4.1 比例的意义和基本性质 （思维导图＋知识清单＋典例讲解＋通关练习） 人教版数学 六年级下册（含解析）
文档属性
| 名称 | 4.1 比例的意义和基本性质 （思维导图＋知识清单＋典例讲解＋通关练习） 人教版数学 六年级下册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 473.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-30 15:20:55 | ||
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文档简介
4.1 比例的意义和基本性质 人教版数学 六年级下册
（思维导图＋知识清单＋典例讲解＋分层作业）
思维导图
知识清单
1. 比例的意义：表示两个比相等的式子就叫做比例。
2. 比例的各部分名称
（1）比例的项： 组成比例的四个数， 叫做比例的项.
（2）外项和内项： 在比例中， 两端的两项叫做比例的外项， 中间的两项叫做比例的内项
3.比例的基本性质： 在比例里，两个外向的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。 a:b=c:d 即 ad=bc
4.解比例的意义及解比例的方法
（1）解比例： 求比例中的未知项的过程， 就做解比例；
（2）解比例的方法： 根据比例的基本性质解比例， 先把比例转化为两个外项的积与两个内项的积相等的形式，再公国解方程求出未知项的值。
5.比和比例的区别：
（1）比表示两个量相除的关系，它有两项（前项和后项）。比例表示两个比相等的式子，它有四项（两个内项和两个外项）。
（2）比有基本性质，它是化简比的依据。比例也有基本性质，它是解比例的依据。
典例讲解
典例1．在一个比例中的两个比的比值都等于，四项和等于，两个内项相等，这个比例是( )∶( )＝( )∶( )。
【答案】 4 4
【分析】两个内项相等，比例中的两个比的比值都等于，则一个外项是内项的，一个外项是内项的，再根据四项的和等于16.9，求出内项，再求出两个外项即可。
【详解】内项：16.9÷（＋＋1＋1）
＝16.9÷4.225
＝4
外项：4×＝
外项：4×＝
所以这个比例为：∶4＝4∶。
【点睛】本题考查比例的意义，解答本题的关键是找到两个外项与内项之间的数量关系。
典例2．一个平行四边形和一个三角形的底相等，它们的面积比是7n∶5n，它们的高之比是( )。
【答案】7∶10
【分析】平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，因为二者的底相等，面积比是7n∶5n＝7∶5，从而代入二者的面积公式，即可求得它们的高之比。
【详解】解：设平行四边形的高为H，三角形的高为h，
则（底×H）∶（底×h÷2）＝7∶5
底×H×5＝底×h÷2×7
H×5×2＝h÷2×7×2
H×10＝h×7
H∶h＝7∶10
【点睛】解答此题的关键是：利用已知条件，代入各自的面积公式，根据比例的基本性质，即可求解（举例计算会更简单一些）。
典例3．在一个比例式中，两个比的比值等于15，这个比例的两个内项分别是10以内相邻的两个质数，写出一个满足条件的比例式是( )。
【答案】或
【分析】先找出10以内相邻的两个质数是2和3，再根据两个比的比值等于15，求出两个外项，即可写出比例式。
【详解】10以内相邻的两个质数是2和3，（1）15×2＝30，3÷15＝，这个比例式是：30∶2＝3∶；
（2）15×3＝45，2÷15＝，这个比例式是：45∶3＝2∶。
【点睛】灵活运用比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积。这是解决此题的关键。
典例4．一个最简分数，如果分子加上1，分子比分母少3；如果分母加上1，则这个分数的分数值是，原分数是( )。
【答案】
【分析】由分子加1，分子则比分母少3可知，原来分子比分母少1＋3＝4，如果设原来的分子是x，则分母是x＋4，又由分母加1，则分数值等于即可列出方程，由此解答即可。
【详解】解：设原分数的分子是x，则分母是x＋1＋3。
4x＝3x＋15
x＝15
15＋1＋3＝19
所以这个分数是 。
【点睛】找出原来分子和分母之间的关系，再根据分母加1分数值是找等量关系列方程解答即可。
典例5．求未知数的值。
【答案】＝10；
【分析】（1）方程两边先同时乘6，把方程化简成，然后方程两边先同时减去，再同时加上6，最后同时除以2，求出方程的解；
（2）先将比例方程改写成，把方程化简成，然后方程两边先同时除以，再同时减去，最后同时加上，求出方程的解。
【详解】（1）
解：
（2）
解：
通关练习
一、比例的意义
夯实基础
1．在∶6＝2∶18中，( )和( )是比例的内项，( )和( )是比例的外项。
2．∶的比值是( )，10∶16的比值是( )；这两个比组成的比例是( )。
3．把4、5、12和15这四个数写成一个比例是( )。
4．判断下面每组的两个比是否可以组成比例？把能组成比例的写出来。
（1）10∶12和25∶30 （2）2∶8和9∶7 （3）0.9∶3和∶
5．（1）分别写出图中两个长方形长与长的比和宽与宽的比，并求比值，然后判断这两个比能否组成比例，若能组成比例，请把这个比例写出来。
（2）分别写出图中每个长方形长与宽的比，并求比值，然后判断这两个比能否组成比例，若能组成比例，请把这个比例写出来。
6．一台播种机第一次工作3时，播种17100m2；第二次工作4时，播种22800m2，分别写出每次播种的面积和工作时间的比，你认为它们能组成比例吗？为什么？
