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☆重点难点剖析☆
16.3 可化为一元一次方程的分式方程
分式方程：分母中含有未知数的方程
分式方程解方程的步骤：
①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
②解整式方程
③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
题型一：判断是否是分式方程
【例题1】．（八年级上·全国·课堂例题）判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）．
(1)；
(2)；
(3)（是常数．）；
(4)．
【答案】(1)不是(2)是(3)不是(4)是
【详解】（1）解：是整式方程，不是关于的分式方程；
（2）是关于的分式方程；
（3）是整式方程，不是关于的分式方程；
（4）是关于的分式方程
【变式1】．（八年级上·山东泰安·阶段练习）判一判：下列方程中，哪些是分式方程 哪些是整式方程
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；
（7）．
【答案】（）（）（）（）（）是分式方程；（）（）是整式方程．
【详解】（1）是分式方程；
（2）是整式方程；
（3）是分式方程；
（4）是分式方程；
（5）是分式方程；
（6）是整式方程；
（7）是分式方程．
题型二：解分式方程
【例题2】．（八年级上·河南驻马店·期末）解下列分式方程：
（1）＝1
（2）
【答案】（1）x＝0；（2）x＝﹣3．
【详解】解：（1）方程两边同乘以（x+2）（x﹣2），
约去分母得：x（x+2）﹣4＝（x+2）（x﹣2），
解之得：x＝0，
检验：当x＝0时，（x+2）（x﹣2）≠0，
∴x＝0是原方程的解，
∴原分式方程的解为：x＝0；
（2）方程两边同乘以（x﹣1）（x+2），
约去分母得：x（x+2）＝3，
整理得x2+2x﹣3＝0，
解之得x1＝1，x2＝﹣3，
检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0，
∴x＝1不是原方程的解；
当x＝﹣3时，（x﹣1）（x+2）≠0，
∴x＝﹣3是原方程的解；
∴原分式方程的解为：x＝﹣3．
【变式2】．（2021·北京朝阳·一模）解方程：．
【答案】
【详解】解：去分母，得
．
解得．
经检验，是原方程的解．
所以原方程的解是．
1．（2021八年级下·全国·专题练习）下列方程哪些是分式方程？
（1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）．
【答案】（1）（2）是分式方程
【详解】解：（1）是分式方程；（2）是分式方程；（3）不是分式方程；（4）（a是常数）不是分式方程，
故（1）（2）是分式方程．
2．（2020八年级下·陕西·专题练习）在下列方程：①、②、③、④、⑤⑥，⑦，⑧，⑨中，哪些是分式方程，并说明理由．
【答案】③④⑤⑦,详见解析
【详解】解：方程①②⑥⑧分母中不含未知数，故①②⑥⑧不是分式方程；
方程③④⑤⑦分母中含表示未知数的字母，故是分式方程；
方程⑨属于无理方程．
3．（八年级上·山东日照·期末）解下列方程
(1)
(2)
【答案】(1)原分式方程无解
(2)
【详解】（1）解：方程两边乘，
得，
解得：，
检验：当时，，
故是增根，原方程无解；
（2）解：原方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
4．（八年级上·山东泰安·期中）解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)x＝3
(2)原方程无解
【详解】（1）
分式两边都乘，得
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根；
（2）
分式两边都乘，得
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
原方程无解．
5．（八年级·全国·随堂练习）（1） ；
（2） ．
【答案】（1）；（2）无解
【详解】解：（1），
方程两边乘，
得，
解得．
检验：当时，，
所以原分式方程的解为．
（2）原方程可化为
，
方程两边乘，
得，
解得．
检验：当时，．
因此不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解．
题型三：分式方程的增根与无解
【例题3】．（八年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知关于 的方程 有增根，求的值．
【答案】或
【详解】解：，
去分母，得：，
整理，得：；
∵方程有增根，
∴，
∴或；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上：或．
【变式3】．（八年级上·山东菏泽·期末）（1）若方程有增根，则增根是__________；
（2）若方程有增根，求的值．
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）∵分式方程有增根，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）
去分母得：，
移项得：，
解得：
∵分式方程有增根，
∴，即，
∴，
解得．
题型四：已知分式方程的解是负数（正数），求参数的取值范围
【例题4】．（八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知关于x的分式方程的解是非负数，求m的取值范围．
【答案】且
【详解】解：将分式方程两边同乘以，得，
解得：．
∵方程的解是非负数，
∴，
解得；
又∵，即，
∴，
综上m的取值范围为且．
【变式4】．（八年级上·山东威海·期末）已知是关于的分式方程．
(1)当时，求方程的解；
(2)若该方程的解为正数，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【详解】（1）解：原方程为，
解得，
检验：当时，．
∴是原方程的根；
（2）解：解分式方程得，
∵分式方程的解是正数，
∴且，
∴且，
解得：且，
∴的取值范围是：且．
1．（2024八年级·全国·竞赛）关于的方程．
(1)若，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求的值．
【答案】(1)
(2)或4
【详解】（1）解：当时，原方程为，
方程两边同时乘以得：，
解这个方程得：，
检验：当时，，
∴是原方程的解.
