向右的方向为正方向，试根据图像完成以下问题：
(1)如图乙所示，振子振动的起始位置是________，从起始位置开始，振子向________(选填“右”或“左”)运动。
(2)在图乙中，找出如图甲所示图像中的O、A、B、C、D各对应振动过程中的位置。即O对应________，A对应________，B对应________，C对应________，D对应________。
(3)在t＝2 s时，振子的速度的方向与t＝0时速度的方向________。
(4)振子在前4 s内的位移等于________。
[解析] (1)由x t图像知，在t＝0时，振子在平衡位置，故起始位置为E；从t＝0时刻开始，振子向正的最大位移处运动，即向右运动。
(2)由x t图像知：O点、B点、D点对应平衡位置的E点，A点在正的最大位移处，对应G点；C点在负的最大位移处，对应F点。
(3)t＝2 s时，图线切线斜率为负，即速度方向为负方向；t＝0时，图线切线斜率为正，即速度方向为正方向，故两时刻速度方向相反。
(4)4 s末振子回到平衡位置，故振子在前4 s内的位移为0。
[答案] (1)E 右 (2)E G E F E (3)相反 (4)0
(二)简谐运动的周期性和对称性
1．周期性
做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能恢复到原来的状态，因此在处理实际问题中，要注意到多解的可能性。
2．对称性
(1)速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率。
(2)加速度和回复力的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力。
(3)时间的对称性：系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等。振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过这两点的时间相等。
[典例2] 一个质点在平衡位置O点的附近做简谐运动，它离开O点后经过3 s时间第一次经过M点，再经过2 s第二次经过M点，该质点再经过________ s第三次经过M点。若该质点由O点出发在20 s内经过的路程是20 cm，则质点振动的振幅为________ cm。
简谐运动的周期性和初始条件的不确定性，往往引起此类问题的多解，解决此类问题时要将题目分析透彻，弄清各种可能性，切勿漏解。
[针对训练]
1．把一弹簧振子的弹簧拉长一些，然后由静止释放，0.5 s后振子回到平衡位置，则此弹簧振子的周期可能为 ( )
A．0.1 s B．0.2 s C．0.55 s D．0.4 s
2. 如图所示，一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点通过N点后再经过1 s第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm。则质点的振动周期和振幅分别为 ( )
A．3 s,6 cm B．4 s,6 cm
C．4 s,9 cm D．2 s,8 cm
(三)简谐运动和力学综合问题
1．简谐运动常和力学知识综合，如简谐运动与弹簧模型综合，可以考查牛顿第二定律的应用、速度的动态分析以及临界问题；简谐运动与单摆综合，可以考查单摆周期公式的应用、圆周运动的规律以及机械能守恒定律的应用。
2．解简谐运动与力学综合问题的思路
从题型上看，简谐运动与力学综合有以下几方面。
(1)简谐运动中位移、速度、回复力的大小关于平衡位置对称的应用。
①判断物体的运动是否为简谐运动。
物体在弹簧弹力(变力)和其他力均为恒力的情况下的运动一般是简谐运动。
可以证明物体仅在弹簧弹力与重力作用下在竖直方向的运动是简谐运动，光滑斜面上的物体仅在弹簧弹力、重力、斜面支持力的作用下的运动也是简谐运动。
②要注意简谐运动中的速度、合外力(回复力)关于平衡位置对称这一特点。同学们一般能记住位移对称性，但对回复力(合外力)的对称性却很生疏。
③此类问题也可应用机械能守恒定律或能量守恒定律求解。应注意弹簧伸长或压缩的形变量相等时具有相同的弹性势能。