能力过关
7．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这个比例被公认为是最美的美感，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比符合黄金比，这个人的身材比较好看。如图中点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC。
（1）根据上面的线段写出一个比例：（ ）∶（ ）＝（ ）∶（ ）。
（2）一个参加空姐选拔活动的选手，其肚脐以上部分长65厘米，以下部分长100厘米。为了显得更好看一些（精确到1厘米），她应该穿多少厘米高的鞋子？
二、比例的基本性质
夯实基础
8．如果5a＝3b，那么b∶a＝( )∶( )。
9．在一个比例中，两个内项的积是15.4，如果一个外项是1.4，求另一个外项是( )。
10．已知2.5，4和10这三个数，再添上一个数，就可以组成一个比例，则添上的这个数可以是( )或( )或( )。
11．一个比例式，两个外项的和是16，一个外项是另一个外项的3倍，两个比的比值是。这个比例式是（ ）。
A．12∶8＝6∶4B．4∶6＝8∶12 C．12∶6＝8∶4 D．4∶8＝6∶12
12．4∶5＝12∶15，如果内项5增加5，那么外项4应增加（ ）才能使比例成立。
A．4 B．5 C．8 D．15
13．下面哪组中的四个数可以组成比例？把组成的比例写出来。
（1）4，5，12和15 （2）2，3，4和5
（3）1.6，6.4，2和5 （4）
14．如图，你能求出这个三角形的面积吗？你能用图中的四个数字组成比例吗？
能力过关
15．一个比例的各项都是整数，它的两个比的比值都是0.8，且第一个比的前项比后项小3，第二个比的前项是第一个比的前项的2倍，写出这个比例。
16．小王、小张各有钱若干元，如果小王拿出他原有钱数的给小张，小张拿出他原有钱数的给小王，则两人的钱数一样多，原来小王、小张的钱数的比是多少？
三、解比例
夯实基础
17．如图，解比例的过程中第一步的依据是( )的基本性质，第二步的依据是( )的基本性质。
3∶x＝2∶6 解：2x＝18 2x÷2＝18÷2 x＝9
18．如果a与b的积是最小的质数，且，那么x＝( )。
19．一个比例的各项都是整数，它的两个比的比值都是，且第二项比第一项大6，第三项是第一项的3倍，这个比例是( )。
20．解比例。
21．餐馆给餐具消毒，要用100毫升消毒液配成消毒水，如果消毒液与水的比是，应加入多少升水？
能力过关
22．爱观察的小明发现妈妈的自行车前齿轮与后齿轮的齿数比是12∶7，他数了数，前齿轮有60个齿。这辆自行车后齿轮有多少个齿？（用比例知识解答）
23．A、B两种商品的价格之比为7∶2，如果它们的价格分别上涨60元后，价格之比为5∶2，这两种商品原来的价格各是多少？
参考答案：
1． 6 2 18
【分析】组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，据此分析。
【详解】根据分析可知，
在∶6＝2∶18中，6和2是比例的内项，和18是比例的外项。
【点睛】关键是理解比例的意义，熟悉比例各部分的名称。
2． ∶＝10∶16
【分析】用比的前项除以比的后项，即可求出比值；通过计算，两个比的比值都是，根据比例的意义可知，表示两个比相等的式子，即是比例，据此写出这两个比组成的比例。
【详解】∶
＝÷
＝×
＝
10∶16
＝10÷16
＝
∶的比值是，10∶16的比值是；
这两个比组成的比例是∶＝10∶16。
【点睛】此题的解题关键是掌握求比值的方法以及理解比例的意义。
3．5∶4＝15∶12（答案不唯一）
【分析】根据比例的意义，表示两个比相等的式子叫比例，进行分析。
【详解】5∶4＝
15∶12＝＝
5∶4＝15∶12
【点睛】关键是理解比例的意义，找到比值相等的两个比。
4．（1）可以组成比例；10∶12＝25∶30；（2）不可以组成比例；（3）不可以组成比例
【分析】用比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值。
比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。
先根据求比值的方法求出每个比的比值，然后根据比例的意义进行判断，比值相等的就能组成比例；反之，比值不相等的就不能组成比例；据此解答。
【详解】（1）10∶12＝10÷12＝
25∶30＝25÷30＝
比值相等，可以组成比例10∶12＝25∶30。
（2）2∶8＝2÷8＝
9∶7＝9÷7＝
≠，比值不相等，不可以组成比例。
（3）0.9∶3＝0.9÷3＝0.3
∶＝÷＝×15＝3
0.3≠3，比值不相等，不可以组成比例。
【点睛】本题考查比例的意义，明确比值相等的两个比可以组成比例。
5．（1）这两个长方形长与长的比和宽与宽的比能组成比例，为2.5∶1.5＝2∶1.2；
（2）这两个长方形的长与宽之比能组成比例，为2.5∶2＝1.5∶1.2。
【分析】（1）先求得两个长方形长与长的比和宽与宽的比，进而化简比，并求比值，根据比例的意义判断能否组成比例，再把这个比例写出来即可。
（2）先求得每个长方形长与宽的比，进而化简比，并求比值，根据比例的意义判断能否组成比例，再把这个比例写出来即可。
【详解】（1）两个长方形长与长的比是2.5∶1.5＝5∶3＝
两个长方形宽与宽的比是2∶1.2＝5∶3＝
＝，
