石嘴山市重点中学2023-2024学年高二第二学期3月月考
数学试题
一、单选题（本小题满分40分，每题5分，共8题）
1. 若=，则=（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2．曲线在处的切线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
3．在的展开式中，的系数为（ ）
A． B．10 C． D．80
4．若函数 恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．把2个相同的红球 1个黄球 1个蓝球放到三个盒子里，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法种数为（ ）
A．18 B．20 C．21 D．24
6．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）．
A．一定存在极小值点 B．一定有最小值
C．不等式不一定有解 D．在上一定单调递增
7．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本小题满分18分，每题6分，共3题）
9．下列命题正确的有（ ）
A．已知函数在上可导，若，则
B．
C．已知函数，若，则
D．设函数的导函数为，且，则
10．下列说法正确的有（ ）
A．某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有12种
B．某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学，不同的选法有42种
C．两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，两人乘坐车厢的方法共有36种
D．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法有82种
11．已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数在上为增函数
B．是函数的极小值点
C．函数必有个零点
D．
三、填空题（本小题满分15分，每题5分，共3题）
12．把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有 种．
13．若函数在上的最小值为4，则 ．
14. 函数在点处的切线斜率为2，则的最小值是______.
四、解答题（本大题共77分，共5小题）
15. (13分) (1)由四个不同的数字1，2，4，组成无重复数字的三位数.
①若, 则可以组成多少个能被3整除的三位数？
②若，则可以组成多少个不同的三位数？
(2) 已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等，求 的值.
16. 已知函数，.
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
17. 如图，在四棱锥中，平面，，E是棱PB上一点．
(1)求证：平面平面PBC；
(2)若E是PB的中点，求平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值．
18. 已知曲线在处的切线过点．
(1)试求，满足的关系式；（用表示）
(2)讨论的单调性；
(3)证明：当时，．
19. 已知函数，其中实数，，．
(1)时，求函数的极值点；
(2)时，在上恒成立，求b的取值范围；
(3)证明：，且时，经过点作曲线的切线，则切线有三条．1 2 3 4 5 6 7 8
C D A D C A D C
14. 9
15. 答案：（1）① = 个 ②
=
(2) n=5
1 1 x
16. 解：（1）当 a = 1时， f (x) = lnx x + 3(x 0)，则 f (x) = 1= ，列表
x x
x (0,1) 1 (1,+ )
f (x) + 0
f (x) Z 2 ]
函数 f (x) 的极大值为 f （1）= 2，无极小值；
1 1 ax
（2）首先讨论函数 y = f (x) 的单调性， f (x) = a = (x 0) ，
x x
1
当 a 0 时，对 x (0, ), f (x) 0 ， f (x) 是增函数，
a
1
x ( ,+ ), f (x) 0， f (x) 是减函数，
a
1 1
即：当 a 0 时， f (x) 在 (0, ) 是增函数，在 ( ,+ )是减函数．
a a
1
因为 f (x) = lnx ax + 3 0恒成立，则 f (x) 的最大值为 f ( ) 0，
a
1 1
f ( ) = ln 1+ 3 = lna + 2 0，即 lna…2，故 a…e2 ．
a a
实数 a 的取值范围为[e2 ， + ) ．
17. 解：（1）因为 AB / /CD ，CD ⊥ AD ， PC = AB = 2CD = 2 ， BC = 2 ，
取 AB 中点M ，连接CM ，则CM ⊥ AB ，
1
CM = BC2 BM 2 =1，CM = AB ，
2
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所以 ACB = 90 ，即 BC ⊥ AC ，又 PC ⊥平面 ABCD ， AC 平面 ABCD ，
所以 PC ⊥ AC ，又 BCI PC =C， BC ， PC 平面 PBC ，
所以 AC ⊥平面 PBC ，又因为 AC 平面 EAC ，
所以平面 EAC ⊥平面 PBC ．
（2）以CM 为 x 轴，CD 为 y 轴，CP 为 z 轴建立空间直角坐标系：
1 1
因为 E 是 PB的中点，则C(0,0,0), A(1,1,0), B(1, 1,0), P(0,0,2), E( , ,1) ，
2 2
uuur uuur 1 1
所以CA = (1,1,0),CE = ( , ,1)，
2 2
