沪科版八年级下册勾股定理章节重难点题型梳理（一）
一、勾股定理面积证法
1．（2024八上·南宁期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
（1）如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法： ；方法： ；根据以上信息，可以得到的等式是 ；
（2）如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系；
（3）在（）的条件下，若，求斜边的值．
【答案】（1）；；
（2）解：方法：，
方法：，
∴，
∴；
（3）解：把代入得，
，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：（1）用方法一得到大正方形面积为：
用方法二得到大正方形面积为：
得到的等式为：，
故答案为：，，；
【分析】（1）从整体看得到大正方形的边长，进而得到其面积；然后从组成来看即可得到大正方形的面积为四部分面积之和，进而即可得到等式；
（2）分别从整体看和从组成来看得到大正方形的面积的两种表示方法，整理后即可求解；
（3）把相关数值代入（2）得到的等式即可求出c的值.
2．（2023八上·绍兴期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则下列关于，，的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：设，，则，
，，即，求得，
在中有，，求得，，，.
故答案为：D.
【分析】设，，等量关系求得，在利用勾股定理，可得，再结合得到，进而判断选项.
3．（2023八下·代县月考）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）结合图①，说明：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积；
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝ ．
【答案】（1）证明：
即
（2）解：
设，则，
在中，由勾股定理得：
即
解得：
（3）6
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：（3）设正方形的面积为x，设其他八个全等的三角形每个的面积为y
，，
【分析】（1）结合图形，利用面积公式证明求解即可；
（2）先求出 ， 再利用勾股定理求出x=1，最后利用面积公式计算求解即可；
（3）根据题意先求出，再求出，最后求解即可。
4．（2023九上·自流井开学考）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC， 交BE于点P， 若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7．则S△CFP-S△AEP的值是（ ）
A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】A
【知识点】勾股定理的证明；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，设AC交DG于点M，
∵AH=CF，∠AHM=∠CFP，∠PCF=∠MAH，
∴△CFP≌△AHM（AAS），
同理可证：△AEP≌△CGM，
S△CFP-S△AEP=S四边形EHMP=S四边形MGFP=S正EFGH，
设AE=x，BE=y，
∴x+y=7，x2+y2=28，EF=x-y，
∴2xy=21
∴EF2=（x-y）2=（x+y）2-4xy=49-42=7，
∴S△CFP-S△AEP=S正EFGH=×7=3.5；
故答案为：A.
【分析】设AC交DG于点M，证明△CFP≌△AHM（AAS），△AEP≌△CGM，从而得出S△CFP-S△AEP=S四边形EHMP=S四边形MGFP=S正EFGH，设AE=x，BE=y，
则x+y=7，x2+y2=28，EF=x-y，据此可推出2xy=21，从而求出EF2，即得正方形EFGH的面积，继而得解.
5．（2022八上·长春期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容．
（1）请结合图①，写出完整的证明过程；
（2）如图②，在等腰直角三角形中，，，P是射线BC上一点，以为直角边在边的右侧作，使，．过点D作于点E，当时，则 ．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）
【知识点】勾股定理的证明；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（2）如图②，过点A作于H，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】（1）先证出是等腰直角三角形，可得，再结合，可得，最后化简可得。
（2）过点A作于H，先利用“AAS”证明，可得，，再利用勾股定理求出BD的长即可。
6．（2022八下·孝义期末）阅读下列材料，并完成相应任务．
运用“双求法”证明勾股定理勾股定理表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，它神秘而美妙，证法多样，是数学定理中证明方法最多的定理之一．勾股定理的证明过程多数采用的方法是“用两种不同的方法和含有a，b，c的式子表示同一个图形的面积”，由于同一个图形的面积相等，从而得到含a，b，c的恒等式，通过化简即可完成勾股定理的证明．数学上把这种方法称之为“双求法”． 下面是利用“双求法”证明勾股定理的一种思路： 如图1，将两个全等的直角三角形与如图摆放，其中，，，．连接BD，过点D作BC延长线的垂线，垂足为F，容易得出，用含a，b，c的式子表示出上面四个三角形的面积，就能完成勾股定理的证明．