所以这两个长方形长与长的比和宽与宽的比能组成比例，为2.5∶1.5＝2∶1.2
（2）大长方形的长与宽之比是2.5∶2＝5∶4＝
小长方形的长与宽之比是1.5∶1.2＝5∶4＝
＝，
所以这两个长方形的长与宽之比能组成比例，为2.5∶2＝1.5∶1.2。
【点睛】此题考查用比例的性质辨识两个比能否组成比例，关键是看这两个比的比值是否相等，比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例。
6．这两个比能组成比例，因为17100∶3与22800∶4比值相等。
【分析】（1）依据比的意义，分别写出每次播种的面积和工作时间的比。
（2）依据比例的意义，即表示两个比相等的式子，求出两个比的比值，再判断即可。
【详解】第一次播种的面积和工作时间的比17100∶3，第二次播种的面积和工作时间的比22800∶4。
17100∶3＝5700∶1＝5700
22800∶4＝5700∶1＝5700
5700＝5700
因为17100∶3与22800∶4比值相等，所以这两个比能组成比例，即17100∶3＝22800∶4。
【点睛】本题主要考查比的意义以及比例的意义的理解和灵活应用，关键是要掌握比与比例的意义。
7．（1）AC；AB；BC；AC；
（2）5厘米
【分析】（1）由题意可知，点C是线段AB的黄金分割点，较长的线段∶整条线段＝较短的线段∶较长的线段；
（2）当选手肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比符合黄金比时，肚脐以上的高度∶肚脐以下的高度＝0.618，则肚脐以下的高度＝肚脐以上的高度÷0.618，最后减去这个选手肚脐以下部分的长度就是鞋子的高度，据此解答。
【详解】（1）分析可知，根据线段写出的比例为：AC∶AB＝BC∶AC。（答案不唯一）
（2）65÷0.618≈105（厘米）
105－100＝5（厘米）
答：她应该穿5厘米高的鞋子。
【点睛】本题主要考查解决与比相关的问题的能力，理解黄金比例的意义是解答题目的关键。
8． 5 3
【分析】在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。b是外项，因此和b相乘的3也是外项；a是内项，因此和a相乘的5也是内项。
【详解】如果5a＝3b，那么b∶a＝5∶3。
9．11
【分析】根据比例的基本性质，在比例中，两个外项的积等于两个内项的积；已知两个内项的积是15.4，如果一个外项是1.4，那么另一个外项等于，据此解答。
【详解】
即在一个比例中，两个内项的积是15.4，如果一个外项是1.4，那么另一个外项是11。
10． 1 6.25 16
【分析】已知2.5，4和10这三个数，再添上一个数，就可以组成一个比例，我们可以从乘积式去考虑，分别计算三个数中两个数的乘积，这样共有3组，再用这个乘积除以第三个数，就得到组成比例的第4个数了。
【详解】由分析得：
解：设这个数为x。
2.5×4＝10x
x＝10÷10
x＝1
解：设这个数为y。
2.5×10＝4y
y＝25÷4
y＝6.25
解：设这个数为z。
4×10＝2.5z
z＝40÷2.5
z＝16
【点睛】本题是依据比例的基本性质，求比例中的第四个未知量，注意解答时做到不重不漏，有序思考。
11．B
【分析】设一个外项是x，则另一个外项是3x，根据两个外项的和是16，列方程求出两个外项；再分两种情况：①当第一个外项是4，第二个外项是12时，②当第一个外项是12，第二个外项是4时，分别求出两内项，写出比例式即可。
【详解】解：设一个外项是x，则另一个外项是3x，根据题意列方程
x＋3x＝16
4x＝16
x＝4
另一个外项是：4×3＝12
①当第一个外项是4，第二个外项是12时，
因为两个比的比值是，
所以第一个内项是：4÷＝6
第二个内项是：12×＝8
所以这个比例式是：4∶6＝8∶12
②当第一个外项是12，第二个外项是4时，
因为两个比的比值是，
所以第一个内项是：12÷＝18
第二个内项是：4×＝
所以这个比例式是：12∶18＝∶4
即为4:6＝8:12
故答案为：B
【点睛】本题主要考查了比的意义和基本性质，解题的关键是求出比例式的外项。
12．A
【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，先求出内项5增加5后的数为：5＋5＝10，进而求出新的比例两内项之积，然后运用除法求出外项4增加后的数，再运用减法即可求出该增加的数。
【详解】12×（5＋5）÷15－4
＝12×10÷15－4
＝8－4
＝4
外项4应增加4才能使比例成立。
故答案为：A
【点睛】此题主要考查比例的基本性质的灵活应用，注意本题内项5增加5后变为一个新的比例。
13．见详解
【分析】判断下面每组中四个数能否组成比例，可根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，来判断即可。
（1）因为4×15＝60，5×12＝60，60＝60，
所以4，5，12和15可以组成比例，可组成4∶5＝12∶15（答案不唯一）；
（2）因为2×5＝10， 3×4＝12，10≠12，
所以2，3，4和5不可以组成比例；
（3）因为1.6×6.4＝10.24，2×5＝10，10.24≠10，
所以1.6，6.4，2和5不可以组成比例；
（4）因为，，
所以和不可以组成比例。
【详解】（1）可以组成比例，可组成4∶5＝12∶15（答案不唯一）；
（2）不可以组成比例；
（3）不可以组成比例；
（4）不可以组成比例。
14．24cm2 6:10＝4.8:8（答案不唯一）
