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分课时教学设计
第一课时《19.2.1.1正比例函数》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 学生在本节课之前已经学习了比例的意义与性质，在这个基础上，学生能很容易接受正比例的概念．再从正比例关系到正比例函数，从互相联系的两个变量在变化过程中有互相依从、互相制约的关系，初步引出正比例函数的概念．因此，本节课具有承上启下的重要作用
学习者分析 学习本节课之前，学生已经学习了变量和函数等知识，小学数学以及物理上已经对正比例关系有了大致的了解，所以本节课学生接受起来应该比较容易。
教学目标 1.理解正比例函数的概念； 2.会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题.
教学重点 正比例函数的概念
教学难点 对正比例函数基本特征的认识和正比例函数概念的抽象归纳过程
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：教师活动1： 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题： (1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时(结果保留小数点后一位)？ (2)京沪高铁列车的行程 y(单位：km)与运行时间 t(单位：h)之间有何数量关系？ (3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距离始发站1100km的南京南站？ 以上我们用函数y=300t (0≤t≤4. 4)对京沪高铁列车的行程问题进行了讨论.尽管实际情况可能会与此有一些小的不同，但这个函数基本上反映了列车的行程与运行时间之间的对应规律.学生活动1： 学生思考回答活动意图说明： 通过生活中比较生动的例子引入本节课的内容，激发学生学习的兴趣．环节二：教师活动2： 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式. (1)圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化；________. (2)铁的密度为7.9g/cm3，铁块的质量 m(单位:g)随它的体积 V(单位:cm3)变化而变化；________. (3)每本练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h(单位:cm)随这些练习本的本数 n 的变化而变化；________. (4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度 T(单位:℃)随冷冻时间 t(单位:min)的变化而变化.________. 认真观察以上出现的四个函数有什么共同特点？ (1) l=2πr (2) m=7.9V (3) h=0.5n (4) T=-2t 正如函数 y=300t 一样，上面这些函数都是常数与自变量的积的形式. 归纳总结： 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：k≠0且自变量x的次数是1. 学生活动2： 在教师引导下，积极探寻，合作探究，归纳总结．活动意图说明：让学生再次感知实际问题中蕴涵的函数关系，体会并运用函数建模思想，提高将实际问题抽象为函数模型的能力.通过对实际问题抽象出的函数模型观察比较，找出它们具有的共同特征，为归纳抽象正比例函数的概念作准备。环节三：教师活动3： 例1.下列函数中，哪些是正比例函数？说出理由，并指出比例系数k的值． (1)y=3- ； (2)y=8x ； (3)y=15x； (4)y=-5x 归纳总结： 一个式子是正比例函数需同时满足以下三个条件： ①是一个函数； ②是常数与自变量乘积的形式； ③k≠0且自变量的次数是1.学生活动3： 积极思考、独立完成、踊跃回答。活动意图说明：概念学习以后，由学生自己独立思考完成上面两个题目，加深对概念的理解，提高学生独立解决问题以及用数学知识解决问题的能力。
板书设计 1.正比例函数： 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 2.判断一个函数是否为正比例函数主要看下面几点： ①是常数与自变量乘积的形式； ②k≠0且x、y的次数是1.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列式子中，表示 是 的正比例函数的是( ) B. C. D. 2. 如果函数y＝(m－2)x为正比例函数，那么 ( ) A. m＞0 B. m＞2 C. m＜2 D. m≠2 3.若y＝x＋2－b是正比例函数，则b的值是( ). A.0 B.－2 C.2 D.－0.5 4.若y= (m-2)x+ (m2-4)是关于x的正比例函数，则m的值是( ) A.2 B.-2 C.±2 D.任意实数 选做题： 5.若y＝(a＋3)x＋a2－9是正比例函数，则a＝________. 6.若y＋3与x成正比例，且当x＝2时，y＝5，则当x＝5时，y＝________. 【综合拓展类作业】 7.某学校准备购买一批篮球，已知所购篮球的总价y(单位：元)与数量x(单位：个)成正比例，且当x＝4时，y＝320. (1)求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围. (2)求当x＝10时，函数y的值. (3)求当y＝1 600时，自变量x的值.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在下列关系中，是正比例关系的是( ) A．当路程s一定时，速度v与时间t B．圆的面积S与圆的半径r C．正方体的体积V与棱长a D．正方形的周长C与它的边长a 2.下列说法中不成立的是( ) A. y=3x- 1中y+1与x成正比例 B.