【五环分层导学-课件】2-8 单元复习 相交线与平行线-北师大版数学七(下)

(共40张PPT)
第二章 相交线与平行线
第8课 单元复习
北师大版七年级下册
本套资料以教育部颁布的《数学课程标准（2022）版》为依据，结合新中考改革研究，立足北师大版本教材开发，通过课堂流程的优化设计，内容的层次设计，循序渐进，让不同层次的学生都学有所问，问有所探，探有所获，能力都有不同层次的提高，思维不断生长。
资料简介
【问题1】找出生活中的对顶角、互补的角与互余的角．
【问题2】判断两条直线是否平行，通常有哪些途径？
【问题3】平行线有哪些特征？
【问题4】怎样用尺规作一个角等于已知角？
【问题5】梳理本章内容，用你喜欢的方式(思维导图、列表等)呈现全章知识结构．完成后请和同学交流，并加以完善．
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．/
平行线没有交点；
两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角互补．
【例题1】如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．
(1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是%// //%．
(2)在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是%// //%．
垂线段最短
两点之间，线段最短
【例题2】如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥CD，∠BOD＝24°．
(1)求∠AOG的度数；
(2)若OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠AOF的平分线吗？说明你的理由．
解：(1)∵AB、CD相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD＝24°，
∵OG⊥CD，∴∠COG＝90°，
即∠AOC＋∠AOG＝90°，
∴∠AOG＝90°－∠AOC
＝90°－24°＝66°；
(2)OG是∠AOF的角平分线，理由如下：
∵OC是∠AOE的角平分线，∴∠AOC＝∠COE，
又∵∠DOF＝∠COE，∴∠COA＝∠DOF，
∵OG⊥CD，∴∠COG＝∠DOG＝90°，
∴∠AOG＝∠GOF，∴OG平分∠AOF．
【例题3】如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．
(1)若∠BOE＝58°，∠AOE＝122°，判断OF与OD的位置关系，并进行证明
(2)若∠AOC∶∠AOD＝1∶5，求∠EOF的度数．
(1)OF⊥OD ．
证明：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∠BOE＝58°，∠AOE＝122°
∴∠FOE∠AOE＝61°，∠EOD∠EOB＝29°，
∴∠FOD＝∠FOE＋∠EOD
(∠AOE＋∠EOB)＝90°，
∴OF⊥OD；
(2)解：∵∠AOC∶∠AOD＝1∶5，∠AOC＝∠BOD，
∴∠BOD∶∠AOD＝1∶5，
∵∠AOD＋∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝30°，∠AOD＝150°，
∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∴∠BOE＝2∠BOD＝60°，∠EOF∠AOE．
∵∠AOE＋∠BOE＝180°，
∴∠AOE＝120°，∴∠EOF＝60°．
【例题1】如图，∠B的同位角可以是(%////%)
A．∠1 B．∠2
C．∠3 D．∠4
D
【例题2】如图，由下列条件可以判定图中哪两条直线平行，说明理由：
(1)若∠1＝∠B，则%// //%；

(2)若∠3＝∠4，则%// //%；

(3)若∠1＝∠D，则%// //%；

(4)若∠DAB＋∠B＝180°，则%// //%．
AD//BC
AB//CD
AB//CD
AD//BC
【例题3】如图，已知∠AEM＝∠DGN，求证：AB//CD ．
证明：∵∠AEM＝∠DGN，∠DGN＝∠CGM，
∴∠AEM＝∠CGM，
∴AB//CD(同位角相等，两直线平行)/
【例题1】(1)如图，BE//CD，∠C＝∠E，试说明∠A＝∠ADE．
证明：∵BE//CD，
∴∠C＝∠1(两直线平行，同位角相等)，
∵∠C＝∠E，∴∠1＝∠E，
∴AC//DE(内错角相等，两直线平行)，
∴∠A＝∠ADE．
(2)已知：如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠DBC＋∠D＝180°．
证明：∵∠1＝∠2(已知)，又∠1＝∠DMN(对顶角相等)，
∴∠2＝∠DMN(等量代换)，
∴DB//EC(同位角相等，两直线平行)，
∴∠DBC＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵∠C＝∠D(已知)，∴∠DBC＋∠D＝180°(等量代换)．
【例题1】尺规作图是指(%////%)
A．用直尺和圆规作图
B．用直尺规范作图
C．用刻度尺和圆规作图
D．用没有刻度的直尺和圆规作图