【详解】6×8÷2＝24（cm2）或4.8×10÷2＝24（cm2） 6:10＝4.8:8（答案不唯一）
15．12∶15＝24∶30
【分析】以第二项为单位“1”，第一项就是0.8，第一项比第二项少（1－0.8），根据分数除法的意义，用第一项比第二项少的3除以少的分率即可求出第二项；用第二项减去3即可求出第一项；用第一项乘2求出第三项；用第三项除以0.8求出第四项。
【详解】第二项：3÷（1－0.8）
＝3÷0.2
＝15
第一项：15－3＝12
第三项：12×2＝24
第四项：24÷0.8＝30
这个比例是12∶15＝24∶30。
【点睛】将分数除法的意义与比和比例相结合，体现了单位“1”知用除法计算；以及对于比的前项和后项及比值之间关系的理解、对比例的意义的理解。
16．原来小王与小张的钱数的比是4：3
【详解】试题分析：根据题干，可设小王原来有x元，小张原来有y元，则变化后小王的钱数是：x+y；小张的钱数是：y+x，由此根据此时两人的钱数一样多，即可得出x+y=y+x，由次利用比例的基本性质即可推理得出x与y的比．
解：可设小王原来有x元，小张原来有y元，则变化后小王的钱数是：x+y；小张的钱数是：y+x，
根据题意可得：x+y=y+x，
x﹣x=y﹣y，
x=y，
把、x看做是比例的两个外项，、y就是比例的两个内项，根据比例的基本性质可得：
x：y=：=4：3．
答：原来小王与小张的钱数的比是4：3．
点评：此题考查了利用比例的基本性质解决实际问题的灵活应用．
17． 比例 等式
【分析】
比例的基本性质是指“在比例里，两个外项的积等于两个内项的积”，而解比例的关键就是先把比例式转化为乘积式，进而解方程得解；据此判断。
【详解】
由分析可得：解比例的过程中第一步的依据是比例的基本性质，第二步的依据是等式的基本性质。
18．0.5/
【分析】
依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，最小的质数是2，即可解答。
【详解】由分析可得：ab＝2
把写作4∶a＝b∶x，内项积是2，即4x＝2
4x＝2
x＝2÷4
x＝0.5
那么x＝0.5。
19．8∶14＝24∶42
【分析】根据题意，设第一项为x，则第二项为（x＋6），第三项为3x，可得：x∶（x＋6）＝，据此求出x的值，进而求出第二项、第三项，然后利用比例的基本性质求出第四项，即可解题。
【详解】解：设第一项为x，则第二项为（x＋6），可得：
x∶（x＋6）＝
7x＝4×（x＋6）
3x＝24
3x÷3＝24÷3
x＝8
第二项为：
8＋6＝14
第三项为：
3×8＝24
第四项为：
14×24÷8
＝336÷8
＝42
所以，这个比例是8∶14＝24∶42。
【点睛】本题是一道关于比例的题目，解答本题的关键是熟练掌握比例的基本性质。
20．；
；
【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
（1）先根据比例的基本性质把比例方程改写成，然后方程两边同时除以，求出方程的解；
（2）先根据比例的基本性质把比例方程改写成，然后方程两边同时除以，求出方程的解；
（3）先根据比例的基本性质把比例方程改写成，然后方程两边同时除以，求出方程的解；
（4）先根据比例的基本性质把比例方程改写成，然后方程两边同时除以，求出方程的解。
【详解】（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
21．15升
【分析】由题意可知，设应加入x升水，根据消毒液的体积∶水的体积＝1∶150，据此列比例解答即可。
【详解】解：设应加入x升水。
100毫升＝0.1升
0.1∶x＝1∶150
x＝0.1×150
x＝15
答：应加入15升水。
22．35个
【分析】根据题意可知“前齿轮的齿数∶后齿轮的齿数＝12∶7”，已知前齿轮有60个齿，如果设这辆自行车后齿轮有x个齿，则可以列出比例60∶x＝12∶7。再根据比例的基本性质解比例即可。
【详解】解：设这辆自行车后齿轮有x个齿。
60∶x＝12∶7
12x＝60×7
x＝
x＝35
答：这辆自行车后齿轮有35个齿。
【点睛】此题考查了运用比例的知识解决问题。解决此题的关键是理解比例的意义、解比例的意义及掌握解比例的方法。
23．A：315元；B：90元
【分析】把两种商品的价格之比看作份数，假设一份的价格是x元，那么A的原价相当于7x元，B的原价相当于2x元，它们的价格分别上涨60元后，A的价格变成（7x＋60）元，B的价格变成（2x＋60），两者之间的价格比为5∶2，根据比例的意义，可列出比例，求解即可。
【详解】解：设一份的价格是x元，A的原价是7x元，B的原价是2x元，依题意得。
（7x＋60）∶（2x＋60）＝5∶2
（2x＋60）×5＝（7x＋60）×2
10x＋60×5＝14x＋60×2
10x＋300＝14x＋120
14x－10x＝300－120
4x＝180
x＝180÷4
x＝45
所以A的原价为7×45＝315（元）
B的原价为2×45＝90（元）
答：A商品的原价是315元，B商品的原价是90元。
【点睛】此题的解题关键是把比看作份数，弄清题意，把A和B商品的原价设成未知数，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的比例，解比例得到最终的结果。
（思维导图＋知识清单＋典例讲解＋分层作业）
思维导图
知识清单
1. 比例的意义：表示两个比相等的式子就叫做比例。
2. 比例的各部分名称
（1）比例的项： 组成比例的四个数， 叫做比例的项.
