【新高考卷】名校教研联盟2024届高三3月联考数学试卷（PDF版，含解析）

绝密★启用前（新高考卷）
数学参考答案
1.【答案】B
z 2 2【解析】因为 5 6 1 i，所以 z 1 i，故选 B.i i i 1
2.【答案】C

【解析】因为 A x 1 x 1 2 x 2 x 1 B x x x 2 ， 0 x 0 x 2 ，所以
x x 2


A B x 0 x 1 ，故选 C.
3.【答案】D

【解析】由 BD 2DA 3DC得 BD DA 3DA 3DC，即 BA 3CA，又 AC 2,1 ，所以 AB =3AC = 6,3 ，
故选 D.
4.【答案】D
23x 1 2 3
【解析】因为 f x 是偶函数，所以 f x f x 8ax log2 3x 1 8a 3 x =0，所以 a ，故选 D。2 2 8
5.【答案】D
1 1
【解析】以 8个顶点为球心的球各有 在正方体内，以 6个面的中心为球心的球各有 在正方体内，所以这些
8 2
2
球在正方体的体积之和为 4个半径为 的球的体积之和，所以这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积
2
3

4 4 π 2
3 2 2
之比为 π，故选 D.
8 6
6.【答案】C
y kx a2 2 2 2
【解析】设 A x1, y1 ,B x2 , y
2 a
2 ，由 x2 得 x1 2 2 ，由OA OB x
2 = a k可得 2 2 2 2 ，所以
2 y
2 1 a k 1 a 1 a k a k 2
2 2 2 2 2 2 a2 1 k 2 1
OA 2 1 k 2 x 2 a a k OB 2 1 a a k 1 1 1 1 2 2 ， 1 x 22 2 ，所以 1 ，a k 1 k a2 k 2 OA 2 OB 2 a2 k 2 1 a2
1 4
所以1 ,a22 3，C的长轴长为 2a 2 3，故选 C.a 3
7.【答案】A
数学参考答案（新高考卷） 第 1页（共 8 页）
【解析】设 f x ln x 1 x x 0 ，则 f x 1 1 0， f x 在 0, 上单调递减，
x 1
所以 f x f 0 0，所以 x ln x 1 1 1 ， ln 11 ln12 = ln 6 ， ln 6 log 6 1 ln5，
10 11 10 11 5 5 5
2 2 2
lg6 2 lg5 lg7 1 lg36 1 lg6 2 lg5lg7 lg35
log5 6 log 7
lg6 lg7
= 2 = 2 2 6 0 ，lg5 lg6 1g5lg6 lg5lg6 lg5lg6
所以 a b c，故选 A.
8.【答案】A
【解析】设圆 M与 PF1， PF2分别切于点 A,B，则 F1A F1M ，且 F1A F1M F1P AP F1F2 M F2
2 2
F1P F2P F
x y
1F2 = 2a 2c，所以 F1M a c，点M a,0 ，设 P x1, y1 ,Q x1, y 1 11 ，则 2 1，所以a b2
y 2 b2 y y y 2 2 1 1 1 1 b 2 F1M c a e 1 FM 22 2 2 ， k
1
x a a 1
k2 = 2 2 = 2 e 1， = ，所以 k1k2 e 1 9，
1 x1 a x1 a x1 a a F2M c a e 1 F2M
e 2，故选 A.
9.【答案】ACD
【解析】由每年增加数均为正数，可得 A正确；2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为 121，
B错误；2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为 948-33=915，C正确；当且仅当从 33，48，76，
2
84，121 C 13中任取两个数字，其平均数均不大于 110，所以所求概率为1 52 ，D正确，故选 ACD.C9 18
10.【答案】AD
l f x 2x 3 2t
3 b
【解析】设 与 的图象切于点 Q t, 2t3 ，则切线斜率 k f t 6t 2 ，整理得
t a
4t3 6at2 b 0，对于 A，若 P与原点重合，则 a b 0，所以 t 0,k 0，l即 x轴，方程为 y 0，A正确；
对于 B，若 l与直线 x 6y 0垂直，则 k 6t2 6， t 1，当 t 1时 4 6a b 0， 6a b 4 ，当 t 1
时 4 6a b 0 ， 6a b 4 ，B错误；对于 C，当点 P在 f x 的图象上时 b 2a3， 4t3 6at2 2a3 0，
所以 (t a)2(2t a) 0 t a ，解得 a，或 t ，当a 0时，l有 2条， C 错 误 ； 对 于 D ， 设
2
g t 4t 3 6at 2 b 0， g t 12t2 12at 0，由 g t 0得 t 0或 t a，符合条件的 l有 3条， g t 有 3个
g 0 g a b 2a3 b 0 b 2a3 b 0 2a
3 a3 1
零点，则 ，所以 ， 1 0， ，D正确，故选 AD．
b b 2
11.【答案】AB
1 1 3 3
【解析】由 f π x f x ，可得 A 正确；由 sin x cos x ， 1 sin x 1 得 f x ，当
2 2 2 2
数学参考答案（新高考卷） 第 2页（共 8 页）
f π = 3 f 3π 3 ， ， B 正确； f x cos x sin x 2sin x ，令 f x 0 得 sin x 0 或 cos x 0 ，
4 2 4 2
x 1 kπ k Z 31π 50, 32π ， 50，所以 f x 在 0,50 上有 31个零点，C错误； f x 是以 2π 为周期的周
2 2 2
x 0,π f x 3 sin2x f x 3期函数，当 时 ， 在 0,π 9π上有 2个实根 x1,x2，且 x2 4 3 x4 ；当 x π,2π 2
f x 1时 sin2x， f x 3 在 π,2π 上没有实根， f x 1在 2π,3π 5π上有 2个实根 x3, x4，且 x3 x4 ，2 4 2
x π3 2π , x 2π
5π 29π 49π
4 ，所以 t ， x1 x2 x3 x4 5π ，所以 x1 x2 x3 x4 t 的取值范围是12 12 12 12
89π ,109π ，D错误，故选 AB.
12 12
12.【答案】 1
6
【解析】 2x 1 1 6 1 5 x 1

