2023-2024学年广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学九年级（下）开学数学试卷(含解析）

2023-2024学年广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示的是某用户微信支付情况，表示的意思是( )
A. 发出元红包 B. 收入元 C. 余额元 D. 抢到元红包
2.九班选派名学生参加演讲比赛，他们的成绩如下：
选手 平均成绩 中位数
成绩分
则如表中被遮盖的两个数据从左到右依次是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.如图是一个正方体的平面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式的乘积都小于，则整数的值是( )
A.
B.
C.
D.
4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为( )
A. B. C. D.
6.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线即圆弧，高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为( )
A. B. C. D.
7.如图，在直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，将菱形沿轴向右平移个单位长度，再沿轴向下平移个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为( )
A. B. C. D.
8.下列哪一个是假命题( )
A. 五边形外角和为
B. 切线垂直于经过切点的半径
C. 关于轴的对称点为
D. 抛物线对称轴为直线
9.已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为( )
A.
B.
C.
D.
10.发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图是发动机的实物剖面图，图是其示意图，图中，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点、是直线与的交点；当点运动到时，点到达，当点运动到时，点到达；若，，则下列结论正确的是( )
；；当与相切时，；当时，．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.小明从红星照耀中国，红岩，长征，钢铁是怎样炼成的四本书中随机挑选一本，其中拿到红星照耀中国这本书的概率为______．
12.若，，则代数式的值为______．
13.如图，菱形的边长为，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为______．
14.如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为______．
15.如图，在四边形中，，对角线，相交于点若，，，则的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
先化简，再求值：，其中．
17.本小题分
为了启发学生的阅读自觉性，培养学生的学习毅力，学校决定开展“读书月”活动，对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查，所有图书分成五类：艺术、文学、科普、传记、其他根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图每位同学必选且只选最喜欢的一类，根据图中提供的信息，解答下列问题：
这次调查的学生共有______名，喜欢“文学”类的学生有______名；
在扇形统计图中“科普”类所对应的圆心角的度数是______，“其他”类所对应的百分比是______；
如果要在这五类图书中任选两类进行调查，恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率是______．
18.本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点点、均在格点上，只用无刻度的尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点在格点上．
在图中，的面积为；
在图中，的面积为；
在图中，是面积为的钝角三角形．
19.本小题分
为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量克随时间分钟变化的数据，并分别绘制在直角坐标系中，如图所示．
从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
20.本小题分
学科综合
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象如图，我们把称为折射率其中代表入射角，代表折射角．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，．
求入射角的度数．
若，求光线从空气射入水中的折射率参考数据：，，
21.本小题分
综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：
将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．
探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图，设其中心到顶点的距离是，以车轮转动一次以一个顶点为支点旋转为例，中心的轨迹是，，圆心角此时中心轨迹最高点是即的中点，转动一次前后中心的连线是水平线，请在图中计算到的距离．
探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图，设其中心到顶点的距离是，以车轮转动一次以一个顶点为支点旋转为例，中心的轨迹是，，圆心角此时中心轨迹最高点是即的中点，转动一次前后中心的连线是水平线，请在图中计算到的距离结果保留根号．
探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图，设其中心到顶点的距离是，以车轮转动一次以一个顶点为支点旋转为例，中心的轨迹是，圆心角 ______．
此时中心轨迹最高点是即的中点，转动一次前后中心的连线是水平线，在图中计算到的距离 ______结果保留根号．
归纳推理：比较，，大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线水平线的距离______填“越大”或“越小”．
