辽宁省鞍山市第一中学2023-2024学年高一下学期第三次月考数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁省鞍山市第一中学2023-2024学年高一下学期第三次月考数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 699.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-01 11:54:46 | ||
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文档简介
2023-2024学年度下学期第三次月考26届高一年级数学科试卷
一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．化简：（ ）
A．1 B．0 C． D．2
2．木雕是我国雕塑的一种，在我们国家常常被称为“民间工艺”．传统木雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形木雕，可视为将扇形OCD被去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇形木雕所在区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，是非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知向量，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的单调递减区间是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
6．正三角形△ABC中，，P为BC上的靠近B的四等分点，D为B的中点，则（ ）
A． B． C． D．
7．设向量与的夹角为，定义，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则“”是“在上恰好存在3个不同的满足”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、选择题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）．
9．下列关于向量，，的运算，一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
10．下列选项中，正确的有（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数是最小正周期为的周期函数
C．设是第二象限角，则，且
D．函数的最小值为．
11．已知向量，，则下列说法正确的是
A．若，则
B．若，则
C．“”是“与的夹角为钝角”的充要条件
D．若，则在上的投影向量的坐标为
12．已知函数（，，）的部分图像如图所示，则（ ）
A．的周期为6
B．
C．将的图像向右平移个单位长度后所得的图像关于原点对称
D．在区间上单调递增
三、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）
13． ．
14．已知函数，对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为 ．
15．已知，若对任意实数恒成立，则实数m应满足的条件是 ．
16．在边长为6的正方形ABCD中，，M是BC中点，则 ；若点P在线段BD上运动，则的最小值是 ．
四、解答题（本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．（10分）
设函数．
（1）求函数的定义域、最小正周期．
（2）求不等式的解集．
18．（12分）
已知函数．
（1）求当取得最大值时，x的取值集合；
（2）用五点法作出函数在上的图象．
x
19．（12分）
如图，在平面斜坐标系xOy中，，平面上任一点P的斜坐标定义如下：若（其中，分别为与x轴，y轴同方向的单位向量），则点P的斜坐标为．此时有，，试在该斜坐标系下探究以下问题：
（1）若，求的值；
（2）若，求的坐标；
（3）求与垂直的单位向量的坐标．
20．（12分）
已知函数（，），函数图象关于对称，且函数图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4．
（1）求，的值；
（2）求函数在上的单调减区间；
（3）若方程在有两个不同的根，求m的取值范围．
21．（12分）
如图，在△ABC中，已知，，记，且，M，N分别是BC，AC的中点，AM，BN相交于点P．
（1）求△ABC的面积；
（2）求∠MPN的余弦值．
22．（12分）
若函数满足：对任意，，则称为“M函数”．
（1）判断，是不是M函数（直接写出结论）；
（2）已在函数是M函数，且当时，．求在的解析式；
（3）在（2）的条件下，时，关于x的方程（a为常数）有解，求该方程所有解的和S．
2023-2024学年度下学期第三次月考26届高一年级数学科
命题人、校对人：高一数学组
1 2 3 4 5 6 7 8
C B A D D A A C
9 10 11 12
AC AD AD ABD
13． 14．或 15． 16．30，
17．【详解】
（1）函数的定义域满足函数，，即，，所以函数的定义域为；
最小正周期；
（2）由不等式，则，，解得，，
所以不等式的解集为．
18．【详解】
（1）由题意，当取得最大值时，有，，
所以，，所以x的取值集合为．
x 0
0 0 2
则函数在上的图象，如图：
19．解：
（1）由题知，，，，
得
（2）∵
∴
∴，从而
（3）设所求向量为即，则
解得或
与垂直的单位向量的坐标为，．
20．【详解】
（1）∵图象上相邻的最高点与最低点的距离为4．且，
∴，
∴即，
∴，
又图象关于对称，
∴，，
∴，，
又∵，
∴．
（2），
由，，
解得，，
时；时
又∵
∴的单调减区间为，．
（3）在单调递增，在单调递减，
当时，，，
作出时的图象如下图：
若方程在有两个不同的根，则
21．【详解】
（1）
，
∵（，），
∴，
∴（），
．
（2）方法一：
，，
，，
，，
，
∴．
方法二：建系（略）
22．【详解】
（1）是M函数，证明如下：
因为，，
，
所以，
故是M函数，
是M函数，证明如下：
因为，
，
所以，
故是M函数．
（2）因为，所以函数的周期为，又，所以函数关于直线对称，
因为时，所以，
当，即时，，
当，即时，，又时，，
所以，
综上，在上的解析式为；
