重庆市北碚区西南大学附属中学2023-2024学年九年级下学期入学数学试卷(含解析)

2023-2024学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（下）入学
数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（4分）的倒数是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）下列调查中，最适合全面调查的是（　　）
A．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
B．调查某款新能源车电池的使用寿命
C．了解全国中学生的视力情况
D．对2024年春节联欢晚会满意度的调查
4．（4分）如图，已知△OAB和△OCD是以点O为位似中心的位似图形，△OAB的面积为4cm2，△OAB的周长与△OCD的周长比是1：3，则△OCD的面积等于（　　）
A．40cm2 B．36cm2 C．12cm2 D．8cm2
5．（4分）估计的值应在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
6．（4分）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+ab﹣3＝a（a+b）﹣3
C．2ab2﹣8a＝2a（b2﹣4） D．a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4）
7．（4分）今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，则可列方程为（　　）
A．x（x+1）＝1980 B．
C．x（x﹣1）＝1980 D．
8．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，若∠BDE＝110°，则∠ABD的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AC，DE平分∠CDB交AC于点M，交BC于点E，BE＝2，则AF的长为（　　）
A． B． C．1 D．
10．（4分）把1，2，…，2n这2n个正整数任意分成n组（n为正整数），每组两个数，另一个记为y，代入代数式|x﹣y|﹣x﹣y中进行计算并求出结果，可求得n个值，将这n个值的和记为Mn，下列说法：①当n＝2时，Mn有3种不同的结果；
②当n＝3时，这个代数式的最小值为﹣10；
③当n＝11时，Mn的最小值为﹣253．
其中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．）
11．（4分）＝　 　．
12．（4分）若2amb4和﹣3a3bn+1是同类项，则2m﹣n＝　 　．
13．（4分）现有四张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1的不透明卡片，将它们背面朝上洗均匀后，随机抽取一张记下数字后不放回，前后两次抽取的数字之积为正数的概率为 　 　．
14．（4分）如图，直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A、B两点交于点C，连接OC，OB＝2BD，则k的值为 　 　．
15．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，分别以点A，C为圆心，CD为半径画弧，则图中阴影部分面积为 　 　.（结果保留π）
16．（4分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝8，D是AC的中点，过点A作AE⊥AB交BD的延长线于点E，则AE的长度为　 　．
17．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥3，且关于y的分式方程，则所有满足条件的整数a的值之和是 　 　．
18．（4分）若一个四位自然数M的各数位上的数字互不相同且均不为0，且千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这样的四位数为“平衡数”．将M的千位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为M'，并规定P（M）＝，若（）＝68，则a+b＝　 　，若s和t都是“平衡数”，其中s＝3000+100m+20+n，t＝100（10x+y）（1≤m≤9，1≤n≤9，1≤x≤9，1≤y≤9，且m，n，x，y均为整数），规定：k＝，若为整数，则的最大值是　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分．）解答时每小题必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）计算：
（1）m（3n﹣m）+（m+2n）（m﹣2n）；
（2）．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，直线EF分别与AD，F，与AC交于点O，AB∥DC，EM平分∠DEF．
（1）尺规作图：作∠BFE的角平分线FN交AB于点N；（只保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证：EM∥FN．
