湖北省武汉市青山区武钢三中2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（含解析）

武钢三中2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
时间：2024年3月28日
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数的导函数为，且满足为自然对数的底数，则（ ）
A. B. C. D.
2.若函数在处有极大值，则常数为（ ）
A.1 B.3 C.1或3 D.-1或-3
3.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
6.若直线既和曲线相切，又和曲线相切，则称为曲线和的公切线.曲线和曲线：的公切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.函数的导函数为，对，都有成立，若，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
8.函数在上的最大值为2，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.对任意的，存在，使得
B.若是的极值点，则在上单调递减
C.函数的最大值为
D.若有两个零点，则
11.已知函数，其中正确结论的是（ ）
A.当时，有最小值
B.对于任意的，函数是上的增函数
C.对于任意的，函数一定存在最小值
D.对于任意的，函数存在极小值，不存在极大值
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，则在点处的切线方程为__________.
13.若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是__________.
14.若关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围是__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
已知函数
（1）当时，求在上的最值；
（2）讨论的单调性.
16.（本小题15分）
已知函数有两个不同的极值点，且.
（1）求的取值范围；
（2）求的极大值与极小值之和的取值范围.
17.（本小题15分）
已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.（是自然对数的底数）.
18.（本小题17分）
已知函数.
（1）当时，求的最值；
（2）若，求实数的取值范围.
19.（本小题17分）
已知.
（1）当时，求的极值；
（2）若有两个不同零点，求的取值范围；
（3），求证：.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查导数的计算，注意为常数，要正确求出函数的导数.
根据题意，由函数的解析式对求导可得，将代入计算可得，变形可得答案.
【解答】
解：由，得，
则，
故选.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的极值，考查推理能力和计算能力，属于基础题.
利用，检验后即可得解.
【解答】
解：由题意，得，
则，
解得或3，
经检验，当时，在取极小值，不符合题意，
故，
故选B.
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性 最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于基础题.
求出函数的导数，问题转化为，而在递增，求出的最小值，从而求出的范围即可.
【解答】解：，
若在区间内存在单调递增区间，
则在有解，
故，
而在递增，
，
故，
故选A.
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的单调性，考查了必要条件 充分条件与充要条件的判断，关键是等价转化，属于基础题.
先求导函数，再根据函数在上不单调，再构造函数，得，从而可求的取值范围，故可得答案.
【解答】
解：函数的定义域为，
令，若在上不单调，则在上有变号零点，
则，解得，
故在上不单调的一个充分不必要条件是.
故选D.
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查与指数 对数有关的大小关系的比较，解题基本思路是能够将问题转化为两个函数的函数值大小关系的比较，通过构造函数的方式，利用导数求得函数单调性，从而得到两函数的大小关系.
利用导数可求得当时，；分别代入和，整理可得的大小关系.
【解答】
解：令，则，
在上单调递增，，即，
，即；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
（当且仅当时取等号），，
即（当且仅当时取等号），，即；
综上所述：.
故选：D.
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，以及公切线的定义，考查方程思想和运算求解能力，属于中档题.
分别设与曲线相切的切点坐标，求得导数，可得切线的斜率，讨论切点相同和不同，由斜率相等，解方程可.
【解答】
解：的导数为的导数为，
设曲线的公切线与曲线的切点为，则切线的斜率为，
与曲线的切点为，
则切线的斜率为，所以，
当曲线与的切点相同时，，
可得，所以切点为，
此时公切线的方程为；
当曲线与曲线的切点不同时，，
可得，
所以，即，所以，此时与矛盾，
故不存在两切点不同的情况，
综上可得：切点的坐标为，公切线的方程为.
故选A.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用导数解不等式，属于中档题.
构造函数，利用导数可判断的单调性，再根据，求得，再根据不等式，结合函数的单调性，即可求出结果.
【解答】
解：，都有成立，，
令，则，
所以在上单调递增，
，
不等式，
，即不等式的解集是
故选.
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查分段函数求最值，涉及运用导数研究函数最值 指数函数性质及指数不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于较难题.
当时，的最大值为2；欲使得函数在上的最大值为2，则在上的最大值小于等于2，对的取值范围进行分类讨论即可解得.
【解答】
解：由题意，当时，，
得，令得：或0，
当时，，函数为减函数，
当时，，函数为增函数，
故函数在上的最大值为；
故要使函数在上的最大值为2，
须使在上的最大值小于等于2，
在，
①当时，是增函数，
所以，即，
故
②当时，为减函数，
所以，满足题意；
③当时，，满足题意，
综上，.
故选D.
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，求函数的最值，属于基础题.
对函数求导，结合三角函数的图像与性质求解即可.
【解答】解：由，可得，因为，故当在单调递减，
则当时，.
故选AC.
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性 最值及零点问题，考查运算求解能力，考查数学运算和逻辑推理核心素养，属于较难题.
先求出，判断出函数的单调性，再逐一研究各个选项即可.
【解答】
解：由题意得，
则当时，在上单调递增；
当时，当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，故选项正确；
由以上分析知，当时，没有最大值，故选项错误；
当时，函数的最大值为，且，故选项错误；
又当时，当时，，当时，，
若有两个零点，则，
，故选项正确.
