数学参考答案
z1 z2 a 4 3 b i 3 b 0 b 3
1．A 【详解】 ，由题 a b 7
z1 z2 a 4 3 b i a 4 0 a 4
2．B 【详解】由题a与b反向，则 a b 0
a b 1 3 2 4 5
3．C 【详解】b a a b 3,4 ，则 cos a,b a b 12 2 22 3 42 5
1 z 2i 1 2i 1 1 2i 3 4i
4．B 【详解】 2i z z
3 4i
4
1 z 1 2i 1 2i ，虚部b 1 2i 5 5 5
5．D 【详解】 c2 a b 2 6 a2 b2 c2 2ab 6 2ab cos ab 6
3
S 1 ab sinC 1 3 3 3故 ABC 6
2 2 2 2
AB AC
6．A【详解】 表示过 BAC平分线所在向量，AB sinB AC sinC，AP3 BC 0，则 P ,P ,P| AB | | AC | 1 2 3
的轨迹一定经过△ABC的内心，重心，垂心
15 1 a b b7．C 【详解】 cos A sin A ，由正弦定理 sin B
4 4 sin A sin B 4
b 1
△ ABC 有唯一解 0, 1 b 0,1 4 ，故整数b的值构成的集合为 1,4 4 4
8 bcos A a cosB c 4 3．D 【详解】对于 A， 2R
sinC sinC 3
对于 B，△ ABC周长无最小值
cos 2 A
cos 2 cos A sin 2 2
对于 C， cos B sin A
3 3 3 1 3
， A 0, tan A 3
cos A cos A cos A 2 2
tan A 0, , 3 cos B , 2 1 , 故 ，所以 的取值范围为cos A 2
b 4 3 b 4 3 sin A
对于 D，由正弦定理得，则
sin A 3 3
3
3
则 AC AB 2bcosA 2 4 3 sin A 4 3
3 3
cosA sin 2A 2
3 3
0 A 2 2A 5 因为 ，则当 2A ，
3 3 3 3 3 2
AC AB 4 3 2
max 3
9．【答案】AC
【详解】b2 a2 c2 2bc cosA 4 6 b2 2 6b 2 b2 2 3b 2 0 b 3 1
2
S 1 1 2 3 3所以 ABC bc sin A 3 1 6 2 2 2 2
10．【答案】ACD
【详解】对于 A，设 z a bi，则 z z z 2 z 2 a 2 b 2
对于 B， 1 3i 1 3i q q 10
对于 C， z i 1，由复数几何意义得 z 的最大值为2
对于 D， x3 1 x 1 x2 x 1 0 2 1 0 1 3 i2 2
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABAQKQoggAAoAAABhCAQGyCAOQkACACAoOwBAAoAAAyBNABAA=}#}
1 3 674
当 i时， 2024 3 2 2 1 1 3 i 2 2 2 2
11【答案】ABD
【详解】对于 A， A B，可得a b，由正弦定理得 sin A sin B，由单调性 cos A cos B
tan(A B) tan A tan B对于 B， tanC tan A tan B tanC tan A tan B tanC
1 tan A tan B
1
对于C，若 A为△ABC的最小内角，则0 A cos A 1
3 2
2 2 2 c 8t
对于D， a :b : c 3: 2 : 4，设 a 3t,b 2t,c 4t ，cosC a b c 1 ，R
2ab 4 2sinC 15
S 1 ab sinC 3 15 t 2 r 2s 15
R 16
， t，故
2 4 l 6 r 5
12【答案】ACD
a b a
b | a | cos n
1 b a b a |b | cos n n n【详解】设 2 ， | b | m a 2 | a
2 ，相乘得 cos2 1 2
b | m m
2
0,
π 1
cos
2 1 1 n n，即 1 2
2 1，由 a b 0 n1 n2 0 4 2 2 m
1
对于 A，当m 1时， n 1n2 1，故n1 n2 1，所以2 a b b a 1 1 2
1 n n
对于 B，当m 2时， 1 2 1 2 n1n2 4，故 n1 2,3,4
，即a b 1,
3 ,2
2 4 2
1 n n 9 9 3
对于 C，当m 3时， 1 2 1 n n 9 n2
2 9 2 1 2
，即 1 n1n2 n n 3
2
1 2 1
即3 n1 9
，所以a b的取值个数最多为9 3 1 7个
D 1 n n 2024
2
对于 ，当m 2024时， 1 2 2
2 20242
1 n1n2 20242
2
n2 n n 2024 n 2024 n 1432 1432 n 20242即 1 1 2 1 1 ，即 1
2 2
所以a b的取值个数最多为20242 1432 1 20242 1431个
13【答案】G 2,3 / 2,3
x 1 1 x 2
【详解】设G x, y ，由题OH 3OG 3,3 3 x 1, y 2 y 2 1 y 3
14【答案】 m m 2
【详解】 AB 3,m 1 ，由题 A, B,C不共线，则m 1 3(m 1) m 2
15【答案】2
1 【详解】连接 EB， EC，EF EB EC 1 EA AB 2 2 ED DC
1
AB DC2
1 2 1 由EF AB AB AB DC 2 AB DC 11 AB DC 3 2 2 4 2
1 2 1 2 2故 EF AB DC AB 2AB DC DC 22 2
16【答案】63
【详解】在△PAB中，PB AB 130，在△ PBC 中，由正弦定理得：
PB BC PB sin 3 sin(2 ) sin 2 cos cos 2 sin 130
3 4sin 2
sin( 3 ) sin BC sin sin sin 520
11
3 4sin 2 11 sin 1 ，在 Rt△ PCH 中，PH PB sin 2 130 2 1 15 65 15 63
4 4 4 4 4
31 7 1 1