的展开式中 x的系数为 2 1 C16 1 1 .
2 2
13. 2 2【答案】 x 3 y 3 18
【解析】由△ABC的垂心G 2,2 到直线 BC距离 d 2 ，设圆 E半径为 r，由塞尔瓦定理可得 r EG
2 2 2 EG 2 ，由圆的几何性质可得 EG 2 10 r2 ，联立解得 EG 2， r 3 2 ，因为直线 BC
2a 2
方程为 x y 2 0，所以直线 EG 方程为 y x，设 E a,a ，则 E到直线 BC距离 d 2 2 ，解得
2
a 1（舍去）或 a 3，所以圆 E的标准方程为 x 3 2 y 3 2 18 .
14. 4 3【答案】
9
BD 2 AD sin A 1 1 A 1【解析】因为 ，由正弦定理得 sin BAD AD sin A AD tan ，所以 sin A= tan A，即
BD 2 4 2 2
sin A
2sin Acos A A A 1 A 1 2π 1 3 2A ，因为 sin 0，所以 cos
2 ， cos ， A ，所以 cos A ， sin A ，
2 2 2cos 2 2 4 2 2 3 2 2
2
4
由余弦定理得 BD 2 AB 2 AD 2 AB AD 3AB AD，所以 AB AD ，当 AB AD时取等号，
3
S 1 1 4 3 31 AB ADsin A = ，设 BC t，则CD 2t，在△BCD中由余弦定理得2 2 3 2 3
t2 2t 2 22 2 2cosC 5t 4 2 ，所以 S
1
t 2t sinC t42 1 cos2C = 1 256 9 t2 20 2 52t 2t 4t 2 4 9 9 ，当 t 时， 3
S 4 4 32 取得最大值 ．所以 S1S2的最大值为 ．3 9
数学参考答案（新高考卷） 第 3页（共 8 页）
15.【解析】(1)设等差数列 an 的公差为 d ，
由 a5 a8 0， a4 a6 a3 1得
2a1 11d 0
， ……………………………………………………………………………………………(2分)
2a1 8d a1 2d 1
解得 a1 11,d 2， ………………………………………………………………………………………………(4分)
所以 an a1 n 1 d 11 n 1 2 2n 13 .…………………………………………………………………(6分)
(2)由(1)得 an 2n 13，
b an 1 2n 11n ，……………………………………………………………………………………(8分)anan 2 2n 13 2n 9
当 n 4时 bn 0， …………………………………………………………………………………………………(10分)
当b 1 1 1 15 0， b 3 1 3 6
0，b b 0，
1 3 3 5 6
n 7时 bn 0， ……………………………………………………………………………………………………(12分)
所以 Sn最小时 n的值为 4或 6. ……………………………………………………………………………………(13分)
16.【解析】(1)取 CD中点 O，连接 AO，BO，
由已知可得 AC AD BC BD ，
所以 AO CD,BO CD，
因为 AO BO O ，所以CD 平面 AOB，……………………………………………………………………(2分)
因为CD 平面 EFG，
所以平面 EFG∥平面 AOB，………………………………………………………………………………………(4分)
过 E作 AB的平行线与 BC的交点即为 F，过 E作 AO的平行线与 CD的交点即为 G，
因为 AE 2EC，
所以 BF 2FC，CG 1 CO 1 CD，
3 6
所以当 BF 2FC CG 1， CD时,平面 EFG与直线 CD垂直.…………(7分)
6
(2)由题意可得OA OB 3 3，因为 AB 9，所以 AOB 120 ，
以 O为原点，直线OB,OC分别为 x轴，y轴，过点 O与平面 BCD垂直的直线
为 z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