证明：∵AB∥DC，
∴　 　，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（AAS），
∴　 　，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∵EM平分∠DEF，FN平分∠BFE，
∴，，
∴　 　，
∴EM∥NF．
小西进一步研究发现，两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线均有此特征
两条平行线被第三条直线所截，　 　．
21．（10分）语文王老师为了了解同学们的语文寒假作业完成情况，进行了一个简单的练习，现从1班（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
1班20名学生的练习成绩为：
5，7，8，6，6，7，10，8，9，7，7，8，8，8，6，10，9，5，6
2班20名学生的练习成绩条形统计图如图：
1班、2班抽取的学生的练习成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如表所示：
年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比
1班 7.5 a 7.5 c
2班 7.5 7 b 45%
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为1班，2班中哪个班学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）1班，2班共110名学生参加此次练习，估计参加此次练习成绩合格的学生人数是多少？
22．（10分）为鼓励同学们读名著，学校购进了《朝花夕拾》和《昆虫记》若干．
（1）已知某书店1本《朝花夕拾》和2本《昆虫记》需72元；2本《朝花夕拾》和3本《昆虫记》需119元，求《朝花夕拾》和《昆虫记》的单价各多少元？
（2）由于量大从优，该书店《朝花夕拾》和《昆虫记》的价格均有所下调，其中每本《昆虫记》的价格是每本《朝花夕拾》的1.1倍，一共购买了600本，则学校购进《朝花夕拾》和《昆虫记》各多少本？
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，动点M，N分别以每秒，点M沿折线C→A→D方向运动，点N沿折线C→D→A方向运动，点M，N的距离为y．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出点M，N相距4个单位长度时x的值．
24．（10分）哈尔滨旅游火爆全网，小西和小附两家前往哈尔滨冰雪大世界玩耍，如图，最后前往最大游玩项目B处集合．经测量，项目B在入口R的正北方向1500米处，在项目B的南偏西30°方向，项目D在入口R的东北方900米处，在项目B的正东方向．
（1）求项目C和项目D之间的距离；（结果保留根号）
（2）已知小西家沿线路①R﹣A﹣B进行游玩，小附家沿线路②R﹣D﹣C﹣B进行游玩，请通过计算说明哪一条线路更短？（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c过点（3，﹣4），交x轴于点A（﹣1，0），B两点（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，BC，M为线段AB上一动点，连接MC，求△MDC面积的最大值及此时M点的坐标；
（3）在（2）中△MDC面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线BC方向平移，P是平移后的抛物线上一动点，连接CP，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
26．（10分）已知，在△ABC中，AB＝BC，以AB为边向下作一个△ABD且∠ADB＝60°，连接CD．
（1）如图1，若DA⊥AB，当AB＝3时；
（2）如图2，若点E是线段CD的中点，连接BE，AD，BE之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，当取得最小值时
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（4分）的倒数是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【解答】解：得到数是，
故选：C．
2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3．（4分）下列调查中，最适合全面调查的是（　　）
A．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
B．调查某款新能源车电池的使用寿命
C．了解全国中学生的视力情况
D．对2024年春节联欢晚会满意度的调查
【解答】解：A、检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，故本选项符合题意；
B、调查某款新能源车电池的使用寿命，故本选项不符合题意；
C、了解全国中学生的视力情况，故本选项不符合题意；