17【答案】（1） （2） , , 25 11 3 3
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABAQKQoggAAoAAABhCAQGyCAOQkACACAoOwBAAoAAAyBNABAA=}#}
（1）解法一：2a mb 4 3m, 2 2m 3a ， 2b 12,7 ........................3分
2a mb 3a 2b 12 4 3m 7 2 2m 0 m 31 ........................6分
25
解法二：因为 a 2,1 ，b 3,2 a ，所以 b 8， a 5， b 13
2a mb 3a 2b 30 8 4 3m 26m 0 m 31
25
（2）解法一：a kb 2 3k ,1 2k ，3a b 3,1
由题 a kb 7 3a b 3 2 3k 1 2k 11k 7 0 k ........................9分11
1
由 a kb与3a b不同向，可得 2 3k 3 1 2k k .......................11分3
7 , 1 综上，实数 k的范围为
1 , .......................12分
11 3 3
解法二：a b 8， a 5， b 13
由题 a kb 3a b 3a 2 3k 1 a 7 b kb 2 0 15 8 3k 1 13k 0 k 11
1 1
当 a kb与3a b同向时，2 3k 3 1 2k ，解得 k ，故 k 3 3
7 , 1 1综上，实数 k的范围为 ,
11 3 3
18【答案】（1）m 5 （2） 2
（1） z m2 4m 5 m2 3m 2 i ........................3分
m2 4m 5 0
因为 z为纯虚数，所以 m 52 或m 1（舍），故m 5 ........................6分
m 3m 2 0
（2 2 2） a tan i a 2 i 0 a a tan 2 a 1 i 0
a2 a tan 2 0
所以 ，解得 a 1， tan 1 ........................10分
a 1 0
a sin2 cos2 tan2 1
2 ........................13分
sin cos sin cos tan
19 1 2 4 19【答案】（ ） BC （ ）
15
3sin B sin B 3 sin Bcos cos Bsin （1） sin Bcos
cos Bsin
6 3 6 6 3 3
2
sin B 3 cos B 0，解得 tan B 3 ，又0 B ，故 B .....................3分3
或 3sin B
2
sin B 3sin
B cos B 2sin
B
0 B
6 3 6 6 6 6 3 BC sinC
所以投影向量为 AB cos AB,BC cos
2 BC BCBC sin A 3 .....................6分
2 1 3 3 15 3（ ） S ABC ac sinB c c 5 ......................8分△ 2 4 4
由 S△ABC S△ABD S△BCD 可得
15 3 1
c BD sin 1 a BD sin 3 a 15 c BD 2 3BD BD .....................10分
4 2 3 2 3 4 8
2
BE 1 BA 1 1 BC BE BA BC 25 9 15 19 .....................12分2 2 2 2
BE 4 19
所以 ......................13分
BD 15
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABAQKQoggAAoAAABhCAQGyCAOQkACACAoOwBAAoAAAyBNABAA=}#}
3 3
20【答案】（1） A ，B ，C （2）
10 10 5 8 2 12
1 sinA cos B
（1） cosAcosB sinBsinA sinB
cosA sin B
即 cos A B sinB cosC sinB 0 ，故 cosC 0，即 C ，0 B
2 2
π
由 cosC sinB得 sin C sinB，所以C B或C B （舍去） ..................3分
2 2 2
c2 a2 ab c2 a2 ab a2 b2 2ab cosC a b 2a cosC
所以 sin A sin B 2sin AcosC sin A C 2sin AcosC sin A sin C A
故 A C A或 A C A （舍），所以C 2A ...................6分
A 所以 2A 2A A
3
B C 3 ， ， ...................7分
2 10 10 5
（2）由（1）知，C B ， A 2B，由正弦定理得
2 2
a b 2 2sin 2B
b 2sinB
sin 2B sinB sin B
2
a ，故 ，
sin B
................9分
2 2
sin B 2
2
4sin 2B sinB cos B 2 2
CA CB abcosC 2 2
4 2cos B 1 cos B 1
即 2 ..............11分sin2 B
cos B
2
4 2cos2B 1 3
1
2 4
2
cos B
2 2cos B 2 3 8 2 12 ................13分
cos B
当且仅当 2cos2B
1
，cos2B 22 时取等号 ...............14分cos B 2
所以最小值为8 2 12 ...............15分
sin sin( )
21【答案】（1）388 （2）① PH ② 280
sin( )
4
（1）设PH x，则HA HB x，HC x，设 AB a，则 BC 2a ..................3分
3
a x2 4a2 16 x2
