罗湖高中2023-2024学年高二下学期3月阶段性考试
数学试题卷
考试范围：导数、数列、空间向量、圆锥曲线、计数原理； 考试时间：120分钟
注意事项：
1．本试卷共4页19题，满分150分
2．请将答案填写在答题卡对应位置上
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A． B． C． D．8
2．已知函数的导函数为，且满足，则
A． B． C．2 D．
3．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有最小 B．函数有最大值
C．函数有且仅有三个零点 D．函数有且仅有两个极值点
4．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．48 B．32 C．24 D．16
5．已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．偶函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．在数学中，我们把仅有变量不同，而结构 形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A．所有可能的安排方法有125种
B．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种
C．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种
D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种
10．已知函数（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的切线斜率可以是
B．曲线的切线斜率可以是3
C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条
D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条
11．已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数．双曲余弦函数为，双曲正弦函数为．则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．是奇函数
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知，则 ．
13．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 .
14．如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，为圆上的点，、、、分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起、、、，使得重合，得到一个三棱锥，当正方形的边长为 时，三棱锥体积最大．
四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分)已知数列{}满足．
(1) 求证：数列是等差数列；
(2) 求数列{}的通项公式．
16．(15分)已知函数，其图象上点处的切线的斜率是.
(1) 求实数a，b的值；
(2) 求在区间上的最大与最小值.
17．(15分)如图，已知为等腰梯形，点为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，，．
(1) 求证：平面；
(2) 求平面与平面所成角的余弦值．
18．(17分)已知曲线C：（且）的左、右焦点分别为，，直线与交于点，．
(1) 若，且四边形是矩形，求的值；
(2) 若是上与，不重合的点，且直线，的斜率分别为，，若，求．
19．(17分)已知函数在处取得极值
(1) 求实数的值
(2) 求证：
(3) 证明：对于任意的正整数，不等式都成立.罗湖高中2023-2024学年高二下学期3月阶段性考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D A C C D C A AB BCD AC
6．解：令，则，易知在上单调递增，单调递减
因为，所以，即.
7．解：构造函数，则.
故当时，有，此时为减函数.
又为偶函数，故也为偶函数，所以在时为增函数.
又，，即，
即，故，结合定义域得：或.
8．解：对两边取自然对数，得①，
对两边取自然对数，得，即②，
因为方程①②为两个同构方程，所以，解得，
设，，则，所以在上单调递增，
所以方程的解只有一个，故，所以．
二、填空题
12. 13. 14.
14．解：连接交于点，则，点为的中点，连接，
为直角三角形，设正方形的边长为，则，由圆的半径为4，则，
设重合于点P，则则，
高，，
设，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，此时，
另解：可使用五元的基本不等式
三、解答题
15．（1）证明：数列{}满足．
两边取倒数可得：，即，
∴数列{}是等差数列，首项为，公差为2；
（2）由（1）可得：，
解得．
16．解：（1）
由题意得，解得
由（Ⅰ），，
由解得：或
令，则或，
令，则，
所以在和上递增，在上递减，
所以；
．
所以，.
17．（1）证明：取的中点，连接，，则且，
又且，且．为平行四边形，
．
又平面，平面，平面．
（2）取中点为，连接，因为为等腰梯形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
过点作直线的垂线交于点，分别以所在直线
为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
为直径，，
，，．
在等腰梯形中，，，所以，
，，，，，
，，，．
设平面的法向量为，则，，取，
设平面的法向量为，则，取，
设平面与平面所成的角为，则，
平面与平面所成角的余弦值为．
18．解：（1）当时，：是椭圆，，
因为四边形是矩形，所以，，
由椭圆定义得，
所以
（2）设，则，，设，
则，与相减得，所以，
所以．所以，
所以是双曲线，．
19．解：（1）由题知，，
为的极值点，
即，解得：
经检验，符合题意。故
（2）由（1）知，，定义域为，
则，
令，得：；令得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，故恒成立.
（3）因为，可化为，此不等式恒成立，
令，则有，即，
，
即，
即.
