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☆重点难点剖析☆
16.4 分式方程的应用
题型一：列分式方程
【例题1】．（2024·山东济宁·模拟预测）某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了，结果刚好提前天完成订单任务．设该厂家更换设备前每天生产万个口罩，则可列方程式为 ．
【变式1】．（2023·山东青岛·二模）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少捆设菜苗基地每捆种菜苗的价格为元，则可列方程为 ．
题型二：分式方程在工程问题中的应用
【例题2】（九年级下·江苏宿迁·阶段练习）某市为了解决居民用水问题，计划将该市自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工，则恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的2倍．若由甲、乙队先合做10天，则余下的工程由甲队单独完成还需5天．这项工程的规定时间是多少天？
【变式2】．（七年级下·广西百色·期末）甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，已知甲队单独完成这项工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的倍；若由甲队先单独施工天，乙队再加入，两队还需同时施工天，才能完成这项工程．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元，若该工程由甲、乙两工程队合作完成，则所需的施工费用是多少元？
1．（八年级上·山东聊城·阶段练习）京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，从一开始就安排甲乙两工程队合作，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
2．（八年级上·湖南长沙·阶段练习）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的倍．
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
(2)甲工程队独做天后，再由甲、乙两工程队合作 天用含的代数式表示可完成此项工程；
(3)如果甲工程队施工每天需付施工费万元，乙工程队施工每天需付施工费万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过万元？
3．（九年级上·重庆开州·阶段练习）某新修公路沿线需要进行绿化施工，由甲、乙两工程队合作完成．已知若由甲工程队单独施工，需要30天才能完成此项工程；若由乙工程队先施工30天，剩下的由甲、乙合作施工，则还需10天才能完成此项工程．
(1)求乙工程队单独完成此项工程需要多少天？
(2)若甲工程队每天所需费用为1.5万元，乙工程队每天所需费用为1万元，甲、乙两工程队合作完成此项工程，总费用恰为49万元，则应安排甲工程队施工多少天？
4．（八年级上·江苏南通·阶段练习）在高铁的建设中，某段轨道的铺设若由甲乙两工程队合做，天可以完成，共需工程费用元，已知乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的倍，且甲队每天的工程费用比乙队多元．
(1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)若工程管理部门决定从这两个队中选-一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由．
5．（八年级上·山东济宁·期末）某公司在工程招标时，收到甲、乙两个工程队的投标书，该公司根据投标书提出三种方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成这项工程，要比规定工期多用5天；③甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．
(1)求规定的工期为多少天？
(2)甲工程队每天需支付1.5万，乙工程队每天需支付1万，在保证工程如期完工的前提下，哪种方案施工费用最少？
6．（八年级上·广西桂林·期末）为赓续中华优秀文脉，促进文明交流互鉴，某社区准备聘请甲、乙两支施工队参与布置一条长为1200米的宣传长廊．已知甲队单独布置完成工程比乙队单独布置完成工程多用10天，乙队每天布置的数量是甲队每天布置的数量的1.5倍．
(1)求甲、乙两支施工队每天分别布置完成多少米宣传长廊？
(2)现将宣传长廊布置任务交给乙队并要求25天内完成．乙队布置若干天后因接到其它布置任务，经社区同意将余下布置任务全部交给甲队完成．求在转交给甲队之前乙队至少要布置多少天才能按时完成全部任务？
7．（2023·宁夏银川·二模）为落实自治区中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节．小亮报名参加1000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的方程为 ．
题型二：分式方程在行程问题中的应用
【例题3】．（八年级上·贵州黔南·期末）某校八年级组织学生去博物馆参观，年级主任通过腾讯地图查找路线，系统推荐了两种路线，分别为“大众方案”和“快速方案”．“大众方案”对应的路程为，“快速方案”对应的路程为．汽车在“快速方案”上的时速是“大众方案”的倍，“大众方案”的用时预计比“快速方案”用时多半小时，则汽车在“大众方案”和“快速方案”上行驶的平均速度分别是多少？
【变式3】．（八年级上·湖南益阳·期中）小明家距离科技馆1900米，已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，且骑车的速度是步行速度的5倍．一天小明步行去科技馆看表演，走到路程的一半时，他发现忘带门票，此时离表演开始还有23分钟，于是立刻步行回家取票，随后骑车赶往科技馆．小明进家取票时间共用4分钟．
(1)小明步行的速度是每分钟多少米？
(2)请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由．
