7.1.1数系的扩充和复数的概念 课件（共17张PPT）-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

(共17张PPT)
7.1.1数系的扩充和复数的概念
引入
【问题1】：目前我们认识的数集有哪些？
【问题2】：这些数集之间有什么样的关系呢？
【问题3】：你能说说数系扩充的过程吗？
【问题4】：数系为什么会一次一次的被扩充？
自然数
整数
有理数
实 数
回顾历史
请同学们观看微课“数系扩充的那些事儿——从自然数到实数”
（引入负整数）
（引入分数）
自然数
为了计数的需要
整数
有理数
（引入无理数）
为了解决边长为1正方形对角线长度
实 数
↓
↓
↓
为了某些量进行等分，以及分配的需要
为了表示相反意义的量
这几次数系的扩充，有什么共同的特点？
数系扩充规则：扩充后的新数集中规定的加法和乘法运算，与原数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．
自然数集N
整数集Z
有理数集Q
实数集R
数系的扩充史
（引入负整数）
（引入分数）
（应该怎么办？）
自然数
为了计数的需要
整数
有理数
（引入无理数）
为了解决边长为1正方形对角线长度
实 数
↓
↓
↓
为了某些量进行等分，以及分配的需要
↓

为了表示相反意义的量
2
x2+1=0在R内无解
（引入新的数）
数系的扩充史
到此，数系扩充的脚步就停止了吗？
为了使方程x2+1=0有解，
引入一个新数：
(2) 实数可以与i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律（包括交换律、结合律和分配律）仍然成立。
规定：
我们把 i 叫做虚数单位。
引进一个新数
x=i是方程 x2+1=0的解
欧拉（公元1707-1783年）是18世纪最优秀的数学家，也是人类历史上最伟大的数学家之一
imaginary
实数
i
引入i后的新数集和实数间仍能进行加/乘法运算.
a+bi
所有实数以及i都可写成a+bi (a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中，我们把形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数.
1. 复数的概念
形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数.
i 叫做虚数单位.
全体复数所构成的集合C={a+bi |a,b∈R}叫做复数集.
复数通常用字母z表示，即
2. 复数的代数形式
注意：复数z的实部和虚部都是 数.
实
练习：指出下列复数的实部和虚部:
a叫做复数的实部
b叫做复数的虚部
（虚部不带i）
复数集
虚数集
纯虚数集
实数集
复数
实数(b=0)
虚数(b≠0)
纯虚数
(a=0, b≠0)
3. 复数的分类
拓展思考:复数 z=a+bi 可以是实数吗？如果可以需要满足什么条件？
思考 复数集C与实数集R之间有什么关系？
实数集R是复数集C的真子集，即R C.
（特殊地）
在复数集C={a+bi |a, b∈R}中任取两个数a+bi，c+di (a,b,c,d∈R)，我们规定：
思考：如何定义两个复数的相等？
注意：一般对b≠0的两个复数只能说相等或不相等,不能比较大小.
作用：将复数问题转化为实数问题．
4. 复数相等


例1. 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. 为什么？
(1) ； (2) ； (3); （4）0；（5） (6) ;
(7) ; (8) ；(9) (10)
例2：当实数m取什么值时，复数 z=m+1+(m-1)i 是下列数？
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
分析：在复数中，因为，所以与都是实数，它们分别是的实部和虚部，
课堂检测
解析：（1）当m1=0，即m=1时，复数z是实数．
（2）当 m10，即时，复数z是虚数．
（3）当 m+1=0，且m10即时，复数z是纯虚数．
实数：(1)(2)(4) 虚数:(3)(5)(6)(7)(8)(9) 纯虚数:(3)(5)(8)
1.求满足下列条件的实数x,y 的值：
课堂练习
课堂练习
b≠0的两个复数不能比较大小
课堂小结
4.复数相等
形如a+bi (a,b∈R)的数.
i 叫做虚数单位.
复数集：C={a+bi |a,b∈R}.
z=a+bi (a,b∈R)，
a是实部，b是虚部
（1）b=0时，z为实数
（2）b≠0时，z为虚数，且a=0时，z为纯虚数
你只管努力，剩下的交给时间。
复系数一元二次方程是否有根不能用△判定.