D、对2024年春节联欢晚会满意度的调查，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．（4分）如图，已知△OAB和△OCD是以点O为位似中心的位似图形，△OAB的面积为4cm2，△OAB的周长与△OCD的周长比是1：3，则△OCD的面积等于（　　）
A．40cm2 B．36cm2 C．12cm2 D．8cm2
【解答】解：∵△OAB和△OCD是以点O为位似中心的位似图形，
∴△OAB∽△OCD，
∵△OAB的周长与△OCD的周长比是1：3，
∴△OAB的周长与△OCD的相似比是8：3，
∴△OAB的周长与△OCD的面积比是1：8，
∵△OAB的面积为4cm2，
∴△OCD的面积等于36cm7，
故选：B．
5．（4分）估计的值应在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【解答】解：原式＝3﹣7＝，
∵62＝36，22＝49，而36＜45＜49，
∴6＜＜6，
∴5＜﹣1＜3，
故选：C．
6．（4分）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+ab﹣3＝a（a+b）﹣3
C．2ab2﹣8a＝2a（b2﹣4） D．a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4）
【解答】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形不属于因式分解；
C．2ab2﹣4a＝2a（b2﹣4）＝2a（b+2）（b﹣6），分解不彻底；
D．从左到右的变形属于因式分解．
故选：D．
7．（4分）今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，则可列方程为（　　）
A．x（x+1）＝1980 B．
C．x（x﹣1）＝1980 D．
【解答】解：∵小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，且全班有x名同学，
∴每位同学需发送（x﹣1）条拜年短信．
根据题意得：x（x﹣1）＝1980．
故选：C．
8．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，若∠BDE＝110°，则∠ABD的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【解答】解：连接AD，BE，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BDE＝110°，
∴∠ADE＝110°﹣90°＝20°，
∵AE＝DE，
∴＝，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠ADE＝20°，
∴∠ABD＝20°+20°＝40°．
故选：C．
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AC，DE平分∠CDB交AC于点M，交BC于点E，BE＝2，则AF的长为（　　）
A． B． C．1 D．
【解答】解：如图，过点M作MG⊥CD于点G，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OD＝OB＝OA＝OC，AC⊥BD，
∵DE平分∠CDB，OM⊥BD，
∴OM＝MG，
由MG⊥CD，∠ACD＝45°，
∴CM＝MG，
设OM＝MG＝a（a＞0，则CM＝aa，AC＝2（a+，
∴BD＝AC＝2（a+a）a+a＝2a+a，
∵FM⊥DE，
∴∠AMF+∠AMD＝90°，
∵∠BDE+∠AMD＝90°，
∴∠AMF＝∠BDE，
又∵MAF＝∠DBE＝45°，
∴△AMF∽△BDE，
∴，即＝，
解得：AF＝．
故选：A．
10．（4分）把1，2，…，2n这2n个正整数任意分成n组（n为正整数），每组两个数，另一个记为y，代入代数式|x﹣y|﹣x﹣y中进行计算并求出结果，可求得n个值，将这n个值的和记为Mn，下列说法：①当n＝2时，Mn有3种不同的结果；
②当n＝3时，这个代数式的最小值为﹣10；
③当n＝11时，Mn的最小值为﹣253．
其中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①当n＝2时，Mn有2种不同的结果，故①错误；
②当n＝5时，这个代数式的最小值为﹣10；
③当n＝11时，Mn的最小值为﹣242．故③不正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．）
11．（4分）＝　2+　．
【解答】解：
＝2+7×
＝2+．
故答案为：2+．
12．（4分）若2amb4和﹣3a3bn+1是同类项，则2m﹣n＝　3　．
【解答】解：∵2amb4和﹣3a3bn+1是同类项，
∴m＝8，n+1＝4，
解得：m＝8，n＝3，
∴2m﹣n＝4×3﹣3＝6﹣3＝3，
故答案为：5．
13．（4分）现有四张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1的不透明卡片，将它们背面朝上洗均匀后，随机抽取一张记下数字后不放回，前后两次抽取的数字之积为正数的概率为 　　．
【解答】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中前后两次抽取的数字之积为正数的结果有共5种，
∴前后两次抽取的数字之积为奇数的概率为．