1．（八年级上·四川泸州·期末）为了节能减排，改善空气质量，减轻主城区重污染，2023年11月起，泸州启动主城区重污染天气高发时段燃油车临时交通管理措施．为了不影响出行，刘某决定换购一辆电动汽车，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元．若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的5倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
2．（八年级上·安徽马鞍山·期末）为了响应打赢“蓝天保卫战”的号召，黄老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，黄老师家距离学校的路程是9千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以黄老师每天上班要比开车早出发小时，才能按原驾车的时间到达学校．
(1)求黄老师驾车的平均速度；
(2)据测算，黄老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为千克，按这样计算，求黄老师一天（按一个往返计算）可以减少的碳排放量．
3．（八年级上·重庆渝中·期末）“元旦节”假期最后一天，李老师驾车从老家沿高速路回主城，途中依次经过四地，其中和路程均为为高速出口，且在出口旁有加油站，的路程为．李老师用2小时通过路段，其中通过路段的平均速度是通讨路段的1.2倍．
(1)求李老师通过路段的平均速度．
(2)李老师所驾驶汽车的“最佳油耗时速”为（以此速度行驶时油耗最低），以“最佳油耗时速”行驶，每100公里耗油为，速度每增加，每100公里耗油增加．当他经过地时的时间为上午9：30，发现此时油箱里还剩余燃油．若李老师要在中午12：00前通过地，同时通讨地时燃油未耗尽，求他在路段的平均时速的取值范围．
4．（九年级上·吉林长春·期末）2023年，我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显的优势．经过对某种电动汽车和某款燃油车的对比发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.8元．若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的5倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
5．（八年级上·安徽芜湖·期末）小王家距上班地点18千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米．他从家出发到达上班地点，乘公交方式所用时间是自驾方式所用时间的．小王用自驾方式上班平均每小时行驶多少千米？
6．（八年级上·吉林四平·期末）我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元，若充电费和加油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费用为元．
(1)当充电费为元时，这款电动汽车的行驶路程为______公里（用含的代数式表示）；
(2)请分别求出这两款车的平均每公里的行驶费用；
(3)若燃油车和电动汽车每年的其它费用分别为元和元，问每年行驶里程在什么范围时，买电动汽车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其它费用）
题型四：分式方程在销售利润问题中的应用
【例题4】．（八年级上·广东东莞·期末）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克．
(1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？
(2)若超市将这批干果按每千克8元的价格全部出售，超市销售这种干果共盈利多少元？
【变式4】．（八年级上·黑龙江牡丹江·期末）2024年是中国农历甲辰龙年．元旦前，某商场进货员预测一种“吉祥龙”挂件能畅销市场，就用6000元购进一批这种“吉祥龙”挂件，面市后果然供不应求，商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”挂件，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元．
(1)该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”挂件每件的进价分别是多少元？
(2)若两批“吉祥龙”挂件按相同的标价销售，要使两批“吉祥龙”挂件全部售完后获利不低于7300（不考虑其他因素），且最后的50件“吉祥龙”挂件按八折优惠售出，那么每件“吉祥龙”挂件的标价至少是多少元？
1．（2024·山西大同·一模）某电器商场经过市场调查发现某品牌甲、乙两种节能冰箱深受消费者喜欢，电器商场决定购进这两种节能冰箱销售．已知甲种节能冰箱的进价比乙种节能冰箱的进价贵2400元，分别用3.6万元购进这两种节能冰箱时，甲种节能冰箱的数量是乙种节能冰箱数量的．
(1)求甲、乙两种节能冰箱的进价分别是多少；
(2)该电器商场准备用20万元购进甲、乙两种节能冰箱共40台，求最多购进甲种节能冰箱多少台．
2．（八年级上·江苏盐城·期末）每年春节，香肠是家家户户必不可少的年货，大润发超市针对市民的口味准备了A、B、C、D四种口味，超市12月份销售C和B两种口味的香肠数量相同，销售额分别是2400元和3000元，其中B口味的单价比C口味的单价每千克多10元．
(1)B口味和C口味的香肠每千克各是多少元？
(2)在（1）的条件下，大润发超市12月份A口味的销量比B口味的销量多千克，A和B两种口味的单价相同；D口味每千克的售价比C口味每千克售价高，D口味的销量比C口味的销量少10千克，最终12月份该超市四种口味的香肠的总销售额为11200元，求a的值．
3．（八年级上·辽宁盘锦·期末）某商场销售、两种商品，售出1件种商品比售出1件种商品所得利润多100元，售出种商品获利30000元的件数和售出种商品获利20000元的件数相同．
(1)求每件种商品和每件种商品售出后所得利润分别为多少元；
(2)由于需求量大，、两种商品很快售完，商场决定再一次购进、两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于7400元，求商场最多购进多少件商品？