得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图，其中心即圆心的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线水平线的距离 ______这样车辆行驶平稳、没有颠簸感所以，将车轮设计成圆形．
22.本小题分
探究函数的图象和性质，探究过程如下：
自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中， ______根据如表数据，在图所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分观察图象，写出该函数的一条性质；
点是函数图象上的一动点，点，点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标；
在图中，当在一切实数范围内时，抛物线交轴于，两点点在点的左边，点是点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，不含端点于，两点当直线与抛物线只有一个公共点时，与的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可知，表示的意思是发出元红包．
故选：．
根据相反意义的量可以用正负数来表示，正数表示收到，则负数表示发出，据此解答即可．
考查用负数表示相反意义的量，理解正负数的意义是解决问题的前提．
2.【答案】
【解析】解：根据题意可得：的成绩，
中位数为，
故选：．
根据中位数和平均数的求解即可．
此题考查中位数，关键是根据中位数和平均数的解答．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字．解题的关键是掌握找正方体相对两个面上的文字的方法，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对的面上的数字或代数式的乘积都小于列不等式求出的取值范围，然后进行判断即可得解．
【解答】
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形．
“”与“”是相对面，
“”与“”是相对面，
“”与“”是相对面，
相对的面上的数字或代数式的乘积都小于，
解得，
．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，故该选项不符合题意；
B.，故该选项不符合题意；
C.，故该选项符合题意；
D.，故该选项不符合题意；
故选：．
根据完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则，逐项分析判断即可求解．
本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则，熟练掌握以上运算法则以及乘法公式是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由题意知，
，
，
，
故选：．
由得，再根据三角形的外角性质可得答案．
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等与三角形外角的性质．
6.【答案】
【解析】解：过点，的两条切线相交于点，
，
、、、四点共圆，
，
圆曲线的长为：．
故选：．
由圆的切线可得，进而可证明、、、四点共圆，利用圆内接四边形的性质可求得，再根据弧长公式计算可求解．
本题主要考查圆的切线的性质，点与圆的位置关系，圆内接四边形的性质，弧长的计算，证明、、、四点共圆求解的度数是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，
，
点的坐标为，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
由勾股定理得，
，
点的坐标是，
将菱形沿轴向右平移个单位长度，再沿轴向下平移个单位长度，得到菱形，
点的坐标为，
故选：．
过点作轴于点，根据菱形的性质得出，，于是求出的长，在中根据勾股定理求出的长，从而得出点的坐标，再根据平移规律即可得出点的坐标．
本题考查了菱形的性质，平面直角坐标系中点的平移规律，求出点的坐标，根据平移规律得出点的坐标是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】
解：、五边形外角和为是真命题，故A不符合题意；
B、切线垂直于经过切点的半径是真命题，故B不符合题意；
C、关于轴的对称点为，故C是假命题，故C符合题意；
D、抛物线对称轴为直线是真命题，故D不符合题意；
故选：．
9.【答案】
【解析】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第一、三象限，则，
函数的图象开口向上，对称轴为直线，
由图象可知，反比例函数与一次函数的图象有两个交点和，
，
，
，
对于函数，当时，，
函数的图象过点，
反比例函数与一次函数的图象有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，
，
，
当时，，
函数的图象不过原点，
符合以上条件的只有选项．
故选：．
根据反比例函数与一次函数的图象，可知，，所以函数的图象开口向上，对称轴为直线，根据两个交点为和，可得，，可得函数的图象过点，不过原点，即可判断函数的大致图象．
本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，应该熟记一次函数、反比例函数和二次函数在不同情况下所在的象限．
10.【答案】
【解析】解：如图，由题意可得：
，，，，
，故正确；
，故错误；
如图，当与相切时，，
，
，故正确；
当时，如图，
，
，，
，故错误；
正确的有个，
故选：．
根据切线的性质和勾股定理以及垂径定理即可得到结论．
本题考查的是线段的和差运算，圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
11.【答案】
【解析】解：小明从红星照耀中国，红岩，长征，钢铁是怎样炼成的四本书中随机挑选一本，拿到红星照耀中国这本书的概率为，
故答案为：．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：
，
，，
．
故答案为：．
先对整式进行因式分解，再根据条件求其值即可．
本题考查了因式分解的应用，先用提公因式法再用公式法对式子进行因式分解是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
13.【答案】
【解析】解：延长交于点，交于点，如图，
四边形为菱形，
，，
，
由作法得垂直平分，
，，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
