人教版八年级下册18.1.2 平行四边形的判定 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下册18.1.2 平行四边形的判定 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 219.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-31 08:00:04 | ||
图片预览
文档简介
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
第2课时 平行四边形的判定
一、选择题
1.在四边形ABCD中，AB＝CD，则下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A.AD∥BC B.∠A＋∠C＝180° C.AB∥CD D.∠A＋∠B＝180°
2.下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.1∶2∶3∶4 B.2∶2∶3∶3 C.2∶3∶2∶3 D.2∶3∶3∶2
3.下列说法正确的是( )
A.对角线相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
4.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，若∠B＝55°，则∠D的度数是( )
A.145° B.125° C.55° D.35°
5.在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE.若∠B＝50°，则∠ADE＝( )
A.40° B.50° C.90° D.130°
6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A.AB∥DC，AD∥BC B.AB∥DC，∠DAB＝∠DCB
C.AO＝CO，AB＝DC D.AB∥DC，DO＝BO
7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，EF＝AG，则四边形AEFG的周长是( )
A.8 B.16 C.24 D.32
8.如图，在四边形ABCD中，P，R分别是BC，DC上的点，E，F分别是AP，PR的中点.当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，线段EF的长( )
A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.不变 D.不能确定
9.如图，在由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位长度.定义：以点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形.图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数是( )
A.6 B.7 C.9 D.11
二、填空题
10.如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形.理是 .
11.如图，在四边形ABCD中，AO＝OC，BD＝12 cm，则当OB＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形.
12.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，AC＝6，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF.若四边形ACFD的面积等于6，则平移的距离为 .
13.在平面直角坐标系中，平行四边形的其中三个顶点的坐标分别为(0，0)，(3，0)，(4，2)，则第四个顶点的坐标是 .
14.如图，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC＝ .
15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，N是BC边上一点，M为AB边上的动点，且D，E分别为CN，MN的中点，则DE长度的最小值是 .
三、解答题
16.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.
17.如图，已知△ABC，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形：△ABE，△BCD，△ACF.求证：四边形DEAF是平行四边形.
18.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD及等边△ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB于点F，连接DF.求证：
(1)AC＝EF；
(2)四边形ADFE是平行四边形.
19.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在OB和OD上，且BE＝DF.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若∠AEB＝90°，OE＝3，且∠EAF＝45°，求线段AC的长.
20.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，F是边BC的中点.
(1)如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝(AC－AB)；
(2)如图2，试猜想线段AB，AC，EF的数量关系，并证明.
图1 图2
21.选做题：请在A，B两题中任选一题作答.
A：如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，BD⊥AC于点D，且BD＝16 cm.点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4 cm/s；同时点P由点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1 cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t s(0＜t＜5).当t为何值时，以P，Q，D，M为顶点的四边形是平行四边形？
B：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝24 cm，DC＝10 cm，点P自点D向点C以1 cm/s的速度运动，到点C停止.点Q自点B向点A以3 cm/s的速度运动，到点A停止，点P，Q同时出发.试求经过多长时间后，P，Q两点和四边形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形.我选做 题(填A或B)，并写出完整的答题过程.
1
参考答案
一、选择题
1.在四边形ABCD中，AB＝CD，则下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是( C )
A.AD∥BC B.∠A＋∠C＝180° C.AB∥CD D.∠A＋∠B＝180°
2.下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是( C )
A.1∶2∶3∶4 B.2∶2∶3∶3 C.2∶3∶2∶3 D.2∶3∶3∶2
3.下列说法正确的是( B )
A.对角线相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
4.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，若∠B＝55°，则∠D的度数是( C )
A.145° B.125° C.55° D.35°
5.在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE.若∠B＝50°，则∠ADE＝( B )
A.40° B.50° C.90° D.130°
6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( C )
A.AB∥DC，AD∥BC B.AB∥DC，∠DAB＝∠DCB
C.AO＝CO，AB＝DC D.AB∥DC，DO＝BO
7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，EF＝AG，则四边形AEFG的周长是( B )
A.8 B.16 C.24 D.32
8.如图，在四边形ABCD中，P，R分别是BC，DC上的点，E，F分别是AP，PR的中点.当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，线段EF的长( C )
A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.不变 D.不能确定
9.如图，在由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位长度.定义：以点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形.图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数是( D )
A.6 B.7 C.9 D.11
二、填空题
10.如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形.理是 .