4．（八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）随着国家新冠疫情管控方式的变化，某药店用元购送了一批布洛苏缓释胶囊，上市后销售非常快，于是该药店又用元购进第二批这种药品，所购数量是第一批购进数量的倍，但每盒进价多了元．
(1)该药店两批共购进这种药品多少盒？
(2)为了更好地为广大患者服务，该药店将两批药品按同一价格全部销售完毕后，获利不低于元，求每盒这种药品的售价至少是多少元？
5．（八年级下·云南文山·期末）阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用1500元人民币购进蓝莓销售；由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用1200元人民币购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的便宜了10元．
(1)该水果店第一次购进蓝莓每千克多少元？
(2)假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于900元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？
6．（八年级上·重庆城口·期末）今年我县腊肉一上市，腊肉店的王老板用3600元购进一批腊肉，很快售完；老板又用7800元购进第二批腊肉，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．
(1)第一批腊肉每件进价多少元？
(2)王老板以每件100元的价格销售第二批腊肉，售出后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批腊肉的销售利润不少于3480元，剩余的腊肉每件售价最少打几折？（利润售价进价）
7．（八年级上·西藏日喀则·期末）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价为每件15元．
(1)问第二次购进了多少件文具？
(2)文具店老板第一次购进的文具有30元的损耗，第二次购进的文具有125元的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由．
题型五：分式方程在航行中的应用
【例题5】．（八年级上·河北承德·期末）甲乙两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是，水流速度时，后两船同时到达A、C两港口；卸装货物后，又同时出发，甲船驶往C港口，乙船驶往A港口．（提示：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速）
(1)两港口相距多远？
(2)卸装货物后两船再同时出发，乙船到达A港口时，甲船距C港口，求a值．
【变式5】．（八年级上·贵州遵义·期末）已知水流速度为3千米/时，轮船顺水航行120千米所需的时间与逆水航行90千米所需的时间相同，求轮船在静水中的速度，设轮船在静水中的速度为x千米/时，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
1．（八年级上·湖南岳阳·期中）一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行所需时间与逆水航行所需时间相同．已知水流速度是，设轮船静水中航行的速度为，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（八年级下·上海·课时练习）A、B两个码头相距6千米,一只船从A出发划船逆流而上用了1小时30分钟到达B．回来时，开始的路程划船前进，余下的路程让船顺水漂移到达A地，结果来去所用时间相同．求船在静水中的划行速度和水流速度．
3．（七年级上·湖北武汉·期中）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50km/h，水流速度是akm/h．
（1）2h后两船相距多远？
（2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？
（3）一艘小快艇送游客在甲、乙两个码头间往返，其中去程的时间是回程的时间3倍，则小快艇在静水中的速度v与水流速度a的关系是 ．
题型六：分式方程在数字中的应用
【例题6】．（八年级上·贵州铜仁·期中）一个两位数的十位数字是6，如果把十位数字与个位数字对调，那么所得的两位数与原来的两位数之比是，原来得两位数是 ．
【变式6】．（八年级上·全国·课时练习）有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．
1．（八年级上·山东潍坊·期末）一个二位数的十位数字与个位数字的和是12，如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为，则这个二位数是 ．
2．（八年级上·山东·课时练习）一个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除这个两位数商是3，求这个两位数.
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☆重点难点剖析☆
16.4 分式方程的应用
题型一：列分式方程
【例题1】．（2024·山东济宁·模拟预测）某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了，结果刚好提前天完成订单任务．设该厂家更换设备前每天生产万个口罩，则可列方程式为 ．
【答案】
【详解】解：设该厂家更换设备前每天生产口罩万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩万只，
依题意得：，
故答案为：．
【变式1】．（2023·山东青岛·二模）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少捆设菜苗基地每捆种菜苗的价格为元，则可列方程为 ．
【答案】
【详解】
解：市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的倍，且菜苗基地每捆种菜苗的价格为元，
市场上每捆种菜苗的价格为元．
根据题意得：．
故答案为：．
题型二：分式方程在工程问题中的应用