故答案为：．
14．（4分）如图，直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A、B两点交于点C，连接OC，OB＝2BD，则k的值为 　﹣3　．
【解答】解：在函数y＝﹣x+2中，令x＝0，
∴B（2，2），
∵OB＝2BD，
∴BD＝7，
∴D（0，3），
当y＝6时，﹣x+2＝3，
∴C（﹣2，3），
∵点C在反比例函数图象上，
∴k＝﹣1×5＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，分别以点A，C为圆心，CD为半径画弧，则图中阴影部分面积为 　4﹣　.（结果保留π）
【解答】解：阴影部分的面积为：2×4sinA﹣＝4﹣，
故答案为：3﹣．
16．（4分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝8，D是AC的中点，过点A作AE⊥AB交BD的延长线于点E，则AE的长度为　　．
【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H，CH交BE于点F，
∵CA＝CB，AB＝6，
∴AH＝BH＝AB＝3，
∵AE⊥AB，CH⊥AB，
∴AE∥HF，
∴FH是△ABE的中位线，
∴FH＝AE，
∵AE∥CH，
∴∠EAD＝∠FCD，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，
∴FH＝CF，
在Rt△ACH中，CH＝＝＝，
∴CF+CF＝，
∴CF＝，
∴AE＝，
故答案为：．
17．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥3，且关于y的分式方程，则所有满足条件的整数a的值之和是 　18　．
【解答】解：解不等式组，可得：，
∵不等式组的解集为x≥3，
∴，
解得：a＜10，
∵于y的分式方程有非负整数解，
∴，
∴a+2≥3，
∴a≥﹣2，
∵a取整数，
∴a取0，﹣8，2，4，2，8，
∴所有满足条件的整数a的值之和是18，
故答案为：18．
18．（4分）若一个四位自然数M的各数位上的数字互不相同且均不为0，且千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这样的四位数为“平衡数”．将M的千位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为M'，并规定P（M）＝，若（）＝68，则a+b＝　9　，若s和t都是“平衡数”，其中s＝3000+100m+20+n，t＝100（10x+y）（1≤m≤9，1≤n≤9，1≤x≤9，1≤y≤9，且m，n，x，y均为整数），规定：k＝，若为整数，则的最大值是　　．
【解答】解：M＝＝2000+100a+10b+5，
M'＝＝1000b+300+20+a，则
∴10b+a＝45，
∵a、b为自然数，
∴b＝4，a＝6
∴a+b＝4+5＝5，
∵s＝3000+100m+20+n，t＝100（10x+y）+51＝1000x+100y+51，
则s′＝2000+100n+30+m，t′＝5000+100+10x+y，
∴x+y＝6，x、y不可以是1和3，n﹣m＝1，
为整数，
当x＝2，y＝5时，
25﹣8＝17，m＝8，，
25﹣12＝13，m＝4，，
25﹣16＝9，m＝4，，
25﹣20＝3，m＝2，
25﹣24＝1，m，n无解，
当x＝8，y＝2时，
43﹣28＝15，m＝7，，
43﹣32＝11，m＝6，，
43﹣36＝7，m＝3，
43﹣40＝4，m＝1，
∴k的最大值是，
三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分．）解答时每小题必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）计算：
（1）m（3n﹣m）+（m+2n）（m﹣2n）；
（2）．
【解答】解：（1）m（3n﹣m）+（m+2n）（m﹣2n）
＝3mn﹣m2+m2﹣4n2
＝5mn﹣4n2；
（2）
＝÷
＝
＝．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，直线EF分别与AD，F，与AC交于点O，AB∥DC，EM平分∠DEF．
（1）尺规作图：作∠BFE的角平分线FN交AB于点N；（只保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证：EM∥FN．
证明：∵AB∥DC，
∴　∠BAC＝∠DCA　，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（AAS），
∴　∠ACB＝∠CAD　，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∵EM平分∠DEF，FN平分∠BFE，
∴，，
∴　∠MEF＝∠NFE　，
∴EM∥NF．
小西进一步研究发现，两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线均有此特征
两条平行线被第三条直线所截，　所得的一组内错角的角平分线相互平行　．
【解答】（1）解：如图，FN即为所求．
（2）证明：∵AB∥DC，
∴∠BAC＝∠DCA，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（AAS），