（1）任务一：请你根据上述材料中的思路证明勾股定理；
（2）任务二：请你用“双求法”解决下列问题；
如图2，中，，CD是AB边上的高，若，，则 ．（直接写出答案）
【答案】（1）证明：∵BC=AE=a，AC=DE=b，AB=AD=c，，
∴，且，，
∴，
在中，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即是等腰直角三角形；
∵，，，
∴，
∴四边形CFDE是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的证明；矩形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：任务二：
∵∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形，且AB为斜边，
∵AC=12，BC=5，
∴，
∵CD是AB边上的高，
∴△ABC的面积表示为，
又∵在Rt△ABC中，
∴△ABC的面积表示为，
∴，即，
∵AB=13，AC=12，BC=5，
∴，
故答案为：．
【分析】任务一： 利用SSS证明△ABC≌△DAE，则DE⊥AC，BC⊥AC，根据面积间的和差关系结合三角形的面积公式可得S四边形ABCD=ab+b2，根据全等三角形的性质可得∠DAE=∠ABC，AD=AB=c，进而推出△ABD为等腰直角三角形，易得四边形CFDE是矩形，则DF=CE=b-a，则S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=c2+a(b-a)=c2+ab-a2，据此证明；
任务二：利用勾股定理可得AB的值，根据等面积法可得CD的值.
二、折叠问题
7．如图，将长为4 cm、宽为2 cm的矩形纸片ABCD沿着EF翻折，使点A与点C重合，则折痕EF的长为 cm.
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，作，
，
四边形ABCD是矩形，
，，
四边形AGFD是矩形，
，
设，
，
由折叠的性质可得，，
，解得，
，
同理可得，
，
，
.
故答案为：.
【分析】作，易证四边形AGFD是矩形，由折叠的性质可得，，设，可得，利用勾股定理解得x值，进而得到DF、BE的长度，再通过矩形的性质得到FG、GE的长度，进而求得EF的长.
8．（2023八上·济南开学考）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是 （ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设CN=x，则DN=8-x，
EC=BC=4，由勾股定理可知EN2=EC2+NC2，即（8-x）2=16+x
解得：x=3.
故答案为：A.
【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，设CN=x，则DN=NE=8-x，CE=4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长。
9．（2023八上·乐平期中）如图，长方形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿BE向下折叠后得到△GBE，将BG延长线交直线 DC于点F.
（1）若点G恰好落在边BC上，则AD与AB的数量关系是 .
（2）如果点G在长方形ABCD的内部，如图所示.
①试探究线段BF，AB，DF之间的数量关系，并说明理由；
②若DF=DC，AD=8，求AB的长度.
【答案】（1）2AB=AD
（2）解：①BF=AB+DF，
理由如下：如图，连接EF，
由图形的翻折可知，BG=AB，EG=AE，∠BGE=∠BAE=90°，
∴∠EGF=∠EDG=90°，
∵点E是AD的中点，
∴AE=ED.
∴EG=ED，
又∵EF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF （HL），
∴DF=FG，
∴BF=BG+FG，即BF=AB+DF；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠C=90°，BC=AD，
∵根据折叠有AB=BG，
∴BG=DC，
∵DF=DC，
∴ CF=DC-DF=DC，
根据①的结论有GF=DF，
∴GF=DC，
∴ BF=BG+GF=DC+DC=DC，
∵∠C=90°，AD=BC=8，
∴在Rt△BCF中，有，
∴，
解得：DC=，
∴AB=，即AB的长度为；
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1） △ABE沿BE向下折叠后得到△GBE ，且 点G恰好落在边BC上 ，则四边形ABGE为矩形，∠ABE=∠EBG=45°=∠ABG=45°，则进一步得到四边形ABGE为正方形，故AB=AE=AD；
（2）①连接EF，由E为AD中点，易证Rt△EGF≌Rt△EDF ，等量代换后BF=BG+GF=AB+DF ；
②由 DF=DC ，得到GF=DC ，CF=DC ，根据翻折，得到CD=AB=BG，由①中结论可知，BF=AB+DF=DC+DC=DC，在Rt△ FBC中，BF=DC，CF=DC ，BC=AD=8，勾股定理解得AB=DC=。
三、蚂蚁爬行{最短路径}
10．（2018·东莞模拟）如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（ ）
A．(3 +8)cm B．10cm C．14cm D．无法确定
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图(1)所示：
如图(2)所示：
由于
所以最短路径为10.