（2）外项和内项： 在比例中， 两端的两项叫做比例的外项， 中间的两项叫做比例的内项
3.比例的基本性质： 在比例里，两个外向的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。 a:b=c:d 即 ad=bc
4.解比例的意义及解比例的方法
（1）解比例： 求比例中的未知项的过程， 就做解比例；
（2）解比例的方法： 根据比例的基本性质解比例， 先把比例转化为两个外项的积与两个内项的积相等的形式，再公国解方程求出未知项的值。
5.比和比例的区别：
（1）比表示两个量相除的关系，它有两项（前项和后项）。比例表示两个比相等的式子，它有四项（两个内项和两个外项）。
（2）比有基本性质，它是化简比的依据。比例也有基本性质，它是解比例的依据。
典例讲解
典例1．在一个比例中的两个比的比值都等于，四项和等于，两个内项相等，这个比例是( )∶( )＝( )∶( )。
【答案】 4 4
【分析】两个内项相等，比例中的两个比的比值都等于，则一个外项是内项的，一个外项是内项的，再根据四项的和等于16.9，求出内项，再求出两个外项即可。
【详解】内项：16.9÷（＋＋1＋1）
＝16.9÷4.225
＝4
外项：4×＝
外项：4×＝
所以这个比例为：∶4＝4∶。
【点睛】本题考查比例的意义，解答本题的关键是找到两个外项与内项之间的数量关系。
典例2．一个平行四边形和一个三角形的底相等，它们的面积比是7n∶5n，它们的高之比是( )。
【答案】7∶10
【分析】平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，因为二者的底相等，面积比是7n∶5n＝7∶5，从而代入二者的面积公式，即可求得它们的高之比。
【详解】解：设平行四边形的高为H，三角形的高为h，
则（底×H）∶（底×h÷2）＝7∶5
底×H×5＝底×h÷2×7
H×5×2＝h÷2×7×2
H×10＝h×7
H∶h＝7∶10
【点睛】解答此题的关键是：利用已知条件，代入各自的面积公式，根据比例的基本性质，即可求解（举例计算会更简单一些）。
典例3．在一个比例式中，两个比的比值等于15，这个比例的两个内项分别是10以内相邻的两个质数，写出一个满足条件的比例式是( )。
【答案】或
【分析】先找出10以内相邻的两个质数是2和3，再根据两个比的比值等于15，求出两个外项，即可写出比例式。
【详解】10以内相邻的两个质数是2和3，（1）15×2＝30，3÷15＝，这个比例式是：30∶2＝3∶；
（2）15×3＝45，2÷15＝，这个比例式是：45∶3＝2∶。
【点睛】灵活运用比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积。这是解决此题的关键。
典例4．一个最简分数，如果分子加上1，分子比分母少3；如果分母加上1，则这个分数的分数值是，原分数是( )。
【答案】
【分析】由分子加1，分子则比分母少3可知，原来分子比分母少1＋3＝4，如果设原来的分子是x，则分母是x＋4，又由分母加1，则分数值等于即可列出方程，由此解答即可。
【详解】解：设原分数的分子是x，则分母是x＋1＋3。
4x＝3x＋15
x＝15
15＋1＋3＝19
所以这个分数是 。
【点睛】找出原来分子和分母之间的关系，再根据分母加1分数值是找等量关系列方程解答即可。
典例5．求未知数的值。
【答案】＝10；
【分析】（1）方程两边先同时乘6，把方程化简成，然后方程两边先同时减去，再同时加上6，最后同时除以2，求出方程的解；
（2）先将比例方程改写成，把方程化简成，然后方程两边先同时除以，再同时减去，最后同时加上，求出方程的解。
【详解】（1）
解：
（2）
解：
通关练习
一、比例的意义
夯实基础
1．在∶6＝2∶18中，( )和( )是比例的内项，( )和( )是比例的外项。
2．∶的比值是( )，10∶16的比值是( )；这两个比组成的比例是( )。
3．把4、5、12和15这四个数写成一个比例是( )。
4．判断下面每组的两个比是否可以组成比例？把能组成比例的写出来。
（1）10∶12和25∶30 （2）2∶8和9∶7 （3）0.9∶3和∶
5．（1）分别写出图中两个长方形长与长的比和宽与宽的比，并求比值，然后判断这两个比能否组成比例，若能组成比例，请把这个比例写出来。
（2）分别写出图中每个长方形长与宽的比，并求比值，然后判断这两个比能否组成比例，若能组成比例，请把这个比例写出来。
6．一台播种机第一次工作3时，播种17100m2；第二次工作4时，播种22800m2，分别写出每次播种的面积和工作时间的比，你认为它们能组成比例吗？为什么？
能力过关
7．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这个比例被公认为是最美的美感，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比符合黄金比，这个人的身材比较好看。如图中点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC。
（1）根据上面的线段写出一个比例：（ ）∶（ ）＝（ ）∶（ ）。