∴∠ACB＝∠CAD，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∵EM平分∠DEF，FN平分∠BFE，
∴，，
∴∠MEF＝∠NFE，
∴EM∥NF．
小西进一步研究发现，两条平行线被第三条直线所截，请依照题意完成下面命题：
两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线相互平行．
故答案为：∠BAC＝∠DCA；∠ACB＝∠CAD；所得的一组内错角的角平分线相互平行．
21．（10分）语文王老师为了了解同学们的语文寒假作业完成情况，进行了一个简单的练习，现从1班（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
1班20名学生的练习成绩为：
5，7，8，6，6，7，10，8，9，7，7，8，8，8，6，10，9，5，6
2班20名学生的练习成绩条形统计图如图：
1班、2班抽取的学生的练习成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如表所示：
年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比
1班 7.5 a 7.5 c
2班 7.5 7 b 45%
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为1班，2班中哪个班学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）1班，2班共110名学生参加此次练习，估计参加此次练习成绩合格的学生人数是多少？
【解答】解：（1）1班20名学生的成绩出现次数最多的是8分，因此众数是6，
将2班20名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝7，
8班8分及以上人数所占百分比为c＝×100%＝50%；
（2）1班学生掌握知识较好，理由如下：
因为5班和2班平均分和众数均相等，但是1班的中位数和6分及以上人数所占百分比都比2班的高；
（3）110×＝99（人），
答：估计参加此次练习成绩合格的学生人数是99人．
22．（10分）为鼓励同学们读名著，学校购进了《朝花夕拾》和《昆虫记》若干．
（1）已知某书店1本《朝花夕拾》和2本《昆虫记》需72元；2本《朝花夕拾》和3本《昆虫记》需119元，求《朝花夕拾》和《昆虫记》的单价各多少元？
（2）由于量大从优，该书店《朝花夕拾》和《昆虫记》的价格均有所下调，其中每本《昆虫记》的价格是每本《朝花夕拾》的1.1倍，一共购买了600本，则学校购进《朝花夕拾》和《昆虫记》各多少本？
【解答】解：（1）设《朝花夕拾》的单价为x元，《昆虫记》的单价为y元，
根据题意得：，
解得，
∴《朝花夕拾》的单价为22元，《昆虫记》的单价为25元；
（2）设学校购进《朝花夕拾》m本，每本《朝花夕拾》价格为n元，
根据题意得：，
解得，
∴600﹣m＝600﹣350＝250，
∴学校购进《朝花夕拾》350本，购进《昆虫记》250本．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，动点M，N分别以每秒，点M沿折线C→A→D方向运动，点N沿折线C→D→A方向运动，点M，N的距离为y．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出点M，N相距4个单位长度时x的值．
【解答】解：（1）当点M在AC上，点N在CD上时，
在矩形ABCD中，AB＝6，
∴AC＝＝10，
∵CM＝x，CN＝x，
∴，，
∴，
∵∠MCN＝∠ACD，
∴△CMN∽△CAD，
∴，
∴y＝x（5≤x≤6），
当点M，点N在AD上时x，
即y＝﹣x+24（3＜x≤9），
综上所述，y＝；
（2）如图所示；
当0≤x≤6时，y随x的增大而增大；
（3）把y＝4代入y＝x得x＝4x+24得x＝7.5，
故点M，N相距4个单位长度时x的值分别为7和7.5．
24．（10分）哈尔滨旅游火爆全网，小西和小附两家前往哈尔滨冰雪大世界玩耍，如图，最后前往最大游玩项目B处集合．经测量，项目B在入口R的正北方向1500米处，在项目B的南偏西30°方向，项目D在入口R的东北方900米处，在项目B的正东方向．
（1）求项目C和项目D之间的距离；（结果保留根号）
（2）已知小西家沿线路①R﹣A﹣B进行游玩，小附家沿线路②R﹣D﹣C﹣B进行游玩，请通过计算说明哪一条线路更短？（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【解答】解：（1）过D作DE⊥BR于E，
∵∠DRE＝45°，DR＝900米，
∴DE＝ER＝450米，
∵BR＝1500米，
∴BE＝（1500﹣450）米，
过C作CF⊥DE于F，则四边形BEFC是矩形，
∴BC＝EF，BE＝CF＝（1500﹣450，
∵∠CDF＝60°，
∴DF＝CF＝（500）米，
∴CD＝2DF＝（1000﹣300，
答：项目C和项目D之间的距离为（1000﹣300；
（2）由（1）知，BC＝EF＝DE﹣DF＝（450+150，
∴线路②＝BC+CD+DR＝450﹣500+1000+900＝2032（米），
∵∠ARB＝60°，∠ABR＝30°，
∴∠A＝90°，