【例题2】下列各说法一定成立的是(%////%)
A．画直线AB＝10厘米
B．已知A、B、C三点，过这三点画一条直线
C．画射线OB＝10厘米
D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行
D
D
【例题1】直线AB∥CD，E为直线AB、CD之间的一点，完成以下问题：
(1)如图－①，若∠B＝15°，∠BED＝90°，则∠D＝%// //%；
(2)如图－②，若∠B＝α，∠D＝β，求出∠BED的度数(用a、β表示)；
(3)如图－③，若∠B＝α，∠C＝β，则a、β与∠BEC之间有什么等量关系？请猜想证明．
解：(1)过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，
∵∠B＝15°，∴∠BEF＝15°，
又∵∠BED＝90°，∴∠DEF＝75°，
∵EF∥CD，∴∠D＝75°，故答案为：75°；
(2)过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，
∴∠B＋∠BEF＋∠DEF＋∠D＝360°，
又∵∠B＝α，∠D＝β，
∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝360°－α－β，
故答案为：∠BED＝360°－α－β；
(3)猜想：∠BEC＝180°－α＋β．
证明：过点E作EF∥AB，
则∠BEF＝180°－∠B＝180°－α，∵AB∥EF，
AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CEF＝∠C＝β，
∴∠BEC＝∠BEF＋∠CEF＝180°－α＋β．
【例题2】探究学习：
(1)感知与填空：如图－①，直线AB∥CD ．求证：∠B＋∠D＝∠BED ．
阅读下面的解答过程，井填上适当的理由．
解：延长BE交CD于F，∵AB∥CD(已知)，∴∠B＝∠1(%// //%)
∵∠1＋∠D＝∠BED(%// //%)，
∴∠B＋∠D＝∠BED(等量代换)．
(2)应用与拓展：如图－②，直线AB∥CD ．
若∠B＝22°，∠G＝35°，∠D＝25°，
则∠E＋∠F＝%////%度．
(3)方法与实践：如图－③，直线AB∥CD ．
请探究∠ABE，∠CDE和∠BED之间有怎样
的关系，并证明你的结论．
两直线平行，内错角相等
三角形的外角等于不相邻的两个内角的和
(2)过点G作MG∥AB，
∵AB∥CD，MG∥AB，∴AB∥MG∥CD ．
由1知：∠E＝∠B＋∠MGE，∠F＝∠MGF＋∠D，
∴∠E＋∠F＝∠B＋∠MGE＋∠MGF＋∠D
＝∠B＋∠EGF＋∠D
＝22°＋35°＋25°＝82°；
故答案为：82°；
(3)∠BED＝∠ABE－∠CDE．
证明：延长AB交ED于点F．
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠BFE．
∵∠ABE＝∠BFE＋∠BEF，
∴∠BED＝∠ABE－∠CDE．
易错1：性质与判定混淆使用
对点练习：已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正．
(1)∵∠1和∠2是内错角，∴∠1＝∠2，
(2)∵∠1＝∠2，∴AD//BC(两直线平行，内错角相等)
解：(1)错误：内错角不一定相等，
改正：∵∠1和∠2是内错角，DC//AB，
∴∠1＝∠2；
(2)错误，
改正：∵∠1＝∠2，
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)．
易错点2：误用判定
对点练习：如图所示，下列推理及所注理由错误的是(%////%)
A．因为∠1＝∠3，所以AB//CD(内错角相等，两直线平行)
B．因为AB//CD，所以∠1＝∠3(两直线平行，内错角相等)
C．因为AD//BC，所以∠2＝∠4(两直线平行，内错角相等)
D．因为∠2＝∠4，所以AD//BC(两直线平行，内错角相等)
D
1.下列说法中，正确的是(%////%)
A．有公共顶点，并且相等的角是对顶角
B．如果两个角不相等，那么它们一定不是对顶角
C．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
D．互补的两个角不可能是对顶角
B
2.如图，某工程队计划把河水引到水池A中，他们先过A点作AB⊥CD，垂足为B，CD为河岸，然后沿AB开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是(%////%)
A．两点之间的所有连线中，线段最短
B．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
D．垂线段最短
D
3.若锐角α的补角是140°，则锐角α的余角是(%////%)
A．30° B．40° C．50° D．60°
C
4.下列作图语句正确的是(%////%)
A．延长线段AB到C，使AB＝BC
B．延长射线AB
C．过点A作AB∥CD∥EF
D．作∠AOB的平分线OC
D
5.如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOE，∠AOC＝42°，则∠AOE的度数为(%////%)
A．126° B．96°
C．102° D．138°
B
6.如图，下列条件不能判定AB∥CD的是(%////%)
A．∠1＝∠2