【例题2】（九年级下·江苏宿迁·阶段练习）某市为了解决居民用水问题，计划将该市自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工，则恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的2倍．若由甲、乙队先合做10天，则余下的工程由甲队单独完成还需5天．这项工程的规定时间是多少天？
【答案】这项工程的规定时间是20天
【详解】解：设这项工程的规定时间是天，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：这项工程的规定时间是20天．
【变式2】．（七年级下·广西百色·期末）甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，已知甲队单独完成这项工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的倍；若由甲队先单独施工天，乙队再加入，两队还需同时施工天，才能完成这项工程．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元，若该工程由甲、乙两工程队合作完成，则所需的施工费用是多少元？
【答案】(1)甲队单独完成这项工程需天，乙队单独完成这项工程需天
(2)所需的施工费用是元
【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工程需天，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解且符合题意，
∴．
答：甲队单独完成这项工程需天，乙队单独完成这项工程需天；
（2）根据题意得：（元）．
答：所需的施工费用是元．
1．（八年级上·山东聊城·阶段练习）京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，从一开始就安排甲乙两工程队合作，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天；
(2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元，理由见解析．
【详解】（1）设乙队单独完成这项工程需要天，则甲队单独完成这项工程需要天．根据题意，得 ．
解得．
经检验，是原方程的根．
．
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天．
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要天，
则有．
解得．
需要施工费用：（万元）．
．
工程预算的施工费用不够用，需追加预算万元．
2．（八年级上·湖南长沙·阶段练习）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的倍．
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
(2)甲工程队独做天后，再由甲、乙两工程队合作 天用含的代数式表示可完成此项工程；
(3)如果甲工程队施工每天需付施工费万元，乙工程队施工每天需付施工费万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过万元？
【答案】(1)甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要天，天
(2)
(3)甲工程队至少要单独施工天
【详解】（1）设乙单独完成此项工程需要天，则甲单独完成需要天，
，
解得：，
经检验是原方程的解．
，
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要天，天；
（2）天；
故答案为：；
（3）设甲单独做了天，
，
解得：
答：甲工程队至少要单独施工天．
3．（九年级上·重庆开州·阶段练习）某新修公路沿线需要进行绿化施工，由甲、乙两工程队合作完成．已知若由甲工程队单独施工，需要30天才能完成此项工程；若由乙工程队先施工30天，剩下的由甲、乙合作施工，则还需10天才能完成此项工程．
(1)求乙工程队单独完成此项工程需要多少天？
(2)若甲工程队每天所需费用为1.5万元，乙工程队每天所需费用为1万元，甲、乙两工程队合作完成此项工程，总费用恰为49万元，则应安排甲工程队施工多少天？
【答案】(1)乙工程队单独完成此项工程需要60天；
(2)应安排甲工程队施工22天．
【详解】（1）解：设乙工程队单独完成此项工程需要天，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：乙工程队单独完成此项工程需要60天；
（2）解：设应安排甲工程队施工天，则安排乙工程队施工天，
根据题意得：，
解得：．
答：应安排甲工程队施工22天．
4．（八年级上·江苏南通·阶段练习）在高铁的建设中，某段轨道的铺设若由甲乙两工程队合做，天可以完成，共需工程费用元，已知乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的倍，且甲队每天的工程费用比乙队多元．
(1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)若工程管理部门决定从这两个队中选-一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由．
【答案】(1)甲工程队单独完成这项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程需天
(2)甲工程队单独完成需要的费用低，应选甲工程队单独完成，理由见解析
【详解】（1）设甲工程队单独完成这项工程需要天，则乙工程队单独完成这项工程需要天，
依题意，得：
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
．
答：甲工程队单独完成这项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程需天；
（2）设甲工程队每天的费用是元，则乙工程队每天的费用是元，
依题意，得：，
解得：，
．
甲工程队单独完成共需要费用：元，
乙工程队单独完成共需要费用：元．
，
甲工程队单独完成需要的费用低，应选甲工程队单独完成．
5．（八年级上·山东济宁·期末）某公司在工程招标时，收到甲、乙两个工程队的投标书，该公司根据投标书提出三种方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成这项工程，要比规定工期多用5天；③甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．