r uuur
m CA = x + y = 0
r
设平面 EAC 的法向量为m = (x, y, z) ，则 r uuur 1 1 ，
m CE = x y + z = 0
2 2
令 x = 1，则 y = 1， z = 1，
r r
所以平面 EAC 的法向量为m = (1, 1, 1)，显然，平面 PDC 的法向量为 n = (1,0,0)，
r r
r r | m n | 1 3
设平面 PDC 和平面 EAC 的夹角为 ， 为锐角，则 cos =| cos m,n |= r r = = ，
| m || n | 3 3
3
所以平面 PDC 和平面 EAC 的夹角的余弦值为 ．
3
18. 【详解】（1）
由 f (x) = aex x + b ，得 f (x) = aex 1，则 f (0) = a +b，f (0) = a 1，
故曲线 f ( x)在 x = 0处的切线方程为 y a b = (a 1)(x 0)，即 y = (a 1)x+a+b，
由题意得a2 +2a 1= a 1+a+b，即a2 = b，
即a，b 满足的关系式为b = a2 ；
（2）
由（1）知 f (x) = aex x + a2 x，定义域为 R， f (x) = ae 1，
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{#{QQABIQCQggCAAIBAARgCEQVCCAKQkACAAIoOgAAIsAAACRNABAA=}#}
当 a 0时， f ( x) 0， f ( x)在 R 上单调递减；
x
当 a 0时，由 f ( x) = ae 1= 0，得 x = lna，
当 x ln a时， f ( x) 0， f ( x)在 ( , ln a)上单调递减；
当 x ln a 时， f ( x) 0， f ( x)在 ( ln a,+ )上单调递增；
综上，当a 0时， f ( x)在 R 上单调递减；
当 a 0时， f ( x)在 ( , ln a)上单调递减，在 ( ln a,+ )上单调递增；
ln a
（3）证明：由（2）得 f (x) = f ( ln a) = a (e + a)+ ln a =1+ a2 + ln amin ，
3 3 1
要证明 f (x) 2ln a + 2，即证1+ a + ln a 2ln a + 2，即证a ln a 0，
2 2 2
2 1 1 2a
2 1
令 g(a) = a ln a , (a 0)，则 g (a) = 2a = ，
2 a a
2 2令 g (a) 0，则0 a ，令 g (a) 0，则a ，
2 2
2 2
故 g(a)在 (0, ) 上单调递减，在 ( ,+ ) 上单调递增，
2 2
2
2 2 1 2
故 g (a) = g = ln = ln 2 0， min 2 2 2 2
g(a) = a2
1
即 ln a 0恒成立，
2
3
即当a 0时， f (x) 2ln a + .
2
19. 解：（1）因为b = 3a ，所以 f (x) = ax3 3ax2 + c ，定义域为： R ．
则 f (x) = 3ax2 6ax = 3ax(x 2)，
因为 a 0 ，所以 f (x) 0 x 0或 x 2 ， f (x) 0 0 x 2，
所以 f (x) 在 ( ,0)， (2,+ )上单调递增，在 (0,2) 上单调递减，
所以 0 是 f (x) 的极大值点，2 是 f (x) 的极小值点．
（2）当 3 2a = 1时， f (x) = x bx + c，
所以 x2lnx…x3 bx2 2x，又因为 x [3， 4]，
2
所以b…(x lnx ) ， x [3， 4]， max
x
答案第 3 页，共 4 页
{#{QQABIQCQggCAAIBAARgCEQVCCAKQkACAAIoOgAAIsAAACRNABAA=}#}
2
令 h(x) = x lnx ， x [3， 4]，
x
1 2 7(x ) +
1 2 x2 x + 2
h (x) =1 + = = 2 4 0 ，
x x2 x2 x2
所以 h(x) 在 [3， 4]上单调递增，
1 7
所以 h(x)max = h(4) = 4 ln4 = ln4，
2 2
7
所以b… ln4．
2
（ 3 2 23）证明：因为b = 3a ，所以 f (x) = ax 3ax + c ，则 f (x) = 3ax 6ax ，
设切点为 (x ， y )，则 f (x0 ) = 3ax
2
0 6ax0 ， f (x0 ) = ax
3
0 3ax
2
0 0 0
+ c ，
则切线方程为 y (ax30 3ax
2 2
0 + c) = (3ax0 6ax0 )(x x0 )，
即： y = (3ax20 6ax
3 2
0 )x 2ax0 + 3ax0 + c ，
将点 P(2,a) 代入切线方程得： a = 2ax3 + 9ax20 0 12ax0 + c，
c
即： 2x3 2 ， 0 9x0 +12x0 +1=
a
令 g(x) = 2x3 9x2 +12x +1，则 g (x) = 6x2 18x +12，
g (x) 0 x 1或 x 2 ， g (x) 0 1 x 2 ，
所以 g(x)在 ( ,1)， (2,+ )上单调递增，在 (1, 2)上单调递减，
当 x = 1时， g(x)有极大值为 g （1） = 2 9 +12 +1= 6，
当 x = 2 时， g(x)有极小值为 g （2） = 2 8 9 4 + 24 +1= 5，
c
又因为5a c 6a ， a 0 ，所以5 6，
a
c
所以 y = 与 y = g(x) 有三个不同的交点．
a
即：方程 2x3
c
0 9x
2
0 +12x0 +1= 有三个不同的根．
a
所以b = 3a 且5a c 6a 时，经过点 P(2,a) 作曲线 y = f (x) 的切线，则切线有三条．
答案第 4 页，共 4 页
{#{QQABIQCQggCAAIBAARgCEQVCCAKQkACAAIoOgAAIsAAACRNABAA=}#}