(2)单摆的周期公式的应用与自由落体运动、斜面上物体的运动等基本动力学模型的综合，一般考查下落快慢、何时相碰或碰撞点的判断等问题。此类问题应抓住单摆周期公式的应用，并注意多解问题。
(3)动力学中临界问题的求解。例如：恰好分离(恰未分离)，压力最大(压力最小)等问题，此类问题要抓住动力学中的临界条件。
[典例3] 一轻质弹簧直立在地面上，其劲度系数为k＝400 N/m，弹簧的上端与盒子A连接在一起，盒子内装物体B，B的上、下表面恰与盒子接触，如图所示。A和B的质量mA＝mB＝1 kg，g取10 m/s2，不计阻力。先将A向上抬高使弹簧伸长量为5 cm后从静止释放，A和B一起做上下方向的简谐运动。已知弹簧的弹性势能取决于弹簧的形变大小，试求：
(1)盒子A的振幅；
(2)物体B的最大速率；
(3)当A、B的位移为正的最大和负的最大时，A对B的作用力的大小分别是多少？
[针对训练]
1．一平台沿竖直方向做简谐运动，一物体置于振动平台上随平台一起运动，当振动平台处于什么位置时，物体对平台的压力最大 ( )
A．当振动平台运动到最高点时
B．当振动平台向下运动过振动中心时
C．当振动平台运动到最低点时
D．当振动平台向上运动过振动中心时
解析：物体随平台在竖直方向振动过程中，仅受两个力作用：重力和台面支持力。由这两个力的合力作为振动的回复力，并产生始终指向平衡位置的加速度。物体在最高点a和最低点b时，所受回复力和加速度的大小相等，方向均指向O点，如图所示。
根据牛顿第二定律得
最高点mg－Na＝ma；最低点Nb－mg＝ma；
平衡位置NO－mg＝0；所以Nb>NO>Na。
即当振动平台运动到最低点时，平台对物体的支持力最大，
根据牛顿第三定律，此时物体对平台的压力最大。
答案：C
2.如图所示，一质量为M的无底木箱，放在水平地面上，一轻质弹簧一端悬于木箱的上边，另一端挂着用细线连接在一起的两物体A和B，mA＝mB＝m。剪断A、B间的细线后，A做简谐运动，则当A振动到最高点时，木箱对地面的压力为多少？
三、 创新应用提素养
1．(多选)铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击。由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动。普通钢轨长为 12.6 m，列车的固有周期为 0.315 s。下列说法正确的是 ( )
A．列车的危险速度为 40 m/s
B．列车过桥需要减速，是为了防止列车与桥发生共振现象
C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的
D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行
2. (多选)将一单摆向左拉至水平标志线上，从静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到障碍物，摆球继续向右摆动。用频闪照相机拍到如图所示的单摆运动过程的频闪照片，以下说法正确的是 ( )
A．摆线碰到障碍物前后的周期之比为3∶2
B．摆线碰到障碍物前后的摆长之比为3∶2
C．摆球经过最低点时，线速度不变，半径减小，摆线张力变大
D．摆球经过最低点时，角速度变大，半径减小，摆线张力不变
3. 如图所示，一轻质弹簧沿竖直方向放置在水平地面上，其下端固定，当弹簧的长度为原长时，其上端位于O点。现有一小球从O点由静止释放，将弹簧压缩至最低点(弹簧始终处于弹性限度内)。在此过程中，关于小球的加速度a随下降位移x的变化关系正确的是 ( )
4．如图所示是用来测量各种电动机转速的原理图。在同一铁支架MN上焊有固有频率依次为 80 Hz、60 Hz、40 Hz、20 Hz的四个钢片a、b、c、d。将M端与正在转动的电动机接触，发现b钢片振幅最大。
(1)电动机的转速为多大？
(2)四个钢片a、b、c、d的振动频率分别是多少？
解析：(1)b钢片发生了共振，由共振发生的条件可知f驱＝f固，因此电动机的转动频率为 60 Hz，即转速为 60 r/s。
(2)四个钢片a、b、c、d做的都是受迫振动，其振动频率与固有频率无关，都等于驱动力的频率，即都等于电动机的转动频率 60 Hz。
答案：(1)60 r/s (2)60 Hz 60 Hz 60 Hz 60 Hz