(1)求规定的工期为多少天？
(2)甲工程队每天需支付1.5万，乙工程队每天需支付1万，在保证工程如期完工的前提下，哪种方案施工费用最少？
【答案】(1)20天
(2)方案③施工费用最少
【详解】（1）解：设这项工程为单位1，规定的工期为x天，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列方程的解，
答：规定的工期为20天；
（2）解：由题意和（1）知，甲队单独完成这项工程需20天，乙队单独完成这项工程需25天，故①③方案能够保证工程如期完工，
方案①所需施工费用为（万元），
方案③所需施工费用为（万元），
∵，
∴方案③的施工费用最少．
6．（八年级上·广西桂林·期末）为赓续中华优秀文脉，促进文明交流互鉴，某社区准备聘请甲、乙两支施工队参与布置一条长为1200米的宣传长廊．已知甲队单独布置完成工程比乙队单独布置完成工程多用10天，乙队每天布置的数量是甲队每天布置的数量的1.5倍．
(1)求甲、乙两支施工队每天分别布置完成多少米宣传长廊？
(2)现将宣传长廊布置任务交给乙队并要求25天内完成．乙队布置若干天后因接到其它布置任务，经社区同意将余下布置任务全部交给甲队完成．求在转交给甲队之前乙队至少要布置多少天才能按时完成全部任务？
【答案】(1)甲施工队每天分别布置40米宣传长廊，则乙两支施工队每天分别布置60米宣传长廊；
(2)在转交给甲队之前乙队至少要布置10天，才能按照村委会要求按时完成
【详解】（1）解：设甲施工队每天分别布置x米宣传长廊，则乙两支施工队每天分别布置米宣传长廊，
根据题意得：
，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：甲施工队每天分别布置40米宣传长廊，则乙两支施工队每天分别布置60米宣传长廊；
（2）设在转交给甲队之前乙队施工y天，
根据题意得：，
解得：，
∴y的最小值为10．
答：在转交给甲队之前乙队至少要布置10天，才能按照村委会要求按时完成．
7．（2023·宁夏银川·二模）为落实自治区中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节．小亮报名参加1000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的方程为 ．
【答案】
【详解】解：依题意有：
故答案为：．
题型二：分式方程在行程问题中的应用
【例题3】．（八年级上·贵州黔南·期末）某校八年级组织学生去博物馆参观，年级主任通过腾讯地图查找路线，系统推荐了两种路线，分别为“大众方案”和“快速方案”．“大众方案”对应的路程为，“快速方案”对应的路程为．汽车在“快速方案”上的时速是“大众方案”的倍，“大众方案”的用时预计比“快速方案”用时多半小时，则汽车在“大众方案”和“快速方案”上行驶的平均速度分别是多少？
【答案】汽车在“大众方案”和“快速方案”上行驶的平均速度分别是和．
【详解】解：设汽车在“大众方案”上行驶的平均速度是，
则汽车在“快速方案”上行驶的平均速度是，
根据题意得，，
整理得，
解得，
经检验，使得，
是该方程的解，
汽车在“快速方案”上行驶的平均速度是（），
答：汽车在“大众方案”和“快速方案”上行驶的平均速度分别是和．
【变式3】．（八年级上·湖南益阳·期中）小明家距离科技馆1900米，已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，且骑车的速度是步行速度的5倍．一天小明步行去科技馆看表演，走到路程的一半时，他发现忘带门票，此时离表演开始还有23分钟，于是立刻步行回家取票，随后骑车赶往科技馆．小明进家取票时间共用4分钟．
(1)小明步行的速度是每分钟多少米？
(2)请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由．
【答案】(1)明步行的速度为米分钟
(2)小明能在表演开始前赶到科技馆，理由见解析
【详解】（1）设小明步行的速度为米分钟，则小明骑车的速度为米分钟．根据题意，得，
解得：．
经检验，是原分式方程的解．
答：小明步行的速度为米分钟；
（2），
所以小明能在表演开始前赶到科技馆．
1．（八年级上·四川泸州·期末）为了节能减排，改善空气质量，减轻主城区重污染，2023年11月起，泸州启动主城区重污染天气高发时段燃油车临时交通管理措施．为了不影响出行，刘某决定换购一辆电动汽车，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元．若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的5倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费为元
【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的加油费为元，由题意得：
解得：，
经检验，是分式方程的解，且符合实际意义，
答：这款电动汽车平均每公里的充电费为元．
2．（八年级上·安徽马鞍山·期末）为了响应打赢“蓝天保卫战”的号召，黄老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，黄老师家距离学校的路程是9千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以黄老师每天上班要比开车早出发小时，才能按原驾车的时间到达学校．
(1)求黄老师驾车的平均速度；
(2)据测算，黄老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为千克，按这样计算，求黄老师一天（按一个往返计算）可以减少的碳排放量．
【答案】(1)54千米/小时
(2)千克
【详解】（1）解：设黄老师骑自行车的平均速度为x千米/小时，
依题意有：，
解得，经检验，是原方程的解．
则，
故黄老师驾车的平均速度为54千米/小时；
（2）由（1）可得黄老师驾车的平均速度为54千米/小时，
（千克）．
故可以减少碳排放量千克．
3．（八年级上·重庆渝中·期末）“元旦节”假期最后一天，李老师驾车从老家沿高速路回主城，途中依次经过四地，其中和路程均为为高速出口，且在出口旁有加油站，的路程为．李老师用2小时通过路段，其中通过路段的平均速度是通讨路段的1.2倍．
