山东省大联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（含解析）

山东省大联考2023-2024学年高二下学期3月月考
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（ ）
A．从时刻到物体的平均速度 B．从时刻到位移的平均变化率
C．当时刻为时该物体的速度 D．该物体在时刻的瞬时速度
2．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数（其中）的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济和社会效益．假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系，其中为时该放射性同位素的含量．已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素衰变至含量为4.5贝克时，所经历的时间为（ ）
A．20天 B．30天 C．45天 D．60天
7．若点不在函数的图象上，且过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论中正确的个数是（ ）
①当时，
②函数有3个零点
③的解集为
④，都有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列复合函数的导数计算正确的有（ ）
A．若函数，则
B．若函数，则
C．若函数，则
D．若函数，则
10．函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则下列命题正确的是（ ）
A．函数在内一定不存在最小值 B．函数在内只有一个极小值点
C．函数在内有两个极大值点 D．函数在内可能没有零点
11．已知函数是其导函数，恒有，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若，则______．
13．若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是______．
14．已知则使恒成立的的范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）求下列函数的导数．
（1）（为常数）；
（2）．
16．（15分）已知函数．
（1）当时，求函数的单调递减区间；
（2）若函数在上单调，求实数的取值范围．
17．（15分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m），其中容器的中间部分是底面半径为，长度为的圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3万元，半球体部分每平方米建造费用为4万元．设该容器的总建造费用为万元．
（1）将表示成的函数，并求该函数的定义域；
（2）确定和为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．
18．（17分）已知函数．
（1）若，求曲线的斜率等于3的切线方程；
（2）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
19．（17分）已知定义在上的函数和．
（1）求证：；
（2）设在存在极值点，求实数的取值范围．
山东省大联考2023-2024学年高二下学期3月月考
数学参考答案及评分意见
1．D 【解析】根据题意，直线运动的物体，从时刻到时，时间的变化量为，而物体的位移为，那么为该物体在时刻的瞬时速度．故选：D．
2．D 【解析】对于A，，A错；对于B，，B错；对于C，，C错；对于D，，D对．故选：D．
3．B 【解析】解：由函数图象可知在上是单调递增，所以，在处切线的倾斜角和在处的倾斜角均为锐角，且在处切线的倾斜角比在处的倾斜角要小，如图，
所以，由于为两点连线的斜率，
从图中可得，即．
故选：B．
4．B 【解析】因为，
所以，
令，解得，
故函数的单调增区间是．故选：B．
5．C 【解析】因为，所以构造函数．
因为，由，得，
由，得，所以在上单调递减．
因为，，且，所以．
故选：C．
6．D 【解析】由
得，
因为时，该放射性同位素的瞬时变化率为，
即，解得，
则，
当该放射性同位素含量为4.5贝克时，即，
所以，即，所以，解得．故选：D．
7．A 【解析】点不在函数的图象上，则，即．
设过点的直线与的图象相切于，
则切线的斜率，
整理可得，
则问题可转化为有三个零点，，令，可得或，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，有极大值，当时，有极小值，要使有三个零点，
只需，即解得，
所以实数的取值范围为．
故选：A．
8．C【解析】对于①，当时，，则，
因为为奇函数，所以，
所以，所以，所以①错误．
对于②，因为是定义在上的奇函数，所以，
当时，由，得，
当时，由，得，
所以函数有3个零点，所以②正确．
对于③，当时，由，得，得，
当时，由，得，得，所以，
综上，或，所以的解集为，所以③正确．
对于④，当时，由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，
且当时，，当时，，
所以；
当时，由，得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极大值，
当时，，当时，，
所以，
所以的值域为，
所以，都有，所以④正确．故选：C．
9．ABD 【解析】根据复合函数的求导法则，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
10．BCD 【解析】设的根为，且，则由图可知，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，在内单调递减，所以函数在区间内有极小值，当时，是函数在区间内的最小值，所以A错误，B正确；
函数在区间内有极大值，所以C正确；当时，函数在内没有零点，所以D正确．故选BCD．
11．AD 【解析】因为，所以，又，所以，
构造函数，则，
所以在上为增函数，因为，所以，
即，即，故A正确；
因为，所以，即，故，故B错误；
因为，所以，即，故，故C错误；
因为，所以，即，故，故D正确．故选：AD．
12． 【解析】，令，得，则，故答案为．
13． 【解析】，
当时，，此时在上单调递增，无极值；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数存在极小值点，
依题意，，解得，
所以，实数的取值范围是．故答案为：．
14． 【解析】因，令，依题意，，
当时，，求导得，当0时，，当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值；
当时，，求导得在上单调递减，，于是得函数在上单调递减，，
因此，则，所以的取值范围是．故答案为：．
15．解：（1）由，
可得；
（2）由，
可得．
16．解：（1）函数的定义域是，时，，
当时，单调递减，
所以的单调递减区间是；
（2），
由题意，当时，恒成立，或恒成立．
若，则恒成立，
当时，，即的最大值为0，；
若，则，
但当时，，无最小值，所以不可能恒成立．
综上．
17．解：（1）由题意可知，，所以，
又圆柱的侧面积为，两端两个半球的表面积之和为，
所以，
又，所以，
所以定义域为．
（2）因为，
所以令，得，令，得，
又定义域为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当米时，该容器的建造费用最小，为万元，此时．
18．解：（1）当时，，则，
设切点为，则，解得或（舍），
，故切点为，
所求切线方程为，即．
（2），令，得，
①当，即时，在上，
在上单调递减，此时在上不可能存在两个零点；
②当，即时，
在上递减；在上递增，
则在时取得极小值，
结合零点存在定理，要使在区间上恰有两个零点，则得．
综上的取值范围是．
19．（1）证明：记，
所以，且仅当时等号成立，
因此在上单调递减，，故．
（2）解：，则，
令，要使在存在极值点，即有正的变号零点．
，
令，则，
当时，恒成立，即在上单调递减，又，所以在上单调递减，且，所以，不存在变号零点；
当时，恒成立，即在上单调递增，又，所以在上单调递增，且，所以，不存在变号零点；
当时，由，得，
当时，即在上单调递减，
又，所以在上在上单调递减，且，所以，
由（1）知，，所以，
取，有，
所以，使有变号零点．
综上，的取值范围为．