D 0, 3,0 , A 3 3

,0,
9
,E
3
,2,
3 ,F 3,2,0 ……………………（8分）
2 2 2 2


数学参考答案（新高考卷） 第 4页（共 8 页）

所以DA 3 3 9 ,3, , DF 2 2

DE 3 ,5, 3

3,5,0 , . …………………………………………………（10分）
2 2

n DE 0 3 x 5y 3 z 0
设平面DEF 的一个法向量为 n＝ x, y, z ，则有 ，得 2 2 ，
n DF 0 3x 5y 0
取 x 5，得 n＝ 5, 3,5 3 ， …………………………………………………………………………………(12分)
设直线 DA与平面 DEF 所成角为 ,
5 3 3

3n DA 2 3 5 3
9
2
则 sin ＝ 2 309 ，
n DA 2 2 103
52 3 2 2 5 3 3 3 2 9 3
2 2
2 309
所以直线 DA与平面DEF 所成角的正弦值为 . …………………………………………………………(15分)
103
17.【解析】(1)由表中的数据和附注中的参考数据得
5 5
xi 850， x 170， yi 365， y 73，……………………………………………………………………(1分)
i 1 i 1
5 2
xi x 112 52 02 62 102 282， ………………………………………………………………………(2分)
i 1
5 2 5 5 5
yi y 8.6， xi x yi y xi yi x yi =62194 170 73 5 =144，…………………………(3分)
i 1 i 1 i 1 i 1
5
xi x yi y
∴ r= i 1 = 144 0.997 . ………………………………………………………………(5分)
5 5
2 2 16.8 8.6 xi x yi y
i 1 i 1
因为 y与 x的相关系数近似为 0.997，说明 y与 x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 y与 x
的关系．………………………………………………………………………………………………………………(6分)
5
xi x yi y
(2)由 y 73及(1)得 b i 1 144 24 5 = 0.51， …………………………………………………(7分)
2x x 282 47i
i 1
a y b x 73 24 170≈ 13.81，………………………………………………………………………………(9分)
47
所以 y关于 x的回归方程为 y 13.81 0.51x . …………………………………………………………………(10分)
（说明：根据 a y b x 73 0.51 170 13.70，得出 y 13.70 0.51x也正确，）
(3)X的取值依次为 2,3,4,5,6,7,9,11，………………………………………………………………………………(12分)
数学参考答案（新高考卷） 第 5页（共 8 页）
P X 2 2 1 2 ， P X
1 1
3 2 ， P X 4
1 1
，
C5 5 C
2
5 10 C5 10
P X 5 2 1 1 1 1 1
C2
， P X 6 2 ， P X 7 ，
5 5 C5 10 C
2
5 10
P X 9 1 1 1 1 2 ，, P X 11 2 ……………………………………………………………………(14分)C5 10 C5 10
所以 E X 2 1 1 1 1 1 1 1 1 27 3 4 5 6 7 9 11 ..………………………………(15分)
5 10 10 5 10 10 10 10 5
2 2
18. t【解析】(1)方法 1：设 A , t
t
，则 l的方程为 y t x tan ，
2p 2p
与 y2 2px联立得 y2 2p 2pt y t2 0， ………………………………………………………………（1分）
tan tan
因为直线 l与抛物线 C只有 1个公共点，
4p2 2pt p
所以 2 4 t
2
0，整理得 t ，tan tan tan
p
所以 A 2 ,
p
，…………………………………………………………………………………………（3分）
2 tan tan
p
又 F p ,0
2 tan
，所以 tan tan p p tan 2 ，…………………………………………………（5分） 2 1 tan
2
2 tan2 2
π
因为 0 ,0 2 π ，
4 2
所以 tan tan2 0,0 π ，
2
所以 2 . ………………………………………………………………………………………………………（7分）
方法 2：易知点 A(x0, y0)
p
在第一象限，且直线 l与C相切于点 A，由 y 2px，得 y ， ………（1分）
2x
所以 l的方程为 y p (x x0 ) 2px0 ，……………………………………………………………………（3分）2x0
设 l与 x交于点D，则D( x0 ,0)，………………………………………………………………………………（4分）
p
所以由抛物线的几何性质可知 AF x0 DF ， …………………………………………………………（5分）2
故 ADF DAF ， AFx ADF DAF 2 . …………………………………………………（7分）
(2) p 1时，C的方程为 y2 2x，
2
把 p 1， tan 1 t x t 代入 y t x tan 得 l的方程为 y ，t 2p