(1)求李老师通过路段的平均速度．
(2)李老师所驾驶汽车的“最佳油耗时速”为（以此速度行驶时油耗最低），以“最佳油耗时速”行驶，每100公里耗油为，速度每增加，每100公里耗油增加．当他经过地时的时间为上午9：30，发现此时油箱里还剩余燃油．若李老师要在中午12：00前通过地，同时通讨地时燃油未耗尽，求他在路段的平均时速的取值范围．
【答案】(1)李老师通过路段的平均速度为
(2)李老师通过路段的速度应大于小于
【详解】（1）解：设李老师通过路段的平均速度为，则李老师通过路段的平均速度为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：李老师通过路段的平均速度为；
（2）解：共，．
设李老师在路段的平均时速为，则每100公里耗油，
根据题意得：，
解得：．
答：李老师在路段的平均时速大于小于．
4．（九年级上·吉林长春·期末）2023年，我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显的优势．经过对某种电动汽车和某款燃油车的对比发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.8元．若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的5倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元
【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，则燃油车平均每公里的加油费为 元，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元．
5．（八年级上·安徽芜湖·期末）小王家距上班地点18千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米．他从家出发到达上班地点，乘公交方式所用时间是自驾方式所用时间的．小王用自驾方式上班平均每小时行驶多少千米？
【答案】27千米
【详解】解：设小王用自驾方式上班平均每小时行驶千米，则小王乘公交车上班平均每小时行驶千米，
由题意得：，
解得：，
经检验是原分式方程的解且符合实际，
答：小王用自驾方式上班平均每小时行驶27千米．
6．（八年级上·吉林四平·期末）我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元，若充电费和加油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费用为元．
(1)当充电费为元时，这款电动汽车的行驶路程为______公里（用含的代数式表示）；
(2)请分别求出这两款车的平均每公里的行驶费用；
(3)若燃油车和电动汽车每年的其它费用分别为元和元，问每年行驶里程在什么范围时，买电动汽车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其它费用）
【答案】(1)
(2)电动汽车平均每公里行驶费用为元，燃油车平均每公里行驶费用为元
(3)每年行驶里程超过公里时，买电动汽车的年费用更低
【详解】（1）解：根据题意得：当充电费为元时，这款电动汽车的行驶路程为公里，
故答案为：；
（2）设这款电动汽车平均每公里的充电费用为元，则这款燃油车平均每公里的加油费用为元，
由题意得：
解得：
经检验，是原分式方程的解且符合题意，
∴（元），
答：电动汽车平均每公里行驶费用为元，燃油车平均每公里行驶费用为元；
（3）设每年行驶里程为公里时，买电动汽车的年费用更低
依题意，得：，
解得：，
答：每年行驶里程超过公里时，买电动汽车的年费用更低．
题型四：分式方程在销售利润问题中的应用
【例题4】．（八年级上·广东东莞·期末）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克．
(1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？
(2)若超市将这批干果按每千克8元的价格全部出售，超市销售这种干果共盈利多少元？
【答案】(1)该种干果的第一次进价是每千克5元
(2)超市销售这种干果共盈利4800元
【详解】（1）
解：设该种干果第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元，依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元．
（2）
解：第一次购进（千克），
第二次购进（千克），
（元）．
答：超市销售这种干果共盈利4800元．
【变式4】．（八年级上·黑龙江牡丹江·期末）2024年是中国农历甲辰龙年．元旦前，某商场进货员预测一种“吉祥龙”挂件能畅销市场，就用6000元购进一批这种“吉祥龙”挂件，面市后果然供不应求，商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”挂件，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元．
(1)该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”挂件每件的进价分别是多少元？
(2)若两批“吉祥龙”挂件按相同的标价销售，要使两批“吉祥龙”挂件全部售完后获利不低于7300（不考虑其他因素），且最后的50件“吉祥龙”挂件按八折优惠售出，那么每件“吉祥龙”挂件的标价至少是多少元？
【答案】(1)该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是60元/件，第二批“吉祥龙”挂件的进价是64元；
(2)每件“吉祥龙”挂件的标价至少是90元．
【详解】（1）解：设该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是x元/件，则第二批“吉祥龙”挂件的进价是元，
根据题意得： ，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元/件）．
答：该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是60元/件，第二批“吉祥龙”挂件的进价是64元；
（2）解：该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的数量是（件），