在中，．
故答案为：．
延长交于点，交于点，如图，根据菱形的性质得到，，利用作法得垂直平分，所以，，接着计算出，则，然后计算出，最后利用勾股定理计算的长．
本题考查了作图复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．
14.【答案】
【解析】解：如图，作轴，垂足为．
由题意，在中，，，
．
．
．
又绕点顺时针旋转至的位置，
，，
．
又点是的中点，
．
在中，
，
．
又在上，
．
故答案为：．
依据题意，在中，，，从而，可得，又结合题意，，进而，故可得点坐标，代入解析式可以得解．
本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解题时需要熟练掌握并灵活运用是关键．
15.【答案】
【解析】解：过作于，延长，于，如图所示：
则，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
即，
，
，
，
，
即，
解得．
故答案为：．
过作于，延长，于，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出，证明，得到，根据等腰三角形的性质得出，证明，得到，求出，根据勾股定理求出，根据，得到，即，求出结果即可．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由二次根式的性质、绝对值的性质及特殊锐角的三角函数值得出的值，继而代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及特殊锐角的三角函数值、二次根式的性质及绝对值的性质．
17.【答案】
【解析】解：由统计图可知：这次调查的学生共有名；喜欢“文学”类的学生有名；
故答案为：；；
由可知：“科普”类所对应的圆心角的度数是；
“其他”类所对应的百分比是；
故答案为：；；
由题意可列表如下：
艺术 文学 传记 科普 其他
艺术
文学
传记
科普
其他
在这五类图书中任选两类进行调查共有种，其中恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的共有种，则恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率为；
故答案为：．
根据喜欢“艺术”类的学生人数和所占百分比可进行求解；
根据中的数据可直接进行求解；
根据列表法可进行求解概率．
本题主要考查扇形与条形统计图及概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图及概率的求解是解题的关键．
18.【答案】解：如图：
如图：即为所求；
如图：即为所求；
如图：即为所求．
【解析】先根据三角形的面积求出边上的高，再作图；
根据网格线的特点及三角形的面积公式作图；
根据网格线的特点及三角形的面积公式作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及三角形的面积公式是解题的关键．
19.【答案】解：观察两种场景可知，场景为，场景为，
把，代入得：
，
解得，
，
把代入得：
，
解得，
；
答：场景的函数表达式为，场景的函数表达式为；
当时，
场景中，，
场景中，，
解得，
答：化学试剂在场景下发挥作用的时间更长．
【解析】观察两种场景可知，场景为，场景为，用待定系数法求出解析式即可；
分别求出当时的值，即可得出答案．
本题考查一次函数，反比例函数，二次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数，反比例函数，二次函数的性质．
20.【答案】解：如图：过点作，垂足为，
由题意得：四边形是矩形，
，，
在中，，
，
，
入射角的度数为；
，，
，
在中，，
，
，
由得：，
，
折射率，
光线从空气射入水中的折射率约为．
【解析】过点作，垂足为，根据题意可得：四边形是矩形，从而可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，从而可得，再根据对顶角相等可得，即可解答；
根据已知可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而利用锐角三角函数的定义求出的值，再利用的结论可得：，从而可得，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】 越小
【解析】解：图，
，，
，
，
是等边三角形，
，
；
如图，
，，，
，
，
；
如图，
，，
是等边三角形，
，
在中，
，
，
故答案为：，；
，
，越小；
故答案为：；
圆的半径相等，
，
故答案为：．
是等边三角形，进而求得，进一步得出结果；
是等腰直角三角形，进而求得，进一步得出结果；
是等边三角形，进而求得，进一步得出结果；
比较大小得出结果；
圆的半径相等，从而得出结果．
本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的定义，解直角三角形等知识，解决问题的关键是弄清数量间的关系．
22.【答案】
【解析】解：当时，，
，
函数图象如图所示：
由图象可得该函数的性质：该函数关于轴对称；当或时，随的增大而增大；当或时，随的增大而减小；
故答案为：；
当时，，
当时，，
，，
，
，
，
，
当时，若，则，
解得：或，
若，则，
解得：或，
或或或；
当时，若，则，
解得：或，
若，则，
解得：或，
或或或；
综上所述，所有满足条件的点的坐标为或或或或或或或；
与的和是定值；
如图，连接直线，
抛物线交轴于，两点，
，，
，
抛物线的顶点为，
点是点关于抛物线顶点的对称点，故点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
同理可得，直线的表达式为，
设直线的表达式为，
联立和并整理得：，
直线与抛物线只有一个公共点，
故，解得，
故直线的表达式为，
联立并解得，
同理可得，，
射线、关于直线：对称，则，设，
则，
为定值．
把代入即可求得，运用描点法画出部分的图象，观察图象描述性质即可；
当时，，当时，，根据，可求得点的纵坐标，代入解析式解方程即可；
利用待定系数法可得：直线的表达式为，直线的表达式为，由直线与抛物线只有一个公共点，可得直线的表达式为，联立方程组可求得：，，再运用解直角三角形即可求得答案．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，抛物线上的点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，抛物线的平移的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
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