t 2
数学参考答案（新高考卷） 第 6页（共 8 页）
把 x 1 t 1 代入得 y ，
2 2 2t
P 1 , t 1 所以 ，……………………………………………………………………………………………（10分）
2 2 2t
2 2
由(1) t y知， A ,t ，设 B 0 , y0 ，
2 2
AB x my 1设直线 方程为 ，与 y2 2x联立得 y2 2my 1 0，
2
t, y 10 是该方程的两个根，所以 y0t 1，所以 y0 , ………………………………………………………（13分）t
1

t 1

1 t 2 2t
所以 k PA kPB 1 1 1， …………………………………………………………………………（16分）t
2 2t 2
所以 PA PB . ……………………………………………………………………………………………………（17分）
19.【解析】(1)因为 f x x3 3x2 a x 0 ，
所以 f x 3x2 6x，由 f x 0得 x 2，…………………………………………………………………（1分）
因为 g x x ln x ax2 2x，
所以 g x ln x 2ax 1，
1 ln x
所以问题转化为 x 2时 ln x 2ax 1 0 恒成立，即 x 2时 a 恒成立， …………………………（2分）
2x
设 F x 1 ln x x 2 F x ln x 2，则 2 ， x 2,e2 时 F x 0 ， F x 单调递减， x e2 , 时2x 2x
F x 0， F x 单调递增， ……………………………………………………………………………………（4分）
所以 F x 2 1min F e 2 ，2e
a 1 1 所以 2 ，即 a的取值范围是 , 2 . ………………………………………………………………（7分）2e 2e
(2)因为 g x x ln x ax 2 ，设m x ln x ax 2，
则m x 1 a，
x
（i）若 a 1，
x 0, 1 时m x 0，m x 单调递增，
a
x 1 ,

时m x 0，m x 单调递减，…………………………………………………………………（9分）
a
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1 1
所以m x m ln 3 0，
a a
所以 a 1时m x 0, g x 0,h x g x 0，
h x 没有零点，…………………………………………………………………………………………………（10分）
（ii）若 a 1，
由(1)知 f x 3x2 6x， f x 在 0,2 上单调递增，且 f 0 a 0，
所以 f x 0， …………………………………………………………………………………………………（11分）
当 x 1 0,2 时，m x 单调递增，且m lna 1 0，m 2 ln 2 2a 2 0，
a
存在唯一 x1 0,2 使得m x1 0，
g x1 0,h x1 0， ……………………………………………………………………………………………（13分）
当 x 2, 时，m x ln x ax 2 ln 2 2a 2 0， g x 0，
f x 在 2, 上单调递减，且 f 2 a 4 0， f 4a 64a 3 48a 2 a 64a 3 48a 3 a 3 15a 3 0 ，
所以存在唯一 x2 2, 使得 f x2 0， h x2 0，………………………………………………………（15分）
综上， a 1时 h x 没有零点， a 1时 h x 有 2个零点. .…………………………………………………（17分）
数学参考答案（新高考卷） 第 8页（共 8 页）