（2）
方程两边同时乘以得：，
原方程有增根，则或，
即或，代入整式方程得或
解得或4.
2．（八年级上·山东威海·期末）已知关于的分式方程．
(1)若这个方程无解，求的值；
(2)若这个方程的解是非负数，求的值．
【答案】(1)3或
(2)且
【详解】（1），
两边都乘以，得
，
∴，
当时，分式方程无解，此时．
当时，分式方程无解，此时即．
综上可知，若这个方程无解，的值为3或；
（2）∵，
∴，
由题意，得
且，
解得且．
3．（八年级上·湖南湘潭·期末）若关于x的分式方程：的解为正数，求k的取值范围．
【答案】且
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∵方程的解为正数，
∴，
∴，
∵分母不能为0，
∴，
∴，
解得，
综上所述：且
4．（八年级上·安徽铜陵·阶段练习）已知关于的分式方程的解为正数，求实数的取值范围．
【答案】且
【详解】解：，
方程两边同乘以，得，
解得，
关于的分式方程的解为正数，
，
解得：且，
即实数的取值范围为且．
5．（八年级上·安徽阜阳·期末）已知关于x的分式方程．
(1)当时，求分式方程的解；
(2)求m为何值时，分式方程无解．
【答案】(1)；
(2)当或时，分式方程无解．
【详解】（1）解：当时，分式方程为，
去分母，得，
去括号，得，
移项合并同类项，，
系数化1，得，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
（2）解：，
方程两边同乘，得，
整理，得.
①若整式方程无解，，解得；
②若分式方程有增根，或，
即当或时，分式方程无解．
当时，方程无解；当时，，解得．
综上，当或时，分式方程无解．
6．（八年级上·江西宜春·期末）已知关于的分式方程．
(1)若这个方程的解是正数，请求出取值范围；
(2)若这个方程无解，请你直接写出的值．
【答案】(1)且；
(2)或或．
【详解】（1）
解：方程两边同乘以
得：，
解得：
由题意得：
且；
（2）
由（1）得：，
由题意得：或，
解得：或或，
故答案为：3或10或．
题型五：已知分式方程的解的取值范围，求参数的取值范围
【例题5】．（八年级上·黑龙江绥化·期中）若数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和．
【答案】
【详解】解：
解得且，
∵解为非负数，
∴且，
解得且．
，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
因为关于y的不等式组的解集为，
所以，
所以且，
因为为整数，
所以为1、2、4、5，
所以符合条件的所有整数的和为．
【变式5】．（八年级上·江西宜春·期中）使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的分式方程的解为正数的所有整数a的值之和为多少？
【答案】11
【详解】解：由不等式组，
得，
∵有且只有4个整数解，
∴，
解得，
解分式方程，
得，
∵解为正数
∴且，即且，
∴，6即所有整数a的值之和为．
1．（八年级上·安徽芜湖·期末）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，求符合条件的所有整数a之和．
【答案】1
【详解】解：，
解①得，；
解②得，，
∵不等式组有且只有四个整数解，
∴不等式组的解集为，整数解为：1，2，3，4；
∴，
解得，；
解分式方程得，；
∵方程的解为非负数，且
∴；即；
综上：且
∵a是整数，
∴；
∴．
2．（八年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个奇数解，求满足条件的整数a的值．
【答案】1，3，6
【详解】解：根据题意解不等式组
得．
∵关于y的不等式组至少有两个奇数解，
∴，解得．
由，
解得．
∵，
∴．
∴．
∵方程有正整数解，且a为整数，
∴a＝1，3，6．
3．（2022八年级上·全国·专题练习）若关于x的不等式组有解，且使得关于y的分式方程有非负整数解，求所有的整数m的和.