故答案为：B.
【分析】立体图形表面上的最短距离问题，应该展开成平面图形两点间的距离问题来研究，此题有两种情况，分别如题，然后根据勾股定理即可得出线段的长度，再比较大小即可得出答案。
11．（2023八上·从江开学考）如图，一圆柱高，底面周长是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
如图，把圆柱展开得上图，最短距离为AB，底面周长为12cm，BC=8cm
则AC=6cm，在Rt△ABC中由勾股定理：AB=
故答案为：D.
【分析】把圆柱展开得到矩形展开图，很容易找到最短距离为AB，再根据勾股定理求解即可。
12．（2023九上·云南开学考）如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部处，则这条丝线的最小长度是 ．
【答案】130cm
【知识点】勾股定理的应用；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，圆柱侧面展开图是矩形，
矩形的长为120cm，宽为圆柱的底面周长50cm，
根据勾股定理得：cm
根据两点之间线段最短，可得丝线的最小长度为130cm .
故答案为： 130cm .
【分析】将圆柱侧面展开可得到长为120cm，宽为圆柱的底面周长50cm的矩形，根据勾股定理即可求出AB的长，即为所求．
13．（2024八上·大竹期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（ ）．（杯壁厚度不计）
A．20 B．25 C．30 D．40
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：把玻璃杯的侧面展开， 如图， 把点A向上平移6cm到点C， 连接BC， 过点B作 于D，由已知得： 在 中， 由勾股定理得： ，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为25cm.
故答案为：B.
【分析】根据题意把圆柱展开，化曲为直，再利用勾股定理解题.
14．（2023八上·期中）
（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；
（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程；
（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
【答案】（1）解：由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：
（cm）．
（2）解：分三种情况可得：AG＝cm＞AG＝cm＞AG＝cm，
所以最短路程为cm；
（3）解：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12-3+AE＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝＝13（cm）．
【知识点】勾股定理的应用；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可．
（2）根据平面展开——最短距离问题求解。将长方体展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理解答；
（3）根据平面展开——最短距离问题求解。将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
四、勾股定理几何应用
15．（2024八上·长春净月高新技术产业开发期末）如图，阴影部分表示以的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，则长是（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理、结合圆的面积公式求解。如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
16．（2023九上·平定期中）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为．当时，t的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：过点作于点，则，如图所示
当运动时间为秒时，，，，
依题意得：，
即，
解得：，．
∴当时，t的值为秒或秒，
故答案为：D。
【分析】过点作于点，则，当运动时间为秒时，，，，由勾股定理，得：，即，解方程即可得出，．
17．如图，点在的边BC上，点是AC的中点，连结AD，DE，若AB，则CD的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AB2=AD2+BD2，
∴△ABC是直角三角形，AD⊥BC，
在直角三角形ADC中，点是AC的中点 ，
∴AC=2DE=4，
∴CD2=AC2-AD2=7，CD=。
故答案为：
【分析】根据勾股定理的逆定理看判定△ABC是直角三角形，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和勾股定理可求解.
18．在△ABC中，∠ACB=90°，D为△ABC内一点，连结BD，DC，延长DC至点E，使得CE=CD.
（1）如图1，延长BC至点F，使得CF=BC，连结AF，EF.若AF⊥EF，求证：BD⊥AF.
（2）连结AE，交BD的延长线于点H，连结CH，请根据题意补全图2.若，猜想线段CD与CH的数量关系，并证明.