（2）一个参加空姐选拔活动的选手，其肚脐以上部分长65厘米，以下部分长100厘米。为了显得更好看一些（精确到1厘米），她应该穿多少厘米高的鞋子？
二、比例的基本性质
夯实基础
8．如果5a＝3b，那么b∶a＝( )∶( )。
9．在一个比例中，两个内项的积是15.4，如果一个外项是1.4，求另一个外项是( )。
10．已知2.5，4和10这三个数，再添上一个数，就可以组成一个比例，则添上的这个数可以是( )或( )或( )。
11．一个比例式，两个外项的和是16，一个外项是另一个外项的3倍，两个比的比值是。这个比例式是（ ）。
A．12∶8＝6∶4B．4∶6＝8∶12 C．12∶6＝8∶4 D．4∶8＝6∶12
12．4∶5＝12∶15，如果内项5增加5，那么外项4应增加（ ）才能使比例成立。
A．4 B．5 C．8 D．15
13．下面哪组中的四个数可以组成比例？把组成的比例写出来。
（1）4，5，12和15 （2）2，3，4和5
（3）1.6，6.4，2和5 （4）
14．如图，你能求出这个三角形的面积吗？你能用图中的四个数字组成比例吗？
能力过关
15．一个比例的各项都是整数，它的两个比的比值都是0.8，且第一个比的前项比后项小3，第二个比的前项是第一个比的前项的2倍，写出这个比例。
16．小王、小张各有钱若干元，如果小王拿出他原有钱数的给小张，小张拿出他原有钱数的给小王，则两人的钱数一样多，原来小王、小张的钱数的比是多少？
三、解比例
夯实基础
17．如图，解比例的过程中第一步的依据是( )的基本性质，第二步的依据是( )的基本性质。
3∶x＝2∶6 解：2x＝18 2x÷2＝18÷2 x＝9
18．如果a与b的积是最小的质数，且，那么x＝( )。
19．一个比例的各项都是整数，它的两个比的比值都是，且第二项比第一项大6，第三项是第一项的3倍，这个比例是( )。
20．解比例。
21．餐馆给餐具消毒，要用100毫升消毒液配成消毒水，如果消毒液与水的比是，应加入多少升水？
能力过关
22．爱观察的小明发现妈妈的自行车前齿轮与后齿轮的齿数比是12∶7，他数了数，前齿轮有60个齿。这辆自行车后齿轮有多少个齿？（用比例知识解答）
23．A、B两种商品的价格之比为7∶2，如果它们的价格分别上涨60元后，价格之比为5∶2，这两种商品原来的价格各是多少？
参考答案：
1． 6 2 18
【分析】组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，据此分析。
【详解】根据分析可知，
在∶6＝2∶18中，6和2是比例的内项，和18是比例的外项。
【点睛】关键是理解比例的意义，熟悉比例各部分的名称。
2． ∶＝10∶16
【分析】用比的前项除以比的后项，即可求出比值；通过计算，两个比的比值都是，根据比例的意义可知，表示两个比相等的式子，即是比例，据此写出这两个比组成的比例。
【详解】∶
＝÷
＝×
＝
10∶16
＝10÷16
＝
∶的比值是，10∶16的比值是；
这两个比组成的比例是∶＝10∶16。
【点睛】此题的解题关键是掌握求比值的方法以及理解比例的意义。
3．5∶4＝15∶12（答案不唯一）
【分析】根据比例的意义，表示两个比相等的式子叫比例，进行分析。
【详解】5∶4＝
15∶12＝＝
5∶4＝15∶12
【点睛】关键是理解比例的意义，找到比值相等的两个比。
4．（1）可以组成比例；10∶12＝25∶30；（2）不可以组成比例；（3）不可以组成比例
【分析】用比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值。
比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。
先根据求比值的方法求出每个比的比值，然后根据比例的意义进行判断，比值相等的就能组成比例；反之，比值不相等的就不能组成比例；据此解答。
【详解】（1）10∶12＝10÷12＝
25∶30＝25÷30＝
比值相等，可以组成比例10∶12＝25∶30。
（2）2∶8＝2÷8＝
9∶7＝9÷7＝
≠，比值不相等，不可以组成比例。
（3）0.9∶3＝0.9÷3＝0.3
∶＝÷＝×15＝3
0.3≠3，比值不相等，不可以组成比例。
【点睛】本题考查比例的意义，明确比值相等的两个比可以组成比例。
5．（1）这两个长方形长与长的比和宽与宽的比能组成比例，为2.5∶1.5＝2∶1.2；
（2）这两个长方形的长与宽之比能组成比例，为2.5∶2＝1.5∶1.2。
【分析】（1）先求得两个长方形长与长的比和宽与宽的比，进而化简比，并求比值，根据比例的意义判断能否组成比例，再把这个比例写出来即可。
（2）先求得每个长方形长与宽的比，进而化简比，并求比值，根据比例的意义判断能否组成比例，再把这个比例写出来即可。
【详解】（1）两个长方形长与长的比是2.5∶1.5＝5∶3＝
两个长方形宽与宽的比是2∶1.2＝5∶3＝
＝，
所以这两个长方形长与长的比和宽与宽的比能组成比例，为2.5∶1.5＝2∶1.2
（2）大长方形的长与宽之比是2.5∶2＝5∶4＝
小长方形的长与宽之比是1.5∶1.2＝5∶4＝
＝，
所以这两个长方形的长与宽之比能组成比例，为2.5∶2＝1.5∶1.2。
【点睛】此题考查用比例的性质辨识两个比能否组成比例，关键是看这两个比的比值是否相等，比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例。