在y=x+3中y与x成正比例 C.在y=2 (x+1)中y与x+1成正比例 D. y=-中y与x成正比例 3.写出下列各题中y关于x的函数解析式，并判断y是否为x的正比例函数. (1)小红去商店买笔记本，每本笔记本的价格为2.5元，小红所付费用y(单位：元)与买笔记本的数量x(单位：本)之间的关系. ________________________________________________ (2)圆的面积y(单位：cm2)与它的半径x(单位：cm)之间的关系. ________________________________________________ 选做题： 4.已知y与x＋2成正比例，且当x＝1时，y＝－6. (1)求y与x的函数解析式. (2)求当y＝2时x对应的值. 5.已知函数y=(3m+9)x2+x是关于x的正比例函数，求m的值． 【综合拓展类作业】 6.如图，△ABC的边AB=8cm， 当AB边上的高从小到大变化时，△ABC的面积也随之变化. (1)设AB边上的高为h (cm)，请写出△ABC的面积S (cm2)与高h(cm)的关系式和h的取值范围; (2)用表格表示当h由5cm变到15cm时(每次增加2cm)，S的对应值; (3)当h每增加2cm时，S如何变化
教学反思 本节课在教师引导下使学生通过自己的观察、研究、自学和小组的探索、讨论来发现问题、解决问题，再通过教师的点拨、总结进行知识归纳，理论提升的教学方法. 由学生亲自来发现事物的特征和规律，更能使学生产生兴奋感、自信心，激发学生兴趣，产生自主学习的内在动力，更有利于发展学生的创造性思维能力.
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册19章
课标要求 1．探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。4.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义。5.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。6.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式。7.能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0).探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数。8.体会一次函数与二元一次方程的关系。9.能用一次函数解决简单实际问题。
内容分析 函数的概念是数学中极为重要的基本概念，是“数与代数”中的重要内容，它的抽象性较强，是初二学生比较难理解和掌握的概念之一.一次函数是在学完平面直角坐标系的基础上学习的，学生对数形结合法有了一定的认识，它为本章的学习做了铺垫.一次函数是初中学生将要学习的各类函数中最简单的一种函数，它反映了函数的特点及函数的思维方式、研究方法和应用模式，因此学好一次函数是学好其他函数的基础.研究一次函数离不开对图象特征的研究.数形结合是学习一次函数时必须体现的一种重要思想.要通过设置较多实际问题的一次函数图象，让学生观察、自己描点画图、研究变量的变化规律，探讨函数中的数与形的对应关系，逐步形成解决一次函数问题的技能. 由于一次函数在现实生活中有着广泛的应用，因此，在具体的教学过程中，可以利用生活中的素材加深学生对函数现实意义的理解，促进其函数建模、数形结合等重要数学思想方法的形成，加强对知识之间内在联系的认识，体会函数观点的统领作用，也可以利用所学的函数知识解决现实生活中的一些问题.
学情分析 八年级的学生正处于生长发育快速期，在课堂上表现为活泼好动，注意力容易分散，自我控制能力较弱，由于身体发展的因素，力量性不强，可塑性大，好胜心强，勇于克服困难，能够在解决问题的过程中，学会独立思考、合作探究，形成批判质疑、克服困难、勇于担当的科学精神，具备一定的创新意识。
单元目标 （一）教学目标1.以探索简单实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是现实世界中变化规律的重要数学模型.2.结合实例，了解常量、变量的意义和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能结合图象数形结合地分析简单的函数关系.3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值.4.结合具体情境体会和理解正比例函数和一次函数的意义，能根据已知条件确定它们的表达式，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的增减变化，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.（二）教学重点、难点教学重点：一次函数(包括正比例函数)教学难点:综合运用一次函数的知识解较复杂的实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数19.1 函数419.2一次函数619.3课题学习—选择方案1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务19.1函数1.了解常量、变量的概念,体验在一个过程中常量与变量相对地存在.2.通过实例，了解函数的概念.3.了解函数的三种表示法:4.会在简单情况下，根据函数的表达式求函数的值.1.会在简单的过程中辨别常量和变量2.能够在给定的直角坐标系中，根据坐标描出点的位置,以及由点的位置写出它的坐标.3.能够根据函数表达式,已知自变量的值,求相应的函数值：或已知函数值,求相应自变量的值.4.会在简单情况下求一些函数自变量的取值范围任务1.情景导入，用生活的例子初步探究常量与变量任务2.了解函数的三种表示方法，理解函数值的概念，使学生根据函数的表达式求函数的值任务3.