【答案】（1）证明：在△BCD和△FCE中，
，
∴△BCD≌△FCE（SAS）；
∴∠DBC＝∠EFC，
∴BD∥EF，
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF；
（2）解：由题意补全图形如下：
用等式表示线段CD与CH的数量关系为：CD＝CH．
证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，如图3，
∵AC⊥BF，BC＝CF，
∴AB＝AF，
由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，
∵AB2＝AE2+BD2，
∴AF2＝AE2+EF2，
∴∠AEF＝90°，
∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，
∴∠DHE＝90°，
又∵CD＝CE，
∴CH＝CD＝CE．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）①根据“SAS”可证明△BCD≌△FCE即可；，
②由全等三角形的性质得出∠DBC＝∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；
（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论．
19．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，BC与AD交于点F，连结DC，EC，DB．
（1）若AC=2，EC=4，DC=．求∠ACD的度数．
（2）在(1)的条件下，直接写出DE的长为(只填结果，不用写出计算过程)
【答案】（1）解：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠EAC=∠BAD.
在△ACE和△ABD中，
∴DB=EC=4.
在中，
在△DBC中，
（2）解：
在中，由勾股定理，得
在中，由勾股定理，得ED=
故答案为.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ACE≌△ABD，可得DB=EC=4，在中，由勾股定理求出BC2，再利用勾股定理的逆定理可推出∠DCB=90°，利用角的和差即可求解；
（2）易推∠ABD=90°，利用勾股定理先求出AD，再求出ED的长即可.
20．（2024八上·大竹期末）若的三边分别为，下列给出的条件不能使得构成直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：
A、 ∵， ， ∴，∴是直角三角形，A不符合题意；
B、∵， ，∴，∴是直角三角形，B不符合题意；
C、∵， ，∴，∴不是直角三角形，C符合题意；
D、∵∴可设 则 ∴，∴∴是直角三角形，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形；三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理进行逐项计算分析即可.
1 / 1沪科版八年级下册勾股定理章节重难点题型梳理（一）
一、勾股定理面积证法
1．（2024八上·南宁期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
（1）如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法： ；方法： ；根据以上信息，可以得到的等式是 ；
（2）如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系；
（3）在（）的条件下，若，求斜边的值．
2．（2023八上·绍兴期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则下列关于，，的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·代县月考）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）结合图①，说明：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积；
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝ ．
4．（2023九上·自流井开学考）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC， 交BE于点P， 若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7．则S△CFP-S△AEP的值是（ ）
A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
5．（2022八上·长春期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容．
（1）请结合图①，写出完整的证明过程；
（2）如图②，在等腰直角三角形中，，，P是射线BC上一点，以为直角边在边的右侧作，使，．过点D作于点E，当时，则 ．
6．（2022八下·孝义期末）阅读下列材料，并完成相应任务．
运用“双求法”证明勾股定理勾股定理表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，它神秘而美妙，证法多样，是数学定理中证明方法最多的定理之一．勾股定理的证明过程多数采用的方法是“用两种不同的方法和含有a，b，c的式子表示同一个图形的面积”，由于同一个图形的面积相等，从而得到含a，b，c的恒等式，通过化简即可完成勾股定理的证明．数学上把这种方法称之为“双求法”． 下面是利用“双求法”证明勾股定理的一种思路： 如图1，将两个全等的直角三角形与如图摆放，其中，，，．连接BD，过点D作BC延长线的垂线，垂足为F，容易得出，用含a，b，c的式子表示出上面四个三角形的面积，就能完成勾股定理的证明．
（1）任务一：请你根据上述材料中的思路证明勾股定理；
（2）任务二：请你用“双求法”解决下列问题；
如图2，中，，CD是AB边上的高，若，，则 ．（直接写出答案）
二、折叠问题
7．如图，将长为4 cm、宽为2 cm的矩形纸片ABCD沿着EF翻折，使点A与点C重合，则折痕EF的长为 cm.
