人教版八年级下册18.2.1.2　矩形的判定 同步练习（含答案）

第十八章　平行四边形
18.2.1　矩形
第2课时 矩形的判定
一、选择题
1.检查一个门框是否为矩形，下列方法正确的是( )
A.测量两条对角线是否相等 B.测量两条对角线是否互相平分
C.测量两条对角线是否互相垂直 D.测量门框的三个角是否都是直角
2.要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是( )
A.∠ABD＝∠CBD B.∠ABC＝90° C.AC⊥BD D.AB＝BC
3.已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，若要使四边形ABCD成为矩形，则可添加条件( )
A.AC＝CD B.AB∥CD C.AC⊥BD D.AC＝BD
4.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，EB交DC于点O.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A.AB＝BE B.BE⊥BC C.OB＝OC D.CE⊥DE
5.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1＋∠3＝90°；②BC2＋CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD.能判定四边形ABCD是矩形的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积为( )
A．2 B．3 C．4 D．4
7.如图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH.要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )
A.AC⊥BD B.AB＝CD C.AB∥CD D.AC＝BD
8.如图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中，以A，B为顶点的格点矩形共可以画出( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
9.如图，在 ABCD中，请添加一个条件：　 　，使得 ABCD成为矩形.
10如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是　 　.
11如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MB，PF⊥MC，当AB，BC满足条件 时，四边形PEMF为矩形．
三、解答题
12.如图，在 ABCD中，AC＝BC，E是AB的中点，连接CE，过点A作AF∥CE交CD于点F.求证：四边形AECF是矩形.
13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO为斜边AC的中线，延长BO至点D，使DO＝BO，连接AD，CD.补全图形，并证明四边形ABCD是矩形.
14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE，DF分别是∠BDC，∠ADC的平分线.
(1)求∠CFD的度数；
(2)求证：四边形DECF是矩形.
15.如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，E，F分别是AO，DO的中点.
(1)求证：OE＝OF；
(2)当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形.
16.如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H.
(1)求证：四边形AGPH是矩形；
(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
1
参考答案
一、选择题
1.检查一个门框是否为矩形，下列方法正确的是( D )
A.测量两条对角线是否相等 B.测量两条对角线是否互相平分
C.测量两条对角线是否互相垂直 D.测量门框的三个角是否都是直角
2.要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是( B )
A.∠ABD＝∠CBD B.∠ABC＝90° C.AC⊥BD D.AB＝BC
3.已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，若要使四边形ABCD成为矩形，则可添加条件( D )
A.AC＝CD B.AB∥CD C.AC⊥BD D.AC＝BD
4.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，EB交DC于点O.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( B )
A.AB＝BE B.BE⊥BC C.OB＝OC D.CE⊥DE
5.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1＋∠3＝90°；②BC2＋CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD.能判定四边形ABCD是矩形的个数是( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积为( A )
A．2 B．3 C．4 D．4
7.如图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH.要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( A )
A.AC⊥BD B.AB＝CD C.AB∥CD D.AC＝BD
8.如图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中，以A，B为顶点的格点矩形共可以画出( D )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
9.如图，在 ABCD中，请添加一个条件：　 　，使得 ABCD成为矩形.
【答案】　∠A＝90°(答案不唯一)　
10如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是　 　.
【答案】2.4
11如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MB，PF⊥MC，当AB，BC满足条件 时，四边形PEMF为矩形．
【答案】BC＝2AB
三、解答题
12.如图，在 ABCD中，AC＝BC，E是AB的中点，连接CE，过点A作AF∥CE交CD于点F.求证：四边形AECF是矩形.
证明：易得四边形AECF是平行四边形.
∵E是AB的中点，AC＝BC，
∴∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形.
13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO为斜边AC的中线，延长BO至点D，使DO＝BO，连接AD，CD.补全图形，并证明四边形ABCD是矩形.
解：补全图形如图所示.
∵在Rt△ABC中，BO为斜边AC的中线，
∴AO＝CO＝BO.
∵BO＝DO，∴AO＝CO＝BO＝DO，
∴四边形ABCD为平行四边形.
∵AC＝DB，∴四边形ABCD为矩形.
14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE，DF分别是∠BDC，∠ADC的平分线.
(1)求∠CFD的度数；
(2)求证：四边形DECF是矩形.
解：(1)∠CFD＝90°.
(2)∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝BD.
∵DE是∠BDC的平分线，∴DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°.
由(1)知∠CFD＝90°，且∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形.
15.如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，E，F分别是AO，DO的中点.
(1)求证：OE＝OF；
(2)当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形.
证明：(1)证明略.
(2)∵OB＝OC，OE＝OF，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵∠A＝30°，∴OB＝＝OE，
∴BC＝EF，
∴平行四边形BECF是矩形.
16.如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H.
(1)求证：四边形AGPH是矩形；
(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
(1)证明：∵AC＝9，
AB＝12，BC＝15，
∴AC2＋AB2＝BC2.
∴∠A＝90°.
∵PG⊥AC，PH⊥AB，∴∠AGP＝∠AHP＝90°.
∴四边形AGPH是矩形．
(2)解：存在．连接AP.∵四边形AGPH是矩形，∴GH＝AP.当AP⊥BC时，AP最短．
∵S△ABC＝AC·AB＝BC·AP，
∴9×12＝15·AP.∴AP＝.
∴GH的最小值为.