例题精讲，列简单实际问题中的函数表达式，求一些函数自变量的取值范围.19.2一次函数1.理解正比例函数、一次函数的概念.2.会用待定系数法求一次函数的表达式，掌握待定系数法的一般步骤.3.利用函数图象了解一次函数的性质4.会综合运用一次函数的表达式，函数图象以及结合方程(组)等其他数学模型，解决实际问题.1.能够用待定系数法求一次函数的表达式2.会求一次函数的图象与坐标轴的交点3.能够利用一次函数的图象和性质解决简单实际问题.4.能够综合运用一次函数的表达式和图象解决简单实际问题任务1：复习导入，回顾函数的相关概念 任务2.探究新知，比较各函数的共同特征，理解正比例函数、一次函数的概念并求解析式任务3.合作学习，利用一次函数的图象探究一次函数的性质任务4.例题精讲19.3课题学习—选择方案1．会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想；2．能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法；3．能进行解决问题过程的反思，总结解决问题的方法．学生能从不同的角度思考问题，解决问题任务1.导入新课任务2.出示例题任务3.总结归纳
《19章一次函数》单元教学设计
活动1：通过生活中的实例引入课题
活动3：思考两个量之间的关系
19.1.1变量与函数 (第1课时)
一次函数
活动2：出示问题引出常量与变量
活动4：出示例题
活动1：引入课题
活动2：思考问题，引出自变量，函数值等概念
19.1.1变量与函数(第2课时)
活动3：例题
活动1：复习引入
活动2：探究函数图象的画法
19.1.2函数的图象(第1课时)
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：探究函数的三种表示方式
19.1..2函数的图象(第2课时)
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：出示问题，写出关系式归纳正比例函数的概念
19.2..1正比例函数(第1课时)
活动3：例题
一次函数
活动1：复习引入课题
活动2：学生动手画正比例函数图象并归纳性质
19.2.1正比例函数 (第2课时)
活动3：探究正比例函数的简单画法
活动4：出示例题
活动1：引入课题
活动2：出示问题归纳一次函数的概念
19.2.2一次函数(第1课时)
活动3：例题
活动1：由生活实例引入课题
19.2.2一次函数(第2课时)
活动2：探究一次函数图象的画法并归纳其性质
活动3：例题
活动1：引入课题
19.2.2一次函数(第3课时)
活动2：探究求一次函数解析式的方法
活动3：例题
一次函数
活动1：引入课题
活动2：探究一次函数与方程与不等式的关系
活动3：例题
19.2.3一次函数与方程、不等式
活动2：出示问题，思考如何选择最合适
活动1：引入课题
活动3：例题
19.3课题学习-选择方案
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19.2.1.1正比例函数
人教版八年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教学目标
1.理解正比例函数的概念；
2.会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题.
新知导入
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：
(1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时(结果保留小数点后一位)？
解：(1)京沪高铁列车全程运行时间约需1318÷300≈4.4(h)
新知导入
(2)京沪高铁列车的行程 y(单位：km)与运行时间 t(单位：h)之间有何数量关系？
(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距离始发站1100km的南京南站？
(2)京沪高铁列车的行程 y是运行时间 t 的函数，函数解析式为：y=300t (0≤t≤4.4)
(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h的行程，是当 t =2.5时函数 y=300t 的值，即y=300×2.5=750(km)
这时列车尚未到达距始发站1100km的南京南站.
新知讲解
以上我们用函数y=300t (0≤t≤4. 4)对京沪高铁列车的行程问题进行了讨论.尽管实际情况可能会与此有一些小的不同，但这个函数基本上反映了列车的行程与运行时间之间的对应规律.
新知讲解
下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.
(1)圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化；________.
(2)铁的密度为7.9g/cm3，铁块的质量 m(单位:g)随它的体积 V(单位:cm3)变化而变化；________.
(3)每本练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h(单位:cm)随这些练习本的本数 n 的变化而变化；________.
(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度 T(单位:℃)随冷冻时间 t(单位:min)的变化而变化.________.
l=2πr
m=7.9V
h=0.5n
T=-2t
新知讲解
认真观察以上出现的四个函数有什么共同特点？
(1) l=2πr (2) m=7.9V (3) h=0.5n (4) T=-2t
正如函数 y=300t 一样，上面这些函数都是常数与自变量的积的形式.
归纳总结
9
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中
k叫做比例系数．
注意：k≠0且自变量x的次数是1.