该商场购进第二批“吉祥龙”挂件的数量是（件）．
设每件“吉祥龙”挂件的标价是y元，
根据题意得：，
解得：，
∴y的最小值为90．
答：每件“吉祥龙”挂件的标价至少是90元．
1．（2024·山西大同·一模）某电器商场经过市场调查发现某品牌甲、乙两种节能冰箱深受消费者喜欢，电器商场决定购进这两种节能冰箱销售．已知甲种节能冰箱的进价比乙种节能冰箱的进价贵2400元，分别用3.6万元购进这两种节能冰箱时，甲种节能冰箱的数量是乙种节能冰箱数量的．
(1)求甲、乙两种节能冰箱的进价分别是多少；
(2)该电器商场准备用20万元购进甲、乙两种节能冰箱共40台，求最多购进甲种节能冰箱多少台．
【答案】(1)甲种节能冰箱的进价是6000元/台，乙种节能冰箱的进价是3600元/台；
(2)最多购进甲种节能冰箱23台
【详解】（1）解：设乙种节能冰箱的进价是元/台．
根据题意，得．
解，得．
经检验：是原方程的解．
．
答：甲种节能冰箱的进价是6000元/台，乙种节能冰箱的进价是3600元/台．
（2）解：设购进甲种节能冰箱台．
根据题意，得．
解，得．
∵取最大的正整数，
∴．
答：最多购进甲种节能冰箱23台．
2．（八年级上·江苏盐城·期末）每年春节，香肠是家家户户必不可少的年货，大润发超市针对市民的口味准备了A、B、C、D四种口味，超市12月份销售C和B两种口味的香肠数量相同，销售额分别是2400元和3000元，其中B口味的单价比C口味的单价每千克多10元．
(1)B口味和C口味的香肠每千克各是多少元？
(2)在（1）的条件下，大润发超市12月份A口味的销量比B口味的销量多千克，A和B两种口味的单价相同；D口味每千克的售价比C口味每千克售价高，D口味的销量比C口味的销量少10千克，最终12月份该超市四种口味的香肠的总销售额为11200元，求a的值．
【答案】(1)B：50元/千克，C：40元/千克
(2)
【详解】（1）解：设C口味的香肠每千克x元，则B口味的香肠每千克元．
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
所以，原方程的解为，
B口味：（元）．
答：B口味的香肠每千克50元，C口味的香肠每千克40元．
（2）解：由（1）得12月B口味的销量为：（千克），
12月C口味的销量为：（千克），
由题意可得：
，
解得：．
答：的值为5．
3．（八年级上·辽宁盘锦·期末）某商场销售、两种商品，售出1件种商品比售出1件种商品所得利润多100元，售出种商品获利30000元的件数和售出种商品获利20000元的件数相同．
(1)求每件种商品和每件种商品售出后所得利润分别为多少元；
(2)由于需求量大，、两种商品很快售完，商场决定再一次购进、两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于7400元，求商场最多购进多少件商品？
【答案】(1)每件A种商品售出后获得的利润为300元，每件B种商品售出后获得的利润为200元
(2)商场最多购进28件B商品
【详解】（1）解：设每件B种商品售出后获得的利润为元，则每件A种商品售出后获得的利润为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：每件A种商品售出后获得的利润为300元，每件B种商品售出后获得的利润为200元．
（2）解：设购进种商品件，则购进种商品件，
由题意得：，
解得：，
答：商场最多购进28件B商品．
4．（八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）随着国家新冠疫情管控方式的变化，某药店用元购送了一批布洛苏缓释胶囊，上市后销售非常快，于是该药店又用元购进第二批这种药品，所购数量是第一批购进数量的倍，但每盒进价多了元．
(1)该药店两批共购进这种药品多少盒？
(2)为了更好地为广大患者服务，该药店将两批药品按同一价格全部销售完毕后，获利不低于元，求每盒这种药品的售价至少是多少元？
【答案】(1)该药店两批共购进这种药品盒；
(2)每盒这种药品的售价至少是元．
【详解】（1）解：设该药店第一批共购进这种药品盒，则第二批共购进这种药品盒，
由题意得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
则第二批共购进这种药品盒，
（盒），
答：该药店两批共购进这种药品盒；
（2）设每盒这种药品的售价是元，由（）得第一批共购进这种药品的单价为元，第二批共购进这种药品的单价为元，
由题意得：，
解得：，
答：每盒这种药品的售价至少是元．
5．（八年级下·云南文山·期末）阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用1500元人民币购进蓝莓销售；由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用1200元人民币购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的便宜了10元．
(1)该水果店第一次购进蓝莓每千克多少元？
(2)假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于900元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？
【答案】(1)该水果店第一次购进蓝莓每千克50元；
(2)要使总利润不低于900元，则每千克蓝莓的售价至少是60元．
【详解】（1）解：设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：该水果店第一次购进蓝莓每千克50元；
（2）设每千克蓝莓的售价是元，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为60．
答：要使总利润不低于900元，则每千克蓝莓的售价至少是60元．
6．（八年级上·重庆城口·期末）今年我县腊肉一上市，腊肉店的王老板用3600元购进一批腊肉，很快售完；老板又用7800元购进第二批腊肉，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．
(1)第一批腊肉每件进价多少元？
(2)王老板以每件100元的价格销售第二批腊肉，售出后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批腊肉的销售利润不少于3480元，剩余的腊肉每件售价最少打几折？（利润售价进价）
【答案】(1)第一批腊肉每件进价为60元