【答案】
【详解】解：整理不等式组，得，
不等式组有解，
不等式组的解集为，
即，
解得．
化简分式方程，得，
解得，
由题意知，分式方程有意义，
，
，即，
分式方程有非负整数解，
是3的非负整数倍，
或3
或，
所有的整数的和为．
4．（八年级下·四川资阳·阶段练习）若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的不等式组至少有4个整数解，求符合条件的所有整数a的和．
【答案】9
【详解】解：解不等式组
由①得：y<11，
由②得：y≥2a-5，
∵不等式组至少有4个整数解，即y=10，9，8，7；
∴2a-5≤7，
解得：a≤6．
解关于x的分式方程，
得：x=，
∵分式方程有正整数解，
∴a-2是8的约数，且≠4，≠0，a≠2，
解得：a=3或6或10（舍去），
所以所有满足条件的整数a的值为3，6．
那么符合条件的所有整数a的和为3+6=9．
5．（八年级下·四川巴中·期末）已知关于x的不等式组的解集是．
(1)求的值；
(2)若关于x的方程的解是负数，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【详解】（1）
解不等式①得：
解不等式②得：
原不等式组的解集为
∴
解得
（2）由题意得：
方程两边同时乘以得：.
解得：
方程的解是负数
且
6．（2022·山东聊城·二模）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，求符合条件的所有整数a的积．
【答案】40
【详解】∵，
去分母，得
x+2-a=3x-3,
移项、合并同类项，得 2x=5-a，
系数化为1，得
x=，
∵数a使关于x的分式方程的解为非负数，且x-1≠0，
∴，
∴，
∵，
∴①的解集为，②的解集为，
∵的解集为，
∴a＞0，
∴符合条件的所有整数a为1,2,4,5，
∴符合条件的所有整数a的积为1×2×4×5=40．
7．（21-22九年级下·江西吉安·期中）若关于x的不等式组有解，且使得关于y的分式方程有非负整数解，求所有的整数m的和．
【答案】-7
【详解】解： ，
解①，得 ，
解②，得 ，
因为关于x的不等式有解，
，
，
解分式方程 ，
得 ，
由于分式方程有非负整数解
∴y≥0
∴≥0
解得m≥-5
∴m的取值范围为-5≤m≤1
又∵y是整数
∴m=-5，-2，1
又∵y≠2（y=2是分式方程的增根）
∴m≠1
∴所有的整数m的和是．
题型六：用科学记数法表示小于1的数
【例题6】．（七年级上·广东深圳·期末）近几年，随着我国科技的快速发展，芯片技术已全面融入我们的生活中，其中的芯片应用最为广泛．数据“”用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
故选：．
【变式6】．（八年级下·吉林长春·期中）环境监测中是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如果1微米米，那么微米用科学记数法可以表示为（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵用科学记数法表示为
∴1微米米，
∴微米米，
故选：C．
1．（七年级下·陕西榆林·期中）碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理研究组已研制出直径为0.0000000005米的碳纳米管，将0.0000000005用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，
故选A．
2．（七年级下·陕西渭南·期中）碘是人体必需的微量元素之一，在人的身体成长、发育过程中起着至关重要的作用，已知碘原子的半径约为，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】．
故选：B．
3．（八年级下·河南南阳·期中）研究发现新冠肺炎病毒大小约等于米．可用科学记数法表示为a×10－n的形式，则a、n的值分别为（ ）
A．1.25、6 B．1.25、7 C．12.5、6 D．1.25、－7
【答案】B
【详解】解：，则．
故选B．
4．（七年级下·江苏苏州·期末）某种病毒直径为，用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：．
故选：B．
5．（八年级上·江西九江·开学考试）年月日，天气软件显示毕节市的空气质量情况为“优”，其中的值为微克立方米，即克立方米．数据用科学记数法表示为 ．
【答案】
【详解】解：，故答案为：．
6．（2011·江苏镇江·中考模拟）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占．将用科学记数法表示为 ．
【答案】
【详解】解：，
故答案为：．
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☆重点难点剖析☆
16.3 可化为一元一次方程的分式方程
分式方程：分母中含有未知数的方程
分式方程解方程的步骤：
①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
②解整式方程
③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
题型一：判断是否是分式方程
【例题1】．（八年级上·全国·课堂例题）判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）．
(1)；
(2)；
(3)（是常数．）；
(4)．
【变式1】．（八年级上·山东泰安·阶段练习）判一判：下列方程中，哪些是分式方程 哪些是整式方程
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；
（7）．
题型二：解分式方程
【例题2】．（八年级上·河南驻马店·期末）解下列分式方程：
（1）＝1
（2）