8．（2023八上·济南开学考）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是 （ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
9．（2023八上·乐平期中）如图，长方形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿BE向下折叠后得到△GBE，将BG延长线交直线 DC于点F.
（1）若点G恰好落在边BC上，则AD与AB的数量关系是 .
（2）如果点G在长方形ABCD的内部，如图所示.
①试探究线段BF，AB，DF之间的数量关系，并说明理由；
②若DF=DC，AD=8，求AB的长度.
三、蚂蚁爬行{最短路径}
10．（2018·东莞模拟）如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（ ）
A．(3 +8)cm B．10cm C．14cm D．无法确定
11．（2023八上·从江开学考）如图，一圆柱高，底面周长是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023九上·云南开学考）如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部处，则这条丝线的最小长度是 ．
13．（2024八上·大竹期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（ ）．（杯壁厚度不计）
A．20 B．25 C．30 D．40
14．（2023八上·期中）
（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；
（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程；
（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
四、勾股定理几何应用
15．（2024八上·长春净月高新技术产业开发期末）如图，阴影部分表示以的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，则长是（ ）
A． B． C．4 D．5
16．（2023九上·平定期中）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为．当时，t的值为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，点在的边BC上，点是AC的中点，连结AD，DE，若AB，则CD的长为 .
18．在△ABC中，∠ACB=90°，D为△ABC内一点，连结BD，DC，延长DC至点E，使得CE=CD.
（1）如图1，延长BC至点F，使得CF=BC，连结AF，EF.若AF⊥EF，求证：BD⊥AF.
（2）连结AE，交BD的延长线于点H，连结CH，请根据题意补全图2.若，猜想线段CD与CH的数量关系，并证明.
19．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，BC与AD交于点F，连结DC，EC，DB．
（1）若AC=2，EC=4，DC=．求∠ACD的度数．
（2）在(1)的条件下，直接写出DE的长为(只填结果，不用写出计算过程)
20．（2024八上·大竹期末）若的三边分别为，下列给出的条件不能使得构成直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
答案解析部分
1．【答案】（1）；；
（2）解：方法：，
方法：，
∴，
∴；
（3）解：把代入得，
，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：（1）用方法一得到大正方形面积为：
用方法二得到大正方形面积为：
得到的等式为：，
故答案为：，，；
【分析】（1）从整体看得到大正方形的边长，进而得到其面积；然后从组成来看即可得到大正方形的面积为四部分面积之和，进而即可得到等式；
（2）分别从整体看和从组成来看得到大正方形的面积的两种表示方法，整理后即可求解；
（3）把相关数值代入（2）得到的等式即可求出c的值.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：设，，则，
，，即，求得，
在中有，，求得，，，.
故答案为：D.
【分析】设，，等量关系求得，在利用勾股定理，可得，再结合得到，进而判断选项.
3．【答案】（1）证明：
即
（2）解：
设，则，
在中，由勾股定理得：
即
解得：
（3）6
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：（3）设正方形的面积为x，设其他八个全等的三角形每个的面积为y
，，
【分析】（1）结合图形，利用面积公式证明求解即可；
（2）先求出 ， 再利用勾股定理求出x=1，最后利用面积公式计算求解即可；
（3）根据题意先求出，再求出，最后求解即可。
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的证明；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，设AC交DG于点M，
∵AH=CF，∠AHM=∠CFP，∠PCF=∠MAH，
∴△CFP≌△AHM（AAS），
同理可证：△AEP≌△CGM，
S△CFP-S△AEP=S四边形EHMP=S四边形MGFP=S正EFGH，
设AE=x，BE=y，
∴x+y=7，x2+y2=28，EF=x-y，
∴2xy=21
∴EF2=（x-y）2=（x+y）2-4xy=49-42=7，
∴S△CFP-S△AEP=S正EFGH=×7=3.5；
故答案为：A.
【分析】设AC交DG于点M，证明△CFP≌△AHM（AAS），△AEP≌△CGM，从而得出S△CFP-S△AEP=S四边形EHMP=S四边形MGFP=S正EFGH，设AE=x，BE=y，
则x+y=7，x2+y2=28，EF=x-y，据此可推出2xy=21，从而求出EF2，即得正方形EFGH的面积，继而得解.