在△HBA中， cos HBA ，在△HBC中， cos HBC 9 ..................5分2x 2 x 2a
x2 4a2 16 x2
由 cos HBA cos HBC 0 a 9 0 x 3 42 a ...................7分
2x 2 x 2a 7
a 28 5 140 x 3 42由题 ，故 140 3 6.45 140 387
7 7
所以 PH1 387 1 388（米） ....................8分
（2）①在△ PAB中， PAB ， APB ， ABP ..................10分
AB AP sin( )
由正弦定理得： AP
sin( ) sin( ) sin( ) ..................12分
sin sin( )
在直角△ PAH 中，PH AP sin sin( ) ..................14分
3 133
sin sin( ) sin 36.7 sin 40.6 205
②PH 5 20557 280（米） ..................17分sin( ) sin16.5
200
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABAQKQoggAAoAAABhCAQGyCAOQkACACAoOwBAAoAAAyBNABAA=}#}郑州市部分学校2023-2024学年高一下学期3月月考
数 学
（120分钟 150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则
A． B． C． D．
2．设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是
A． B． C． D．
3．已知向量，，则等于
A． B． C． D．
4．已知复数满足，则的虚部为
A． B． C． D．
5．在中，若，且，则的面积为
A． B． C． D．
6．在中，满足，
，则的轨迹一定经过的
A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心
C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心
7．在中，若，，，三角形有唯一解，则整数构成的集合为
A． B． C． D．
8．已知外接圆半径为，，为锐角，则下列正确的是
A． B．周长的最小值为
C．的取值范围为 D．的最大值为
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．在中，，，，则的面积可以为
A． B． C． D．
10．已知为虚数单位，则下列说法正确的是
A．若复数的共轭复数为，则
B．若是关于的方程的一个根，则
C．若复数满足，则的最大值为
D．已知是方程在复数域的一个根，则
11．在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是
A．若，则，
B．若为斜三角形，则
C．若为的最小内角，则
D．若，外接圆半径为，内切圆半径为，则
12． 对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量，满足，与的夹角，且和都在集合中．给出以下命题，其中一定正确的是
A．当时，则
B．当时，则
C．当时，则的取值个数最多为个
D．当时，则的取值个数最多为个
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．数学家欧拉发现任意三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直线上，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，后人称这条线为欧拉线，已知外心，垂心，则重心的坐标为
14．在平面直角坐标系中，，，，若三点能构成三角形，则实数的取值范围满足的集合为
15．在平面凸四边形中，，分别为，的中点. 若，，且，则
16．郑州二七塔是为了纪念二七大罢工而修建，是中国建筑独特的仿古联体双塔，小米同学为了测量二七塔的塔高，在塔底所在的水平面内取点，测得塔顶的仰角为，前进米后到达点，测得塔顶的仰角为，再前进米后到达点，测得塔顶的仰角为，则塔高 米.（参考数据：，最终结果保留整数，即结果精确到）
四、解答题：本题共5小题，共70分．其中第17题12分，第18, 19题每题13分，第20题15分，第21题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在平面直角坐标系中，已知，
（1）当实数为何值时，与垂直；
（2）若与所成的角为锐角，求实数的取值范围.
18．（1）若复数为纯虚数，求的值；
（2）已知的方程有实数根，求的值.
19．的内角所对的边分别为，且
（1）若，求在上的投影向量；（用向量表示）
（2）若，，为的平分线，为中线，求的值.
20．在斜中，角所对的边分别为，已知
（1）若，求，，的值；
（2）若，求的最小值.
21．郑州市中原福塔的塔座为鼎，寓意为鼎立中原，从上空俯瞰如一朵盛开的梅花，寓意花开五福，福泽中原，它是美学与建筑的完美融合。绿地中心千玺广场“大玉米”号称中原第一高楼，璀璨繁华的外表下包含浓郁的易学设计理念，流露出馥郁的古香。这两座塔都彰显了中华文化丰富的内涵与深厚的底蕴。小米同学积极开展数学研究性学习，用以下方法测量两座塔的高度。
（1）为测量中原福塔高度，小米选择视野开阔的航海东路上一条水平基线，使共线，在三点用测角仪测得的仰角分别为，其中测角仪的高度为米，为了测量距离，小米骑共享单车，速度为，从到耗时，从到耗时为原来的倍，求塔高.（参考数据：取，）
（2）为测量千玺广场“大玉米”高度，小米选择一条水平基线，使三点共线，在两点用测角仪测得的仰角分别为，，在处测得的仰角为，测角仪高度忽略不计。小米使用智能手机运动测距功能，从河南艺术中心音乐厅入口台阶处运动到水景露天剧场的处，测得距离.
①试用，，，表示塔高；
②若，，，米，求千玺广场“大玉米”的实际高度.
（参考数据：取，，）