∴AR＝＝750（米）AR＝750米，
∴线路①＝AR+AB＝750+750≈2047.5（米），
∵2047.3＞2032，
∴线路②更短．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c过点（3，﹣4），交x轴于点A（﹣1，0），B两点（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，BC，M为线段AB上一动点，连接MC，求△MDC面积的最大值及此时M点的坐标；
（3）在（2）中△MDC面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线BC方向平移，P是平移后的抛物线上一动点，连接CP，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x4+x+2；
（2）由抛物线的表达式知，点A、B，0），5），2），
由点A、B、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝2x+5，
连接BD，设点M（m，
∵MD∥BC，则△MDC面积＝△MDB面积，
则直线DM的表达式为：y＝﹣（x﹣m）＝﹣x+m，
联立直线DM和直线AC的表达式得：2x+2＝﹣x+m，
解得：x＝，
则点D（，），
则S△MDC＝S△MDB＝BM×yD＝（2﹣m）×（m﹣≤，
故△MDC面积的最大值为，此时m＝，0）；
（3）该抛物线沿射线BC方向平移个单位长度，
则新抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）2+x+5＝﹣x2﹣x+3，
当∠PCM与△OBC的一个内角相等时，即∠PCM＝45°或90°；
当∠PCM＝45°时，如下图：
当点P在y轴左侧时，
设PC交x轴于点H，过点H作NH⊥CM于点N，
在△CMH中，CM＝＝＝4，
则设HN＝4x＝CN，则NM＝x，
则CM＝5x＝，则x＝，
则HM＝＝x＝1.4，
则点H（﹣1.2，3），
由点C、H的坐标得x+5，
将上式和新抛物线的表达式联立得：x+4＝﹣x2﹣x+3，
解得：x＝（舍去）或﹣3，
即点P（﹣2，﹣3）；
当点P（P′）在y轴右侧时，
则直线CP′的表达式为：y＝﹣x+2，
将上式和新抛物线的表达式联立得：﹣x+2＝﹣x2﹣x+5，
解得：x＝（不合题意的值已舍去），
即点P（，）；
当∠PCM＝90°时，如下图：
则直线PP′的表达式为：y＝x+8，
将上式和新抛物线的表达式联立得：x+2＝﹣x2﹣x+3，
解得：x＝
即点P（，）或（，）；
综上，点P的坐标为（，，）或（，，﹣3）．
26．（10分）已知，在△ABC中，AB＝BC，以AB为边向下作一个△ABD且∠ADB＝60°，连接CD．
（1）如图1，若DA⊥AB，当AB＝3时；
（2）如图2，若点E是线段CD的中点，连接BE，AD，BE之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，当取得最小值时
【解答】（1）解：如图1，
作∠DBF＝120°，截取BF＝BD，DF，
∴∠BFD＝∠BDF＝30°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴AD＝，
BD＝，
∴DF＝BD＝6，
∵∠DBF＝∠ABC＝120°，
∴∠BAD＝∠CBF，
∵AB＝BC，
∴△CBF≌△ABD（SAS），
∴∠BFC＝∠ADB＝60°，CF＝AD＝，
∴∠DFC＝∠BFD+∠BFC＝90°，
∴CD＝＝；
（2）证明：如图2，
延长CB至W，使BW＝CB，DW，连接AV，
∴∠ABW＝180°﹣∠ABC＝60°，AB＝BC＝BW，
∴△ABW是等边三角形，
∴∠AWB＝60°，AB＝AW，
∵∠ADB＝60°，
∴∠AWB＝∠ADB，△ADV是等边三角形，
∴点A、D、W、B共圆，∠AVD＝60°，
∴∠AWD＝∠ABD，∠ADW＝180°﹣∠ABW＝120°，
∴∠AVB＝∠ADW，
∴△ADW≌△AVB（AAS），
∴DW＝BV，
∴BD＝DV+BV＝AD+DW，
∵点E是CD的中点，
∴DW＝2BE，
∴AD+2BE＝BD；
（3）解：如图4，
＝（AE+，
以AB为边在AB下方作等边三角形ABH，作△ABH的外接圆I，
则点D在⊙I上，连接DI，BI，连接OE，交IB的延长线于R，
∴OE＝DI，
不妨设AB＝BC＝2，则DI＝AI＝，
∵E是CD的中点，
∴OE＝DI＝，
∵AI＝IB，∠AIB＝7∠ADB＝120°，
∴∠ABI＝∠BAI＝30°，
∴∠IBC＝∠ABI+∠ABC＝30°+120°＝150°，
∴∠CBR＝180°﹣∠IBC＝30°，
∴CR＝BC＝4BC＝，
∴IR＝BI+BR＝，
∴CI＝＝，
∴OC＝CI＝，
在OC上截取OG＝，连接EG，
∴，
∵∠EOG＝∠EOC，
∴△EOG∽△COE，
∴，
∴EG＝CE，
∴AE+CE＝AE+EG≤AG，
当A、E、G共线时CE最小，即，
如图4，
AC＝5，AI＝，CG＝OC﹣OG＝＝，
作IX⊥AC于X，作Z⊥AC于Z，
设AX＝x，则CX＝8，
由IX2＝AI3﹣AX2＝CI2﹣CX7得，
 （）2﹣x2＝（）2﹣（88，
∴x＝，
∴CX＝4＝，
∴IX＝＝3，
∵IX∥XI，
∴△CZG∽△CXI，
∴＝，
∴
∴CZ＝，ZG＝，
∴AZ＝AC﹣CZ＝，
∴AG＝＝，
∴sin∠CAE＝．