福建省泉州市安溪蓝溪中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（含部分答案）

安溪蓝溪中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．将10封信全部投入3个不同的邮箱，则所有的投放方法数为（　　）
A．310 B． C． D．
2．若函数在处可导，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．4名学生和3名教师站成一排照相，任何两名教师都不相邻的不同排法的种数是（　　）
A． B． C． D．
4．函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
6．有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（ ）
A．240 B．360 C．480 D．720
7．已知函数在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则（ ）
A．－12 B．12 C．－26 D．26
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的
9．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023下·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递减
C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值
11．（2023下·浙江温州·高二校联考期中）已知函数，则（ ）
A．成立 B．是上的减函数
C．为的极值点 D．只有一个零点
12．已知，则（ ）
A． B．
C． D．展开式中二项式系数最大的项为第项
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．二项式的展开式中，含的项的系数是___________.
14．用排成无重复数字的三位偶数的个数为______
15．烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为，加热后的温度函数（是常数，表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是 .
16．函数有三个零点，则实数m的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．从5名男生和3名女生中，选出3人，分别求符合下列条件的选法数．
（1）A，B必须被选出；
（2）至少有2名女生被选出；
（3）让选出的3人分别担任体育委员、文娱委员、学习委员等3个不同职务，但体育委员由男生担任．
18．已知在的展开式中第6项为常数项．
（1）求展开式中所有项的二项式系数和；
（2）求展开式中所有项的系数和；
（3）求展开式中所有的有理项．
19．已知函数，且.
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间.
20．已知函数在时取得极大值4.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数在区间上的最值.
21．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)对于，使得，求实数的取值范围．
22.已知函数．
(1)若曲线在处的切线方程为，求，的值；
(2)若函数，且恰有2个不同的零点，求实数的取值范围．
参考答案：
17．【解答】解：（1）根据题意，先选出A，B，再从其他6个人中再选1人即可，共有＝6种选法；
（2）从8人中任选3人，有种选法，没有女学生入选，即全选男生的情况有种情况，
只有1名女生入选，即选取1女4男，有种选法，
故所有符合条件选法数为：＝16种；
（3）选出一个男生担任体育班委，有种情况，
再从剩下的7人中任取2人担任其他班委，有种情况，
用分步计数原理可得到所有方法总数为：＝210种．
18．【解答】解：因为在的展开式中第6项为常数项，所以为常数项，所以n＝10，
所以（1）展开式中所有项的二项式系数和为210；
（2）令x＝1，得到展开式中所有项的系数和为；
（3）展开式中通项为，令为整数，0≤r≤10，得到r＝2，5，8，所以展开式中所有的有理项有，，．
19．【答案】(1)
(2)单调递增区间为，单调递减区间为
【分析】（1）由已知可得，根据已知求出，代入可得.根据导数的几何意义，求出斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案；
（2）由（1）知，.解以及，即可得出函数的单调区间.
【详解】（1）由已知可得，
所以，解得，
所以，所以.
根据导数的几何意义可知函数的图象在点处的切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）由（1）知，.
令，得或.解可得，或，
所以在上单调递增，在上单调递增；
解可得，，所以在上单调递减.
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.
20．(1)；(2)最大值为4，,最小值为0.
【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值；
（2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值.
【详解】（1），由题意得，解得.
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值.所以.
（2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.
21．【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数符号确定区间单调性；
（2）问题化为对恒成立，讨论、求参数范围.
【详解】（1）由题设且，
当时在上递减；当时，令，
当时在区间上递减；
当时在上递增．
所以当时，的减区间为，无增区间；
当时，的增区间为，减区间为.
（2）由题设知对恒成立．
当时，此时，不合题设，舍去．
当时，在上递增，只需符合．综上：．
22.【分析】（1）利用函数的导数求解切线方程，比较系数，即可求解；
（2）求出的导函数，根据恰有2个不同的零点，利用同构转化为方程恰有两个不同的解，构造新的函数，利用导数判断函数的单调性，进而得到的范围.
【详解】（1）由题知，，，
，曲线在处的切线方程为，即，
解得；
（2）由题知，，
恰有2个不同的零点，即恰有2个不同的解，
即恰有2个不同的解.
设，易知单调递增，恰有2个不同的解，
（解法一）设，，则恰有2个不同的零点，
，当时，，当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，
要使恰有2个不同的零点，则，即，
当时，，．
设，则，令，得，
在区间上单调递增，在区间上单调递增，
当时，，
在区间和区间上各有1个零点，实数的取值范围为．
（解法二）即恰有2个不同的解．
设，，则，
当时，，当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，．
又当时，，当时，，
若恰有2个不同的解，则，得，
实数的取值范围为．