（3）由（2）知，当时，，
所以，
得到(，
又函数的周期为，所时，的图像如图，
由图知，当时，有5个解，其和为，
当时，有8个解，由对称知，其和为，
当时，有12个解，由对称知，其和为，
当时，有16个解，由对称知，其和为，
当时，有8个解，由对称知，其和为，
综上，方程所有解的和．
一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．化简：（ ）
A．1 B．0 C． D．2
2．木雕是我国雕塑的一种，在我们国家常常被称为“民间工艺”．传统木雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形木雕，可视为将扇形OCD被去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇形木雕所在区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，是非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知向量，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的单调递减区间是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
6．正三角形△ABC中，，P为BC上的靠近B的四等分点，D为B的中点，则（ ）
A． B． C． D．
7．设向量与的夹角为，定义，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则“”是“在上恰好存在3个不同的满足”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、选择题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）．
9．下列关于向量，，的运算，一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
10．下列选项中，正确的有（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数是最小正周期为的周期函数
C．设是第二象限角，则，且
D．函数的最小值为．
11．已知向量，，则下列说法正确的是
A．若，则
B．若，则
C．“”是“与的夹角为钝角”的充要条件
D．若，则在上的投影向量的坐标为
12．已知函数（，，）的部分图像如图所示，则（ ）
A．的周期为6
B．
C．将的图像向右平移个单位长度后所得的图像关于原点对称
D．在区间上单调递增
三、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）
13． ．
14．已知函数，对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为 ．
15．已知，若对任意实数恒成立，则实数m应满足的条件是 ．
16．在边长为6的正方形ABCD中，，M是BC中点，则 ；若点P在线段BD上运动，则的最小值是 ．
四、解答题（本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．（10分）
设函数．
（1）求函数的定义域、最小正周期．
（2）求不等式的解集．
18．（12分）
已知函数．
（1）求当取得最大值时，x的取值集合；
（2）用五点法作出函数在上的图象．
x
19．（12分）
如图，在平面斜坐标系xOy中，，平面上任一点P的斜坐标定义如下：若（其中，分别为与x轴，y轴同方向的单位向量），则点P的斜坐标为．此时有，，试在该斜坐标系下探究以下问题：
（1）若，求的值；
（2）若，求的坐标；
（3）求与垂直的单位向量的坐标．
20．（12分）
已知函数（，），函数图象关于对称，且函数图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4．
（1）求，的值；
（2）求函数在上的单调减区间；
（3）若方程在有两个不同的根，求m的取值范围．
21．（12分）
如图，在△ABC中，已知，，记，且，M，N分别是BC，AC的中点，AM，BN相交于点P．
（1）求△ABC的面积；
（2）求∠MPN的余弦值．
22．（12分）
若函数满足：对任意，，则称为“M函数”．
（1）判断，是不是M函数（直接写出结论）；
（2）已在函数是M函数，且当时，．求在的解析式；
（3）在（2）的条件下，时，关于x的方程（a为常数）有解，求该方程所有解的和S．
2023-2024学年度下学期第三次月考26届高一年级数学科
命题人、校对人：高一数学组
1 2 3 4 5 6 7 8
C B A D D A A C
9 10 11 12
AC AD AD ABD
13． 14．或 15． 16．30，
17．【详解】
（1）函数的定义域满足函数，，即，，所以函数的定义域为；
最小正周期；
（2）由不等式，则，，解得，，
所以不等式的解集为．
18．【详解】
（1）由题意，当取得最大值时，有，，
所以，，所以x的取值集合为．
x 0
0 0 2
则函数在上的图象，如图：
19．解：
（1）由题知，，，，
得
（2）∵
∴
∴，从而
（3）设所求向量为即，则
解得或
与垂直的单位向量的坐标为，．
20．【详解】
（1）∵图象上相邻的最高点与最低点的距离为4．且，
∴，
∴即，
∴，
又图象关于对称，
∴，，
∴，，
又∵，
∴．
（2），
由，，
解得，，
时；时
又∵
∴的单调减区间为，．
（3）在单调递增，在单调递减，
当时，，，
作出时的图象如下图：
若方程在有两个不同的根，则
21．【详解】
（1）
，
∵（，），
∴，
∴（），
．
（2）方法一：
，，
，，
，，
，
∴．
方法二：建系（略）
22．【详解】
（1）是M函数，证明如下：
因为，，
，
所以，
故是M函数，
是M函数，证明如下：
因为，
，
所以，
故是M函数．
（2）因为，所以函数的周期为，又，所以函数关于直线对称，
因为时，所以，
当，即时，，
当，即时，，又时，，
所以，
综上，在上的解析式为；
（3）由（2）知，当时，，
所以，
得到(，
又函数的周期为，所时，的图像如图，
由图知，当时，有5个解，其和为，
当时，有8个解，由对称知，其和为，
当时，有12个解，由对称知，其和为，
当时，有16个解，由对称知，其和为，
当时，有8个解，由对称知，其和为，
综上，方程所有解的和．
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