5．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）
【知识点】勾股定理的证明；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（2）如图②，过点A作于H，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】（1）先证出是等腰直角三角形，可得，再结合，可得，最后化简可得。
（2）过点A作于H，先利用“AAS”证明，可得，，再利用勾股定理求出BD的长即可。
6．【答案】（1）证明：∵BC=AE=a，AC=DE=b，AB=AD=c，，
∴，且，，
∴，
在中，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即是等腰直角三角形；
∵，，，
∴，
∴四边形CFDE是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的证明；矩形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：任务二：
∵∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形，且AB为斜边，
∵AC=12，BC=5，
∴，
∵CD是AB边上的高，
∴△ABC的面积表示为，
又∵在Rt△ABC中，
∴△ABC的面积表示为，
∴，即，
∵AB=13，AC=12，BC=5，
∴，
故答案为：．
【分析】任务一： 利用SSS证明△ABC≌△DAE，则DE⊥AC，BC⊥AC，根据面积间的和差关系结合三角形的面积公式可得S四边形ABCD=ab+b2，根据全等三角形的性质可得∠DAE=∠ABC，AD=AB=c，进而推出△ABD为等腰直角三角形，易得四边形CFDE是矩形，则DF=CE=b-a，则S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=c2+a(b-a)=c2+ab-a2，据此证明；
任务二：利用勾股定理可得AB的值，根据等面积法可得CD的值.
7．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，作，
，
四边形ABCD是矩形，
，，
四边形AGFD是矩形，
，
设，
，
由折叠的性质可得，，
，解得，
，
同理可得，
，
，
.
故答案为：.
【分析】作，易证四边形AGFD是矩形，由折叠的性质可得，，设，可得，利用勾股定理解得x值，进而得到DF、BE的长度，再通过矩形的性质得到FG、GE的长度，进而求得EF的长.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设CN=x，则DN=8-x，
EC=BC=4，由勾股定理可知EN2=EC2+NC2，即（8-x）2=16+x
解得：x=3.
故答案为：A.
【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，设CN=x，则DN=NE=8-x，CE=4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长。
9．【答案】（1）2AB=AD
（2）解：①BF=AB+DF，
理由如下：如图，连接EF，
由图形的翻折可知，BG=AB，EG=AE，∠BGE=∠BAE=90°，
∴∠EGF=∠EDG=90°，
∵点E是AD的中点，
∴AE=ED.
∴EG=ED，
又∵EF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF （HL），
∴DF=FG，
∴BF=BG+FG，即BF=AB+DF；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠C=90°，BC=AD，
∵根据折叠有AB=BG，
∴BG=DC，
∵DF=DC，
∴ CF=DC-DF=DC，
根据①的结论有GF=DF，
∴GF=DC，
∴ BF=BG+GF=DC+DC=DC，
∵∠C=90°，AD=BC=8，
∴在Rt△BCF中，有，
∴，
解得：DC=，
∴AB=，即AB的长度为；
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1） △ABE沿BE向下折叠后得到△GBE ，且 点G恰好落在边BC上 ，则四边形ABGE为矩形，∠ABE=∠EBG=45°=∠ABG=45°，则进一步得到四边形ABGE为正方形，故AB=AE=AD；
（2）①连接EF，由E为AD中点，易证Rt△EGF≌Rt△EDF ，等量代换后BF=BG+GF=AB+DF ；
②由 DF=DC ，得到GF=DC ，CF=DC ，根据翻折，得到CD=AB=BG，由①中结论可知，BF=AB+DF=DC+DC=DC，在Rt△ FBC中，BF=DC，CF=DC ，BC=AD=8，勾股定理解得AB=DC=。
10．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图(1)所示：
如图(2)所示：
由于
所以最短路径为10.
故答案为：B.