6．这两个比能组成比例，因为17100∶3与22800∶4比值相等。
【分析】（1）依据比的意义，分别写出每次播种的面积和工作时间的比。
（2）依据比例的意义，即表示两个比相等的式子，求出两个比的比值，再判断即可。
【详解】第一次播种的面积和工作时间的比17100∶3，第二次播种的面积和工作时间的比22800∶4。
17100∶3＝5700∶1＝5700
22800∶4＝5700∶1＝5700
5700＝5700
因为17100∶3与22800∶4比值相等，所以这两个比能组成比例，即17100∶3＝22800∶4。
【点睛】本题主要考查比的意义以及比例的意义的理解和灵活应用，关键是要掌握比与比例的意义。
7．（1）AC；AB；BC；AC；
（2）5厘米
【分析】（1）由题意可知，点C是线段AB的黄金分割点，较长的线段∶整条线段＝较短的线段∶较长的线段；
（2）当选手肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比符合黄金比时，肚脐以上的高度∶肚脐以下的高度＝0.618，则肚脐以下的高度＝肚脐以上的高度÷0.618，最后减去这个选手肚脐以下部分的长度就是鞋子的高度，据此解答。
【详解】（1）分析可知，根据线段写出的比例为：AC∶AB＝BC∶AC。（答案不唯一）
（2）65÷0.618≈105（厘米）
105－100＝5（厘米）
答：她应该穿5厘米高的鞋子。
【点睛】本题主要考查解决与比相关的问题的能力，理解黄金比例的意义是解答题目的关键。
8． 5 3
【分析】在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。b是外项，因此和b相乘的3也是外项；a是内项，因此和a相乘的5也是内项。
【详解】如果5a＝3b，那么b∶a＝5∶3。
9．11
【分析】根据比例的基本性质，在比例中，两个外项的积等于两个内项的积；已知两个内项的积是15.4，如果一个外项是1.4，那么另一个外项等于，据此解答。
【详解】
即在一个比例中，两个内项的积是15.4，如果一个外项是1.4，那么另一个外项是11。
10． 1 6.25 16
【分析】已知2.5，4和10这三个数，再添上一个数，就可以组成一个比例，我们可以从乘积式去考虑，分别计算三个数中两个数的乘积，这样共有3组，再用这个乘积除以第三个数，就得到组成比例的第4个数了。
【详解】由分析得：
解：设这个数为x。
2.5×4＝10x
x＝10÷10
x＝1
解：设这个数为y。
2.5×10＝4y
y＝25÷4
y＝6.25
解：设这个数为z。
4×10＝2.5z
z＝40÷2.5
z＝16
【点睛】本题是依据比例的基本性质，求比例中的第四个未知量，注意解答时做到不重不漏，有序思考。
11．B
【分析】设一个外项是x，则另一个外项是3x，根据两个外项的和是16，列方程求出两个外项；再分两种情况：①当第一个外项是4，第二个外项是12时，②当第一个外项是12，第二个外项是4时，分别求出两内项，写出比例式即可。
【详解】解：设一个外项是x，则另一个外项是3x，根据题意列方程
x＋3x＝16
4x＝16
x＝4
另一个外项是：4×3＝12
①当第一个外项是4，第二个外项是12时，
因为两个比的比值是，
所以第一个内项是：4÷＝6
第二个内项是：12×＝8
所以这个比例式是：4∶6＝8∶12
②当第一个外项是12，第二个外项是4时，
因为两个比的比值是，
所以第一个内项是：12÷＝18
第二个内项是：4×＝
所以这个比例式是：12∶18＝∶4
即为4:6＝8:12
故答案为：B
【点睛】本题主要考查了比的意义和基本性质，解题的关键是求出比例式的外项。
12．A
【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，先求出内项5增加5后的数为：5＋5＝10，进而求出新的比例两内项之积，然后运用除法求出外项4增加后的数，再运用减法即可求出该增加的数。
【详解】12×（5＋5）÷15－4
＝12×10÷15－4
＝8－4
＝4
外项4应增加4才能使比例成立。
故答案为：A
【点睛】此题主要考查比例的基本性质的灵活应用，注意本题内项5增加5后变为一个新的比例。
13．见详解
【分析】判断下面每组中四个数能否组成比例，可根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，来判断即可。
（1）因为4×15＝60，5×12＝60，60＝60，
所以4，5，12和15可以组成比例，可组成4∶5＝12∶15（答案不唯一）；
（2）因为2×5＝10， 3×4＝12，10≠12，
所以2，3，4和5不可以组成比例；
（3）因为1.6×6.4＝10.24，2×5＝10，10.24≠10，
所以1.6，6.4，2和5不可以组成比例；
（4）因为，，
所以和不可以组成比例。
【详解】（1）可以组成比例，可组成4∶5＝12∶15（答案不唯一）；
（2）不可以组成比例；
（3）不可以组成比例；
（4）不可以组成比例。
14．24cm2 6:10＝4.8:8（答案不唯一）
【详解】6×8÷2＝24（cm2）或4.8×10÷2＝24（cm2） 6:10＝4.8:8（答案不唯一）