【变式2】．（2021·北京朝阳·一模）解方程：．
1．（2021八年级下·全国·专题练习）下列方程哪些是分式方程？
（1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）．
2．（2020八年级下·陕西·专题练习）在下列方程：①、②、③、④、⑤⑥，⑦，⑧，⑨中，哪些是分式方程，并说明理由．
3．（八年级上·山东日照·期末）解下列方程
(1)
(2)
4．（八年级上·山东泰安·期中）解分式方程：
(1)；
(2)．
5．（八年级·全国·随堂练习）（1） ；
（2） ．
题型三：分式方程的增根与无解
【例题3】．（八年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知关于 的方程 有增根，求的值．
【变式3】．（八年级上·山东菏泽·期末）（1）若方程有增根，则增根是__________；
（2）若方程有增根，求的值．
题型四：已知分式方程的解是负数（正数），求参数的取值范围
【例题4】．（八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知关于x的分式方程的解是非负数，求m的取值范围．
【变式4】．（八年级上·山东威海·期末）已知是关于的分式方程．
(1)当时，求方程的解；
(2)若该方程的解为正数，求的取值范围．
1．（2024八年级·全国·竞赛）关于的方程．
(1)若，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求的值．
2．（八年级上·山东威海·期末）已知关于的分式方程．
(1)若这个方程无解，求的值；
(2)若这个方程的解是非负数，求的值．
3．（八年级上·湖南湘潭·期末）若关于x的分式方程：的解为正数，求k的取值范围．
4．（八年级上·安徽铜陵·阶段练习）已知关于的分式方程的解为正数，求实数的取值范围．
5．（八年级上·安徽阜阳·期末）已知关于x的分式方程．
(1)当时，求分式方程的解；
(2)求m为何值时，分式方程无解．
6．（八年级上·江西宜春·期末）已知关于的分式方程．
(1)若这个方程的解是正数，请求出取值范围；
(2)若这个方程无解，请你直接写出的值．
题型五：已知分式方程的解的取值范围，求参数的取值范围
【例题5】．（八年级上·黑龙江绥化·期中）若数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和．
【变式5】．（八年级上·江西宜春·期中）使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的分式方程的解为正数的所有整数a的值之和为多少？
1．（八年级上·安徽芜湖·期末）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，求符合条件的所有整数a之和．
2．（八年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个奇数解，求满足条件的整数a的值．
3．（2022八年级上·全国·专题练习）若关于x的不等式组有解，且使得关于y的分式方程有非负整数解，求所有的整数m的和.
4．（八年级下·四川资阳·阶段练习）若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的不等式组至少有4个整数解，求符合条件的所有整数a的和．
5．（八年级下·四川巴中·期末）已知关于x的不等式组的解集是．
(1)求的值；
(2)若关于x的方程的解是负数，求m的取值范围．
6．（2022·山东聊城·二模）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，求符合条件的所有整数a的积．
7．（21-22九年级下·江西吉安·期中）若关于x的不等式组有解，且使得关于y的分式方程有非负整数解，求所有的整数m的和．
题型六：用科学记数法表示小于1的数
【例题6】．（七年级上·广东深圳·期末）近几年，随着我国科技的快速发展，芯片技术已全面融入我们的生活中，其中的芯片应用最为广泛．数据“”用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6】．（八年级下·吉林长春·期中）环境监测中是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如果1微米米，那么微米用科学记数法可以表示为（ ）米．
A． B． C． D．
1．（七年级下·陕西榆林·期中）碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理研究组已研制出直径为0.0000000005米的碳纳米管，将0.0000000005用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（七年级下·陕西渭南·期中）碘是人体必需的微量元素之一，在人的身体成长、发育过程中起着至关重要的作用，已知碘原子的半径约为，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（八年级下·河南南阳·期中）研究发现新冠肺炎病毒大小约等于米．可用科学记数法表示为a×10－n的形式，则a、n的值分别为（ ）
A．1.25、6 B．1.25、7 C．12.5、6 D．1.25、－7
4．（七年级下·江苏苏州·期末）某种病毒直径为，用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（八年级上·江西九江·开学考试）年月日，天气软件显示毕节市的空气质量情况为“优”，其中的值为微克立方米，即克立方米．数据用科学记数法表示为 ．
6．（2011·江苏镇江·中考模拟）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占．将用科学记数法表示为 ．
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