北师大版2024年七年级下册 第4章 三角形 同步单元测试题（含解析）

北师大版2024年七年级下册 第4章 三角形 同步单元测试题
满分100分
一．选择题（共10小题，30分）
1．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（　　）
A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm
2．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A等于（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
4．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
5．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　）
A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD
6．如图，给出下列四组条件：
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF； ②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；
③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F； ④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
7．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1+∠2＝（　　）
A．90° B．100° C．130° D．180°
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm
9．如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共6小题，18分）
11．如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是 　 　．
12．一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是 　 　cm．
13．如图，已知a∥b，∠1＝70°，∠2＝40°，则∠3＝　 　度．
14．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3＝　 　度．
15．如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝　 　．
16．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 　 　cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．
三．解答题（共7小题，52分）
17．（6分）已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求证：△ABC≌△CDE．
18．（6分）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．
19．（7分）如图，已知△ABC中AB＝AC．
（1）作图：在AC上有一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，使AE＝AB，连AE，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠E＝∠ACF．
20．（7分）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若AB＝CF，∠B＝30°，求∠D的度数．
21．（8分）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离．
22．（8分）两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．
如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD相交于点O，
（1）求证：①△ABC≌△ADC；②OB＝OD，AC⊥BD；
（2）如果AC＝6，BD＝4，求筝形ABCD的面积．
23．（10分）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
参考答案
一．选择题
1．解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，
即9﹣4＝5（cm），9+4＝13（cm）．
∴第三边取值范围应该为：5cm＜第三边长度＜13cm，
故只有B选项符合条件．
故选：B．
2．解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．
故选：D．
3．解：∵∠ACD＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣40°＝80°．
故选：C．
4．解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；
B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；
C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确；
D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．
故选：C．
5．解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．
故选：D．
6．解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．
第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．
第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．
所以有3组能证明△ABC≌△DEF．
故符合条件的有3组．
故选：C．
7．解：法一：如图，∠BAC＝180°﹣90°﹣∠1＝90°﹣∠1，
∠ABC＝180°﹣60°﹣∠3＝120°﹣∠3，
∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝150°﹣∠3，
∵∠3＝50°，
∴∠1+∠2＝150°﹣50°＝100°．
法二：图中∠1+∠2+∠3+小三角形的三个内角再加两个等边三角形的两个内角，再加正方形的一个内角，总和为180°*3＝540°，减去三角形的三个内角之和180°，再减去两个三角形的内角60°*2＝120°，再减去正方形的内角90°，则易得∠1+∠2+∠3＝540°﹣120°﹣180°﹣90°＝150°，而∠3＝50°，所以∠1+∠2＝100°．
故选：B．
8．解：∵F是高AD和BE的交点，
∴∠ADC＝∠ADB＝∠AEF＝90°，
∴∠CAD+∠AFE＝90°，∠DBF+∠BFD＝90°，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠CAD＝∠FBD，
∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°＝∠ABD，
∴AD＝BD，
在△DBF和△DAC中
∴△DBF≌△DAC（ASA），
∴BF＝AC＝8cm，
故选：C．
9．解：如图，连接AE，CD，设△ABC的面积为m．
∵BD＝2AB，
∴△BCD的面积为2m，△ACD的面积为3m，
∵AC＝AF，
∴△ADF的面积＝△ACD的面积＝3m，
∵EC＝3BC，
∴△ECA的面积＝3m，△EDC的面积＝6m，
∵AC＝AF，
∴△AEF的面积＝△EAC的面积＝3m，
∴△DEF的面积＝m+2m+6m+3m+3m+3m＝18m＝36，
∴m＝2，
∴△ABC的面积为2，
故选：A．
10．解：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，
故①正确，符合题意；
∵∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，
故②正确，符合题意；
如图所示，作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，
故④正确，符合题意；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM，
∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OC，
与题意不符，
故③错误，不符合题意；
综上，符合题意的有①②④；
故选：B．
二．填空题
11．解：这样做的道理是利用三角形的稳定性．
12．解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17（cm）．
故答案为：17．
13．解：由对顶角相等可得∠ACB＝∠2＝40°，
在△ABC中，由三角形内角和知∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠ACB＝70°．
又∵a∥b，
∴∠3＝∠ABC＝70°．
故答案为：70．
14．解：观察图形可知，∠1所在的三角形与∠3所在的三角形全等，
∴∠1+∠3＝90°，
又∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝135°．
故答案为：135．
15．解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠ACF；
又∵∠B＝40°（已知），∠B+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），
∴∠DAC+∠ACF＝（∠B+∠2）+（∠B+∠1）＝（∠B+∠B+∠1+∠2）＝110°（外角定理），
∴∠AEC＝180°﹣（∠DAC+∠ACF）＝70°．
故答案为：70°．
16．解：设点P在线段BC上运动的时间为t s，
①点P由B向C运动时，BP＝3t（cm），CP＝（8﹣3t）cm，
∵△BPE≌△CQP，
∴BE＝CP＝5，
∴5＝8﹣3t，
解得t＝1，
∴BP＝CQ＝3，
此时，点Q的运动速度为3÷1＝3（cm/s）；
②点P由B向C运动时，
∵△BPE≌△CPQ，
∴BP＝CP，
∴3t＝8﹣3t，
t＝，
此时，点Q的运动速度为：5÷＝（cm/s）；
③点P由C向B运动时，CP＝3t﹣8，
∵△BPE≌△CQP，
∴BE＝CP＝5，
∴5＝3t﹣8，
解得t＝，
∴BP＝CQ＝3，
此时，点Q的运动速度为3÷＝（cm/s）；
④点P由C向B运动时，
∵△BPE≌△CPQ，
∴BP＝CP＝4，
3t﹣8＝4，
t＝4，
∵BE＝CQ＝5，
此时，点Q的运动速度为5÷4＝（cm/s）；
综上所述：点Q的运动速度为cm/s或3cm/s或cm/s或cm/s；
故答案为：或3或或．
三．解答题
17．证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠E，∠ACD＝∠D，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠D＝∠B，
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
18．解：设∠1＝∠2＝x，则∠3＝∠4＝2x．
因为∠BAC＝63°，
所以∠2+∠4＝117°，即x+2x＝117°，
所以x＝39°；
所以∠3＝∠4＝78°，
∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝24°．
19．（1）解：如图所示；
（2）证明：∵AB＝AC，AE＝AB，
∴AE＝AC，
∵AF是∠EAC的平分线，
∴∠EAF＝∠CAF，
在△AEF和△ACF中，
，
∴△AEF≌△ACF（SAS），
∴∠E＝∠ACF．
20．证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；
（2）∵△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD，BE＝CF，
∵AB＝CF，∠B＝30°，
∴AB＝BE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠D＝．
21．（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由题意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），
∵△ADC≌△CEB，
∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
22．（1）证明：①在△ABC和△ADC中，
AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC．
②∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAO＝∠DAO．
∵AB＝AD，OA＝OA，
∴△ABO≌△ADO．
∴OB＝OD，AC⊥BD．
（2）解：筝形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
＝×AC×BO+×AC×DO，
＝×AC×（BO+DO），
＝×AC×BD，
＝×6×4，
＝12．
23．证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；
（3）延长BF到G，使得FG＝FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，
∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA（AAS），
∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，
∴CD＝2BF+DE．