B．∠D＝∠3
C．∠B＝∠3
D．∠BAD＋∠D＝180°
B
7.如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝(%////%)
A．35° B．45°
C．55° D．70°
C
8.如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB′C′F的位置，若∠EFC′＝100°，则∠AEB′的度数为(%////%)
A．20° B．30°
C．40° D．50°
A
9.如图，
(1)∵AD//BC(已知)，
∴∠B＋%// //%＝180°(%// //%)；
(2)∵∠1＝%// //%(已知)，
∴AD//BC(%// //%)．
∠BAD
∠C
内错角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
10.如图，已知∠1＝135°，∠8＝45°，直线a与b平行吗？说明理由：
(1)∵∠1＝135°(已知)，
∴∠2＝%//45°//%．
∵∠2＝∠%//8//%，
∴a//b(%//同位角相等，两直线平行//%)．
(2)∵∠8＝45°(已知)，
∴∠6＝∠8＝45°(%//对顶角相等//%)．
∵%//∠1//%＋%//∠6//%＝180°，
∴a//b(%//同旁内角互补，两直线平行//%)．
10.如图，已知∠1＝135°，∠8＝45°，直线a与b平行吗？说明理由：
(1)∵∠1＝135°(已知)，
∴∠2＝%//45°//%．
∵∠2＝∠%//8//%，
∴a//b(%//同位角相等，两直线平行//%)．
(2)∵∠8＝45°(已知)，
∴∠6＝∠8＝45°(%//对顶角相等//%)．
∵%//∠1//%＋%//∠6//%＝180°，
∴a//b(%//同旁内角互补，两直线平行//%)．
11.如图，AB//CD，AD与BC相交于点E，∠B＝50°，求∠C的度数．
解：∵AB//CD，∠B＝50°
∴∠C＝∠B＝50°．
12.如图，已知△ABC，AD⊥BC于D，E为AB上一点，EF⊥BC于F，DG//BA交CA于G，试说明∠1＝∠2．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADF＝∠EFB＝90°，
∴AD//EF，
∴∠2＝∠3，
又∵DG//AB，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2．
13.如图，直线AD与AB、CD相交于A、D两点，EC与AB、CD分别相交于点E、C，BF与AB、CD分别相交于点B、F，EC与AD相交于点H，BF与AD相交于点G，如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，试说明∠A＝∠D ．
证明：∵∠2＝∠AGB，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠AGB ．∴CE//BF，
∴∠B＝∠AEC ．∵∠B＝∠C，
∴∠C＝∠AEC ．∴AB//CD，
∴∠A＝∠D ．
14.已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
(1)如图－①，若GM⊥GN，求∠AMG＋∠CNG的度数；
(2)如图－②，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝28°，求∠MGN＋∠MPN的度数；
(3)如图－③，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN＋∠MGN＝108°，求∠AME的度数(直接写出结果)．
解：(1)过点G作GE∥AB，如图1，
∵AB∥CD，∴AB∥GE∥CD，
∴∠AMG＝∠MGE，∠CNG＝∠NGE，
∴∠AMG＋∠CNG＝∠MGE＋∠NGE＝∠MGN，
∵GM⊥GN，∴∠AMG＋∠CNG＝∠MGN＝90°；
(2)过G作GE∥AB，过P作PF∥AB，如图2，
∵AB∥CD，∴AB∥EG∥CD∥FP，
∴∠BMG＝∠MGE，∠DNG＝∠NGE，
∠BMP＝∠FPM，∠FPN＝∠DNP，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠PNG，
∴∠BMP＝2∠BMG＝2∠PMG，
∠PND＝∠DNG∠PNG，
∴∠MGN＋∠MPN＝∠MGE＋∠NGE＋∠FPM－∠FPN
＝∠BMG＋∠PND＋2∠BMG－∠PND
＝3∠BMG，
∵∠BMG＝28°，∴∠MGN＋∠MPN＝84°；
(3)∠AME＝48°．理由如下：
如图3，过E作EK∥AB，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，∴∠KEM＝∠AME，∠KEN＝∠CNE，
∠AMF＝∠BMG＝∠MGH，∠DNG＝∠NGH，
∵MF平分∠AME，NE平分∠CNG，
∴∠AME＝2∠AMF，∠CNE＝∠ENG，
∴∠DNG＝180°－2∠CNE，
∴∠MEN＝∠KEN－∠KEM＝∠CNE－2∠AMF，
∠MGN＝∠MGH＋∠NGH＝∠AMF＋180°－2∠CNE，
∵2∠MEN＋∠MGN＝108°，
∴2(∠CNE－2∠AMF)＋(∠AMF＋180°－2∠CNE)＝108°，
即－3∠AMF＋180°＝108°，∴∠AMF＝24°，
∴∠AME＝2∠AMF＝48°．