(2)剩余的腊肉每件售价最少打8折
【详解】（1）解：设第一批腊肉每件进价为x元，则第二批腊肉每件进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：第一批腊肉每件进价为60元；
（2）解：设剩余的腊肉每件售价打y折，
根据题意得：，
解得：，
答：剩余的腊肉每件售价最少打8折．
7．（八年级上·西藏日喀则·期末）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价为每件15元．
(1)问第二次购进了多少件文具？
(2)文具店老板第一次购进的文具有30元的损耗，第二次购进的文具有125元的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由．
【答案】(1)200件
(2)盈利元，理由见详解
【详解】（1）解：设第一次购进件文具，由题意得，
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则（件）；
答：第二次购进200件文具．
（2）解：由题意得
（元）；
答：文具店老板在这两笔生意中盈利元．
题型五：分式方程在航行中的应用
【例题5】．（八年级上·河北承德·期末）甲乙两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是，水流速度时，后两船同时到达A、C两港口；卸装货物后，又同时出发，甲船驶往C港口，乙船驶往A港口．（提示：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速）
(1)两港口相距多远？
(2)卸装货物后两船再同时出发，乙船到达A港口时，甲船距C港口，求a值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意可得
，
故两港口相距；
（2）由题意得
，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意，
【变式5】．（八年级上·贵州遵义·期末）已知水流速度为3千米/时，轮船顺水航行120千米所需的时间与逆水航行90千米所需的时间相同，求轮船在静水中的速度，设轮船在静水中的速度为x千米/时，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，
由题意得，
；
故选：A
1．（八年级上·湖南岳阳·期中）一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行所需时间与逆水航行所需时间相同．已知水流速度是，设轮船静水中航行的速度为，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设轮船静水中航行的速度为，则轮船顺水速度为，船逆水速度为，根据题意得：
，故C正确．
故选：C．
2．（八年级下·上海·课时练习）A、B两个码头相距6千米,一只船从A出发划船逆流而上用了1小时30分钟到达B．回来时，开始的路程划船前进，余下的路程让船顺水漂移到达A地，结果来去所用时间相同．求船在静水中的划行速度和水流速度．
【答案】船在静水中的划行速度为6千米/小时，水流速度2千米/小时．
【详解】设船在静水中的划行速度为x千米/小时，水流速度y千米/小时，
根据题意得
解得或，
经检验，是方程组的解且符合实际，是方程组的解但不符合实际，
所以，
3．（七年级上·湖北武汉·期中）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50km/h，水流速度是akm/h．
（1）2h后两船相距多远？
（2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？
（3）一艘小快艇送游客在甲、乙两个码头间往返，其中去程的时间是回程的时间3倍，则小快艇在静水中的速度v与水流速度a的关系是 ．
【答案】（1）2h后两船相距千米（2）2h后甲船比乙船多航行千米；（3）
【详解】解：（1）2h后，甲船行驶的路程为，乙船行驶的路程为
两船相距为
答：2h后两船相距千米
（2）由（1）得2h后，甲船行驶的路程为，乙船行驶的路程为
甲船比乙船多航行
答：2h后甲船比乙船多航行千米
（3）由题意可得去程是逆水行驶，返程是顺水行驶，设码头之前的距离为
则去程时间为，返程时间为
由题意可得，即，解得
快艇在静水中的速度v与水流速度a的关系是为
故答案为
题型六：分式方程在数字中的应用
【例题6】．（八年级上·贵州铜仁·期中）一个两位数的十位数字是6，如果把十位数字与个位数字对调，那么所得的两位数与原来的两位数之比是，原来得两位数是 ．
【答案】63
【详解】解：设这个两位数个位上的数为x，
则可列方程：，
整理得66x＝198，
解得x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，则60+x＝63，
故答案为：63．
【变式6】．（八年级上·全国·课时练习）有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．
【答案】34
【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，
则：，
解方程得：，
经检验：是原方程的根，
所以个位上的数字为：＝3＋1＝4，
所以这个两位数是：3×10＋4＝34．
答：这个两位数是34．
1．（八年级上·山东潍坊·期末）一个二位数的十位数字与个位数字的和是12，如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为，则这个二位数是 ．
【答案】84
【详解】设这个二位数的十位数字为x，则个位数字为（12﹣x），
根据题意得：＝，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是所列分式方程的解，且符合题意，
∴12﹣x＝4．
故答案为84．
2．（八年级上·山东·课时练习）一个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除这个两位数商是3，求这个两位数.
【答案】15.
【详解】解：，
解得：x=1，
经检验，x=1是分式方程的解，
10x+（x+4）=10×1+1+4=15．
答：这个两位数为15．
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