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
11.如图，在四边形ABCD中，AO＝OC，BD＝12 cm，则当OB＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形.
【答案】6
12.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，AC＝6，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF.若四边形ACFD的面积等于6，则平移的距离为 .
【答案】2
13.在平面直角坐标系中，平行四边形的其中三个顶点的坐标分别为(0，0)，(3，0)，(4，2)，则第四个顶点的坐标是 .
【答案】(1，2)或(7，2)或(－1，－2)
14.如图，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC＝ .
【答案】
提示：取CE中点F，连接DF.
15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，N是BC边上一点，M为AB边上的动点，且D，E分别为CN，MN的中点，则DE长度的最小值是 .
【答案】
三、解答题
16.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：易证△BEO≌△DFO，∴OE＝OF.
∵AE＝CF，∴OA＝OC.
∵OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形.
17.如图，已知△ABC，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形：△ABE，△BCD，△ACF.求证：四边形DEAF是平行四边形.
证明：∵△ABE，△BCD都是等边三角形，
∴BE＝AB，BD＝BC，∠EBA＝∠DBC＝60°，
∴∠DBE＝60°－∠DBA，∠ABC＝60°－∠DBA，
∴∠DBE＝∠CBA.
易证△DBE≌△CBA，∴DE＝AC.
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF，∴DE＝AF.
同理可得△CBA≌△CDF，∴DF＝AB＝AE.
∵DE＝AF，AE＝DF，
∴四边形DEAF是平行四边形.
18.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD及等边△ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB于点F，连接DF.求证：
(1)AC＝EF；
(2)四边形ADFE是平行四边形.
证明：(1)∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴∠AEF＝∠AEB＝30°，AE＝AB，∠EFA＝90°.
易证△AEF≌△BAC，∴AC＝EF.
(2)∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠DAC＝60°.
由(1)知AC＝EF，∴AD＝EF.
∵∠BAC＝30°，∴∠FAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°.
∵∠EFA＝90°，∴AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形.
19.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在OB和OD上，且BE＝DF.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若∠AEB＝90°，OE＝3，且∠EAF＝45°，求线段AC的长.
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝DF，∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF.
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)由(1)知OF＝OE＝3，OA＝OC.
∵∠AEB＝90°，∠EAF＝45°，
∴EA＝EF＝2OE＝6，
∴OA＝＝3，
∴AC＝2OA＝6.
20.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，F是边BC的中点.
(1)如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝(AC－AB)；
(2)如图2，试猜想线段AB，AC，EF的数量关系，并证明.
图1 图2
解：(1)∵AE⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝90°.
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠ABE＝∠ADE，∴AB＝AD.
∵AE⊥BD，∴BE＝DE.
∵BF＝FC，
∴EF＝(AC－AD)＝(AC－AB).
(2)EF＝(AB－AC). 证明：延长AC，BE交于点D(过程略).
21.选做题：请在A，B两题中任选一题作答.
A：如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，BD⊥AC于点D，且BD＝16 cm.点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4 cm/s；同时点P由点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1 cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t s(0＜t＜5).当t为何值时，以P，Q，D，M为顶点的四边形是平行四边形？
B：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝24 cm，DC＝10 cm，点P自点D向点C以1 cm/s的速度运动，到点C停止.点Q自点B向点A以3 cm/s的速度运动，到点A停止，点P，Q同时出发.试求经过多长时间后，P，Q两点和四边形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形.我选做 题(填A或B)，并写出完整的答题过程.
A：解：当t＝或t＝4时，以P，Q，D，M为顶点的四边形是平行四边形.
B：解：①设经过x s后，四边形PQAD是平行四边形.
根据题意，得x＝24－3x，解得x＝6，
∴经过6 s后，四边形PQAD是平行四边形.
②设经过y s后，四边形PQBC是平行四边形.
根据题意，得10－y＝3y，解得y＝2.5，
∴经过2.5 s后，四边形PQBC是平行四边形.
③设经过z s后，四边形PAQC是平行四边形.
根据题意，得10－z＝24－3z，解得z＝7，
∴经过7 s后，四边形PAQC是平行四边形.