【分析】立体图形表面上的最短距离问题，应该展开成平面图形两点间的距离问题来研究，此题有两种情况，分别如题，然后根据勾股定理即可得出线段的长度，再比较大小即可得出答案。
11．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
如图，把圆柱展开得上图，最短距离为AB，底面周长为12cm，BC=8cm
则AC=6cm，在Rt△ABC中由勾股定理：AB=
故答案为：D.
【分析】把圆柱展开得到矩形展开图，很容易找到最短距离为AB，再根据勾股定理求解即可。
12．【答案】130cm
【知识点】勾股定理的应用；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，圆柱侧面展开图是矩形，
矩形的长为120cm，宽为圆柱的底面周长50cm，
根据勾股定理得：cm
根据两点之间线段最短，可得丝线的最小长度为130cm .
故答案为： 130cm .
【分析】将圆柱侧面展开可得到长为120cm，宽为圆柱的底面周长50cm的矩形，根据勾股定理即可求出AB的长，即为所求．
13．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：把玻璃杯的侧面展开， 如图， 把点A向上平移6cm到点C， 连接BC， 过点B作 于D，由已知得： 在 中， 由勾股定理得： ，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为25cm.
故答案为：B.
【分析】根据题意把圆柱展开，化曲为直，再利用勾股定理解题.
14．【答案】（1）解：由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：
（cm）．
（2）解：分三种情况可得：AG＝cm＞AG＝cm＞AG＝cm，
所以最短路程为cm；
（3）解：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12-3+AE＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝＝13（cm）．
【知识点】勾股定理的应用；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可．
（2）根据平面展开——最短距离问题求解。将长方体展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理解答；
（3）根据平面展开——最短距离问题求解。将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
15．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理、结合圆的面积公式求解。如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
16．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：过点作于点，则，如图所示
当运动时间为秒时，，，，
依题意得：，
即，
解得：，．
∴当时，t的值为秒或秒，
故答案为：D。
【分析】过点作于点，则，当运动时间为秒时，，，，由勾股定理，得：，即，解方程即可得出，．
17．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AB2=AD2+BD2，
∴△ABC是直角三角形，AD⊥BC，
在直角三角形ADC中，点是AC的中点 ，
∴AC=2DE=4，
∴CD2=AC2-AD2=7，CD=。
故答案为：
【分析】根据勾股定理的逆定理看判定△ABC是直角三角形，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和勾股定理可求解.
18．【答案】（1）证明：在△BCD和△FCE中，
，
∴△BCD≌△FCE（SAS）；
∴∠DBC＝∠EFC，
∴BD∥EF，
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF；
（2）解：由题意补全图形如下：
用等式表示线段CD与CH的数量关系为：CD＝CH．
证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，如图3，
∵AC⊥BF，BC＝CF，
∴AB＝AF，
由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，
∵AB2＝AE2+BD2，
∴AF2＝AE2+EF2，
∴∠AEF＝90°，
∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，
∴∠DHE＝90°，
又∵CD＝CE，
∴CH＝CD＝CE．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）①根据“SAS”可证明△BCD≌△FCE即可；，
②由全等三角形的性质得出∠DBC＝∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；
（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论．
19．【答案】（1）解：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠EAC=∠BAD.
在△ACE和△ABD中，
∴DB=EC=4.
在中，
在△DBC中，
（2）解：
在中，由勾股定理，得
在中，由勾股定理，得ED=
故答案为.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ACE≌△ABD，可得DB=EC=4，在中，由勾股定理求出BC2，再利用勾股定理的逆定理可推出∠DCB=90°，利用角的和差即可求解；
（2）易推∠ABD=90°，利用勾股定理先求出AD，再求出ED的长即可.
20．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：
A、 ∵， ， ∴，∴是直角三角形，A不符合题意；
B、∵， ，∴，∴是直角三角形，B不符合题意；
C、∵， ，∴，∴不是直角三角形，C符合题意；
D、∵∴可设 则 ∴，∴∴是直角三角形，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形；三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理进行逐项计算分析即可.
1 / 1
