人教版八年级下册18.2.1.1　矩形的性质 同步练习（含答案）

第十八章　平行四边形
18.2.1　矩形
第1课时 矩形的性质
一、选择题
1.若矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，则该矩形的另一边长为( )
A.6 B.8 C.10 D.16
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，AB＝2，则BD的长是( )
A. B.2 C.2 D.4
3.如图，公路AC，BC互相垂直，M为公路AB的中点.若测得AB的长为5 km，则C，M两点间的距离为( )
A.2.5 km B.3 km C.4.5 km D.5 km
4.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.若∠ADB＝40°，则∠E的度数是( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
5.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为( )
A．5 B．4 C． D．
6.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长度为( )
A. B. C.2 D.2
二、填空题
7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，AO的中点，连接EF.若AC＝10，则EF＝ 　.
8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于点D，交BA的延长线于点E.若∠E＝40°，则∠BDA的度数为　 　.
9.在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(0，8)和(6，0)，将一根橡皮筋的两端固定在A，B两点处(如图1)，然后用手勾住橡皮筋向右上方拉升，使橡皮筋与坐标轴围成一个矩形AOBC(如图2)，则橡皮筋被拉长了　 　个单位长度.
图1 图2
10.如图，在矩形ABCD中，BE，DF分别垂直对角线AC于点E，F.若BE＝DF＝3，AE＝CF＝4，则AF＝ 　.
11.在△ABC中，∠BAC＝90°，P是BC的中点，M，N分别是CA，BA延长线上的点，且AM＝AN＝，则∠MPN的度数为　 　.
三、解答题
12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE.若AE⊥BE，求BE的长.
13.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为点F.
(1)求证：DF＝AB；
(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD的值.
14.如图，四边形ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．
(1)求证：四边形AECG是平行四边形；
(2)若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长．
15.如图1，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点.
(1)求证：MN⊥DE.
(2)连接DM，ME，猜想∠BAC与∠DME之间的关系，并证明猜想.
(3)当∠BAC变为钝角时，其他条件不变，如图2，上述(1)(2)中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需要证明；若结论不成立，说明理由.
图1 图2
1
参考答案
一、选择题
1.若矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，则该矩形的另一边长为( B )
A.6 B.8 C.10 D.16
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，AB＝2，则BD的长是( D )
A. B.2 C.2 D.4
3.如图，公路AC，BC互相垂直，M为公路AB的中点.若测得AB的长为5 km，则C，M两点间的距离为( A )
A.2.5 km B.3 km C.4.5 km D.5 km
4.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.若∠ADB＝40°，则∠E的度数是( A )
A.20° B.25° C.30° D.35°
5.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为( D )
A．5 B．4 C． D．
6.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长度为( D )
A. B. C.2 D.2
二、填空题
7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，AO的中点，连接EF.若AC＝10，则EF＝ 　.
【答案】
8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于点D，交BA的延长线于点E.若∠E＝40°，则∠BDA的度数为　 　.
【答案】80°
9.在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(0，8)和(6，0)，将一根橡皮筋的两端固定在A，B两点处(如图1)，然后用手勾住橡皮筋向右上方拉升，使橡皮筋与坐标轴围成一个矩形AOBC(如图2)，则橡皮筋被拉长了　 　个单位长度.
图1 图2
【答案】4
10.如图，在矩形ABCD中，BE，DF分别垂直对角线AC于点E，F.若BE＝DF＝3，AE＝CF＝4，则AF＝ 　.
【答案】
11.在△ABC中，∠BAC＝90°，P是BC的中点，M，N分别是CA，BA延长线上的点，且AM＝AN＝，则∠MPN的度数为　 　.
【答案】45°
三、解答题
12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE.若AE⊥BE，求BE的长.
解：∵AE⊥BE，∴∠AEB＝90°.
∵D是AB的中点，AB＝4，
∴DE＝＝2.
∵∠DAC＝90°，E是CD的中点，
∴AE＝DE＝2，
∴BE＝＝2.
13.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为点F.
(1)求证：DF＝AB；
(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD的值.
解：(1)在矩形ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF.
又∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°＝∠B.
又∵AD＝EA，∴△ADF≌△EAB(AAS)，
∴DF＝AB.
(2)∵∠ADF＋∠FDC＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝∠FDC＝30°，∴AD＝2DF.
∵DF＝AB＝4，∴AD＝8.
14.如图，四边形ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．
(1)求证：四边形AECG是平行四边形；
(2)若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长．
(1)证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA．由题意，得∠GAH＝∠DAC，∠ECF＝∠BCA，∴∠GAH＝∠ECF，∴AG∥CE.又∵AE∥CG，∴四边形AECG是平行四边形；
(2)解：在Rt△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝5.∵CF＝CB＝3，∴AF＝2.在Rt△AEF中，设EF＝x，则AE＝(4－x)．根据勾股定理，得AE2＝AF2＋EF2，即(4－x)2＝22＋x2，解得x＝，即线段EF的长为cm.
15.如图1，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点.
(1)求证：MN⊥DE.
(2)连接DM，ME，猜想∠BAC与∠DME之间的关系，并证明猜想.
(3)当∠BAC变为钝角时，其他条件不变，如图2，上述(1)(2)中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需要证明；若结论不成立，说明理由.
图1 图2
解：(1)证明略.
(2)∠DME＝180°－2∠BAC.
证明：∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD＋∠CME＝(180°－2∠ABC)＋(180°－2∠ACB)＝360°－2(∠ABC＋∠ACB)＝360°－2(180°－∠BAC)＝2∠BAC，
∴∠DME＝180°－2∠BAC.
(3)结论(1)成立，结论(2)不成立.
理由：∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC＝2(180°－∠BAC)＝360°－2∠BAC，
∴∠DME＝180°－(360°－2∠BAC)＝2∠BAC－180°.