综上所述，经过2.5 s或6 s或7 s后，P，Q两点和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形.
18.1 平行四边形
第2课时 平行四边形的判定
一、选择题
1.在四边形ABCD中，AB＝CD，则下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A.AD∥BC B.∠A＋∠C＝180° C.AB∥CD D.∠A＋∠B＝180°
2.下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.1∶2∶3∶4 B.2∶2∶3∶3 C.2∶3∶2∶3 D.2∶3∶3∶2
3.下列说法正确的是( )
A.对角线相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
4.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，若∠B＝55°，则∠D的度数是( )
A.145° B.125° C.55° D.35°
5.在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE.若∠B＝50°，则∠ADE＝( )
A.40° B.50° C.90° D.130°
6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A.AB∥DC，AD∥BC B.AB∥DC，∠DAB＝∠DCB
C.AO＝CO，AB＝DC D.AB∥DC，DO＝BO
7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，EF＝AG，则四边形AEFG的周长是( )
A.8 B.16 C.24 D.32
8.如图，在四边形ABCD中，P，R分别是BC，DC上的点，E，F分别是AP，PR的中点.当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，线段EF的长( )
A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.不变 D.不能确定
9.如图，在由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位长度.定义：以点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形.图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数是( )
A.6 B.7 C.9 D.11
二、填空题
10.如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形.理是 .
11.如图，在四边形ABCD中，AO＝OC，BD＝12 cm，则当OB＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形.
12.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，AC＝6，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF.若四边形ACFD的面积等于6，则平移的距离为 .
13.在平面直角坐标系中，平行四边形的其中三个顶点的坐标分别为(0，0)，(3，0)，(4，2)，则第四个顶点的坐标是 .
14.如图，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC＝ .
15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，N是BC边上一点，M为AB边上的动点，且D，E分别为CN，MN的中点，则DE长度的最小值是 .
三、解答题
16.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.
17.如图，已知△ABC，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形：△ABE，△BCD，△ACF.求证：四边形DEAF是平行四边形.
18.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD及等边△ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB于点F，连接DF.求证：
(1)AC＝EF；
(2)四边形ADFE是平行四边形.
19.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在OB和OD上，且BE＝DF.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若∠AEB＝90°，OE＝3，且∠EAF＝45°，求线段AC的长.
20.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，F是边BC的中点.
(1)如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝(AC－AB)；
(2)如图2，试猜想线段AB，AC，EF的数量关系，并证明.
图1 图2
21.选做题：请在A，B两题中任选一题作答.
A：如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，BD⊥AC于点D，且BD＝16 cm.点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4 cm/s；同时点P由点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1 cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t s(0＜t＜5).当t为何值时，以P，Q，D，M为顶点的四边形是平行四边形？
B：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝24 cm，DC＝10 cm，点P自点D向点C以1 cm/s的速度运动，到点C停止.点Q自点B向点A以3 cm/s的速度运动，到点A停止，点P，Q同时出发.试求经过多长时间后，P，Q两点和四边形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形.我选做 题(填A或B)，并写出完整的答题过程.
1
参考答案
一、选择题
1.在四边形ABCD中，AB＝CD，则下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是( C )
A.AD∥BC B.∠A＋∠C＝180° C.AB∥CD D.∠A＋∠B＝180°
2.下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是( C )
A.1∶2∶3∶4 B.2∶2∶3∶3 C.2∶3∶2∶3 D.2∶3∶3∶2
3.下列说法正确的是( B )
A.对角线相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
4.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，若∠B＝55°，则∠D的度数是( C )
A.145° B.125° C.55° D.35°
5.在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE.若∠B＝50°，则∠ADE＝( B )
A.40° B.50° C.90° D.130°
6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( C )
A.AB∥DC，AD∥BC B.AB∥DC，∠DAB＝∠DCB
C.AO＝CO，AB＝DC D.AB∥DC，DO＝BO
7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，EF＝AG，则四边形AEFG的周长是( B )
A.8 B.16 C.24 D.32
8.如图，在四边形ABCD中，P，R分别是BC，DC上的点，E，F分别是AP，PR的中点.当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，线段EF的长( C )
A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.不变 D.不能确定
9.如图，在由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位长度.定义：以点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形.图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数是( D )
A.6 B.7 C.9 D.11
二、填空题
10.如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形.理是 .