函数 = 常数 × 自变量
y
k
x
＝
典例精析
9
9
18
例1.下列函数中，哪些是正比例函数？说出理由，并指出比例系数k的值．
(1)y=3- ； (2)y=8x ； (3)y=15x； (4)y=-5x
解：(1)y=3-不是正比例函数，
因为它不是常量与自变量积的形式；
(2)y=8x 不是正比例函数，
因为自变量x的次数不是1；
(3)y=15x是正比例函数，
它符合正比例函数的定义，
(4)y=-5x是正比例函数，
它符合正比例函数的定义，
归纳总结
一个式子是正比例函数需同时满足以下三个条件：
②是常数与自变量乘积的形式；
①是一个函数；
③k≠0且自变量的次数是1.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列式子中，表示 是 的正比例函数的是( )
B. C. D.
2. 如果函数y＝(m－2)x为正比例函数，那么 ( )
A. m＞0 B. m＞2 C. m＜2 D. m≠2
B
D
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.若y＝x＋2－b是正比例函数，则b的值是( ).
A.0 B.－2 C.2 D.－0.5
4.若y= (m-2)x+ (m2-4)是关于x的正比例函数，则m的值是( )
A.2 B.-2 C.±2 D.任意实数
C
B
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.若y＝(a＋3)x＋a2－9是正比例函数，则a＝________.
6.若y＋3与x成正比例，且当x＝2时，y＝5，则当x＝5时，y＝________.
3
17
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.某学校准备购买一批篮球，已知所购篮球的总价y(单位：元)与数量x(单位：个)成正比例，且当x＝4时，y＝320.
(1)求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围.
(2)求当x＝10时，函数y的值.
(3)求当y＝1 600时，自变量x的值.
解：(1)由题意，得比例系数k＝320÷4＝80，所以y关于x的函数解析式为y＝80x，x为自然数.
(2)当x＝10时，y＝80×10＝800.
(3)当y＝1 600时，80x＝1 600，解得x＝20.
课堂总结
正比例函数
形式特征：是常数与自变量的乘积的形式；k≠0且自变量x的次数是1.
定义：形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
板书设计
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
1.正比例函数：
2.判断一个函数是否为正比例函数主要看下面几点：
①是常数与自变量乘积的形式；
②k≠0且x、y的次数是1.
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．在下列关系中，是正比例关系的是( )
A．当路程s一定时，速度v与时间t B．圆的面积S与圆的半径r
C．正方体的体积V与棱长a D．正方形的周长C与它的边长a
2.下列说法中不成立的是( )
A. y=3x- 1中y+1与x成正比例 B.在y=x+3中y与x成正比例
C.在y=2 (x+1)中y与x+1成正比例 D. y=-中y与x成正比例
D
B
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3.写出下列各题中y关于x的函数解析式，并判断y是否为x的正比例函数.
(1)小红去商店买笔记本，每本笔记本的价格为2.5元，小红所付费用y(单位：元)与买笔记本的数量x(单位：本)之间的关系.
________________________________________________
(2)圆的面积y(单位：cm2)与它的半径x(单位：cm)之间的关系.
________________________________________________
y＝2.5x，y是x的正比例函数.
y＝πx2，y不是x的正比例函数.
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.已知y与x＋2成正比例，且当x＝1时，y＝－6.
(1)求y与x的函数解析式.
(2)求当y＝2时x对应的值.
解：(1)由题意，得比例系数k＝(－6)÷(1＋2)＝－2，
y与x的函数解析式为y＝－2(x＋2)＝－2x－4.
(2)当y＝2时，－2x－4＝2，解得x＝－3.
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
5.已知函数y=(3m+9)x2+x是关于x的正比例函数，求m的值．
解：∵函数y=(3m+9)x2+x是关于x的正比例函数，
∴3m+9=0，
解得：m=-3，
∴m的值为-3．
作业布置
【综合拓展类作业】
6.如图，△ABC的边AB=8cm， 当AB边上的高从小到大变化时，△ABC的面积也随之变化.
(1)设AB边上的高为h (cm)，请写出△ABC的面积S (cm2)与高h(cm)的关系式和h的取值范围;
(2)用表格表示当h由5cm变到15cm时(每次增加2cm)，S的对应值;
(3)当h每增加2cm时，S如何变化
解: (1)S= · AB · h=×8 · h=4h
即S与h之间的关系式是S=4h(h>0)
作业布置
【综合拓展类作业】
(2)用表格表示当h由5cm变到15cm时(每次增加2cm)，S的对应值;
(3)当h每增加2cm时，S如何变化
解: (2)列表格如下:
(3)由(2)可看出，当h每增加2cm时，S增加8cm2.
谢谢
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