15．12∶15＝24∶30
【分析】以第二项为单位“1”，第一项就是0.8，第一项比第二项少（1－0.8），根据分数除法的意义，用第一项比第二项少的3除以少的分率即可求出第二项；用第二项减去3即可求出第一项；用第一项乘2求出第三项；用第三项除以0.8求出第四项。
【详解】第二项：3÷（1－0.8）
＝3÷0.2
＝15
第一项：15－3＝12
第三项：12×2＝24
第四项：24÷0.8＝30
这个比例是12∶15＝24∶30。
【点睛】将分数除法的意义与比和比例相结合，体现了单位“1”知用除法计算；以及对于比的前项和后项及比值之间关系的理解、对比例的意义的理解。
16．原来小王与小张的钱数的比是4：3
【详解】试题分析：根据题干，可设小王原来有x元，小张原来有y元，则变化后小王的钱数是：x+y；小张的钱数是：y+x，由此根据此时两人的钱数一样多，即可得出x+y=y+x，由次利用比例的基本性质即可推理得出x与y的比．
解：可设小王原来有x元，小张原来有y元，则变化后小王的钱数是：x+y；小张的钱数是：y+x，
根据题意可得：x+y=y+x，
x﹣x=y﹣y，
x=y，
把、x看做是比例的两个外项，、y就是比例的两个内项，根据比例的基本性质可得：
x：y=：=4：3．
答：原来小王与小张的钱数的比是4：3．
点评：此题考查了利用比例的基本性质解决实际问题的灵活应用．
17． 比例 等式
【分析】
比例的基本性质是指“在比例里，两个外项的积等于两个内项的积”，而解比例的关键就是先把比例式转化为乘积式，进而解方程得解；据此判断。
【详解】
由分析可得：解比例的过程中第一步的依据是比例的基本性质，第二步的依据是等式的基本性质。
18．0.5/
【分析】
依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，最小的质数是2，即可解答。
【详解】由分析可得：ab＝2
把写作4∶a＝b∶x，内项积是2，即4x＝2
4x＝2
x＝2÷4
x＝0.5
那么x＝0.5。
19．8∶14＝24∶42
【分析】根据题意，设第一项为x，则第二项为（x＋6），第三项为3x，可得：x∶（x＋6）＝，据此求出x的值，进而求出第二项、第三项，然后利用比例的基本性质求出第四项，即可解题。
【详解】解：设第一项为x，则第二项为（x＋6），可得：
x∶（x＋6）＝
7x＝4×（x＋6）
3x＝24
3x÷3＝24÷3
x＝8
第二项为：
8＋6＝14
第三项为：
3×8＝24
第四项为：
14×24÷8
＝336÷8
＝42
所以，这个比例是8∶14＝24∶42。
【点睛】本题是一道关于比例的题目，解答本题的关键是熟练掌握比例的基本性质。
20．；
；
【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
（1）先根据比例的基本性质把比例方程改写成，然后方程两边同时除以，求出方程的解；
（2）先根据比例的基本性质把比例方程改写成，然后方程两边同时除以，求出方程的解；
（3）先根据比例的基本性质把比例方程改写成，然后方程两边同时除以，求出方程的解；
（4）先根据比例的基本性质把比例方程改写成，然后方程两边同时除以，求出方程的解。
【详解】（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
21．15升
【分析】由题意可知，设应加入x升水，根据消毒液的体积∶水的体积＝1∶150，据此列比例解答即可。
【详解】解：设应加入x升水。
100毫升＝0.1升
0.1∶x＝1∶150
x＝0.1×150
x＝15
答：应加入15升水。
22．35个
【分析】根据题意可知“前齿轮的齿数∶后齿轮的齿数＝12∶7”，已知前齿轮有60个齿，如果设这辆自行车后齿轮有x个齿，则可以列出比例60∶x＝12∶7。再根据比例的基本性质解比例即可。
【详解】解：设这辆自行车后齿轮有x个齿。
60∶x＝12∶7
12x＝60×7
x＝
x＝35
答：这辆自行车后齿轮有35个齿。
【点睛】此题考查了运用比例的知识解决问题。解决此题的关键是理解比例的意义、解比例的意义及掌握解比例的方法。
23．A：315元；B：90元
【分析】把两种商品的价格之比看作份数，假设一份的价格是x元，那么A的原价相当于7x元，B的原价相当于2x元，它们的价格分别上涨60元后，A的价格变成（7x＋60）元，B的价格变成（2x＋60），两者之间的价格比为5∶2，根据比例的意义，可列出比例，求解即可。
【详解】解：设一份的价格是x元，A的原价是7x元，B的原价是2x元，依题意得。
（7x＋60）∶（2x＋60）＝5∶2
（2x＋60）×5＝（7x＋60）×2
10x＋60×5＝14x＋60×2
10x＋300＝14x＋120
14x－10x＝300－120
4x＝180
x＝180÷4
x＝45
所以A的原价为7×45＝315（元）
B的原价为2×45＝90（元）
答：A商品的原价是315元，B商品的原价是90元。
【点睛】此题的解题关键是把比看作份数，弄清题意，把A和B商品的原价设成未知数，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的比例，解比例得到最终的结果。