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
11.如图，在四边形ABCD中，AO＝OC，BD＝12 cm，则当OB＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形.
【答案】6
12.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，AC＝6，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF.若四边形ACFD的面积等于6，则平移的距离为 .
【答案】2
13.在平面直角坐标系中，平行四边形的其中三个顶点的坐标分别为(0，0)，(3，0)，(4，2)，则第四个顶点的坐标是 .
【答案】(1，2)或(7，2)或(－1，－2)
14.如图，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC＝ .
【答案】
提示：取CE中点F，连接DF.
15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，N是BC边上一点，M为AB边上的动点，且D，E分别为CN，MN的中点，则DE长度的最小值是 .
【答案】
三、解答题
16.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：易证△BEO≌△DFO，∴OE＝OF.
∵AE＝CF，∴OA＝OC.
∵OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形.
17.如图，已知△ABC，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形：△ABE，△BCD，△ACF.求证：四边形DEAF是平行四边形.
证明：∵△ABE，△BCD都是等边三角形，
∴BE＝AB，BD＝BC，∠EBA＝∠DBC＝60°，
∴∠DBE＝60°－∠DBA，∠ABC＝60°－∠DBA，
∴∠DBE＝∠CBA.
易证△DBE≌△CBA，∴DE＝AC.
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF，∴DE＝AF.
同理可得△CBA≌△CDF，∴DF＝AB＝AE.
∵DE＝AF，AE＝DF，
∴四边形DEAF是平行四边形.
18.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD及等边△ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB于点F，连接DF.求证：
(1)AC＝EF；
(2)四边形ADFE是平行四边形.
证明：(1)∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴∠AEF＝∠AEB＝30°，AE＝AB，∠EFA＝90°.
易证△AEF≌△BAC，∴AC＝EF.
(2)∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠DAC＝60°.
由(1)知AC＝EF，∴AD＝EF.
∵∠BAC＝30°，∴∠FAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°.
∵∠EFA＝90°，∴AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形.
19.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在OB和OD上，且BE＝DF.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若∠AEB＝90°，OE＝3，且∠EAF＝45°，求线段AC的长.
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝DF，∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF.
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)由(1)知OF＝OE＝3，OA＝OC.
∵∠AEB＝90°，∠EAF＝45°，
∴EA＝EF＝2OE＝6，
∴OA＝＝3，
∴AC＝2OA＝6.
20.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，F是边BC的中点.
(1)如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝(AC－AB)；
(2)如图2，试猜想线段AB，AC，EF的数量关系，并证明.
图1 图2
解：(1)∵AE⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝90°.
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠ABE＝∠ADE，∴AB＝AD.
∵AE⊥BD，∴BE＝DE.
∵BF＝FC，
∴EF＝(AC－AD)＝(AC－AB).
(2)EF＝(AB－AC). 证明：延长AC，BE交于点D(过程略).
21.选做题：请在A，B两题中任选一题作答.
A：如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，BD⊥AC于点D，且BD＝16 cm.点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4 cm/s；同时点P由点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1 cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t s(0＜t＜5).当t为何值时，以P，Q，D，M为顶点的四边形是平行四边形？
B：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝24 cm，DC＝10 cm，点P自点D向点C以1 cm/s的速度运动，到点C停止.点Q自点B向点A以3 cm/s的速度运动，到点A停止，点P，Q同时出发.试求经过多长时间后，P，Q两点和四边形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形.我选做 题(填A或B)，并写出完整的答题过程.
A：解：当t＝或t＝4时，以P，Q，D，M为顶点的四边形是平行四边形.
B：解：①设经过x s后，四边形PQAD是平行四边形.
根据题意，得x＝24－3x，解得x＝6，
∴经过6 s后，四边形PQAD是平行四边形.
②设经过y s后，四边形PQBC是平行四边形.
根据题意，得10－y＝3y，解得y＝2.5，
∴经过2.5 s后，四边形PQBC是平行四边形.
③设经过z s后，四边形PAQC是平行四边形.
根据题意，得10－z＝24－3z，解得z＝7，
∴经过7 s后，四边形PAQC是平行四边形.
综上所述，经过2.5 s或6 s或7 s后，P，Q两点和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形.