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，属于较难题.
求得函数的定义域和导数，结合选项，利用导数求得函数的单调性和极值，逐项判定，即可求解.
【解答】
解：由题意，函数，可得，
对于中，当时，可得，
设，可得在上恒成立，
所以函数在上为单调递增函数，
又由，所以存在，使得，
当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增，
所以当时，函数有最小值，所以正确；
对于中，当时，在上恒成立，
所以是上的增函数，所以正确；
对于中，当时，由上述分析可知，是上的增函数，
当时，，所以函数无最小值，所以错误；
对于中，当时，，令，即，
设，可得在上恒成立，
所以函数在上为单调递增函数，
当时，；当时，；
所以存在唯一的使得，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，函数取得极小值，无极大值，所以正确.
故选ABD.
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.
由题意对求导求出切线斜率，再代入点斜式方程.
【解答】
解：因为，
所以，又因为，
所以在点处的切线方程为，
即.
故答案为.
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数单调性的应用，属于中档题.
对函数进行求导，由题意可得导函数在区间上有解，然后建立关系式，进行求解即可.
【解答】
解：函数的导数
，
若在区间上不是单调函数，
则在区间上有解，
由在区间上有解，
即在区间上有解，，
若，显然不符合题意；
若，即，即
此时，
若在区间上有解，
则，平方得，即，
故实数的取值范围是，
故答案为.
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查方程解的个数问题，较难.
将原方程变形为，令，得出，利用导数证明的单调性从而得出的范围以及图象，再由导数得出的图象，结合图象分析得出实数的取值范围.
【解答】
解：由题知，，当，即，该等式不成立，故，即，
方程两边同时除以，然后乘以得，，
令，
，当或时，；当时，，
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
当时，，
当，当，则，
设
当时，；当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，如图所示，
，
则当，即时，对应方程有两个解，此时分别对应两个值，如图所示，
故方程有四解，
即，
同理，当，即时，对应方程有两个解，此时分别对应一个，如图所示，
故方程有两个解，不符合题意，舍去.
综上所述：，
故答案为：
15.【答案】解：（1）因为，所以.
当时，，当时，，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为.
因为，
所以在上的最大值为32，最小值为-40.
（2）因为，
所以
令，得或.
当，即时，由，解得或，由，解得.
当，即时，恒成立.
当，即时，由，解得或，由，解得.
综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区问；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为
【解析】本题考查利用导数求函数的最值（不含参），利用导数求函数的单调区间（含参）
（1）根据导数求解函数的单调区间，即可求解极值点以及端点处的函数值，比较大小即可，
（2）求导，分类讨论即可根据导函数的正负求解.
16.【答案】解：（1）.
因为有两个不同的极值点，且，
所以有两个不同的正根，
所以，解得，
所以的取值范围是.
（2）由（1）可知，，不妨设，
所以，
所以
.
令，则，
所以在上单调递增，
所以，
即的极大值与极小值之和的取值范围是.
【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值，解题的关键是极值存在条件的正确理解，属于中档题.
（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性，极值的关系，及二次方程的根的存在条件可求；
（2）根据导数与极值的关系可求函数极大与极小值的和为，然后结合导数研究该函数的单调性，进而可求取值范围.
17.【答案】解：（1）函数，
当时，，
则，
令，解得，令，解得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）因为对恒成立，
由，解得，所以，
又对恒成立，
等价于对恒成立，
令，
则不等式等价于，
又，
令，解得，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以当时，的最小值为，
故，因为，则，
所以，
解得，
故实数的取值范围为.
【解析】本题考查了利用导数研究函数单调性的应用，不等式恒成立问题的求解，属于中档题.
（1）求出时的，求出，由的正负确定函数的增减性，即可得到答案；
（2）先令，得出必须满足，再构造函数，利用导数结合研究其单调性，即可得到答案.
18.【答案】解：（1）当时，，
令，得，列表如下
0
- 0 +
极大值
，
故.
（2），即对恒成立.
令，令，
则，故在上单调递增，
.
①当时，即时，即，
在上单调递减，，不符合题意，舍去；
②当时，即时，
，使得，又在上单调递增，故，即单调递减，即单调递增.
所以，不符合题意，舍去；
③当时，即时，，即在上单调增，，符合题意，
综上所述，实数的取值范围为.
法二：对恒成立，
当时，恒成立，
当时，分离参量得：，
记
，
记
，则在上单调递减，
所以，所以在上恒成立，
则在上单调递减，
因为，且
且，
所以根据洛必达法则：，
所以，即
综上，实数的取值范围是.
【解析】本题考查了导数的综合应用，利用导数求解函数最值，求解参数范围，属于难题.
（1）利用导函数判断函数单调性，然后可求解函数最值；
（2）法一：令，判断函数单调性，求其最小值，令其即可求解的取值范围；
法一：根据参数独立，构造求函数最大值，求解的取值范围.
19.【答案】（1）解：当时，.
当时，为减函数，
当时，为增函数，
极小值，无极大值.
（2）解：，
（i）当时，，只有一个零点，
（ii）当时，，
当时，为减函数，
当时，为增函数，
极小值，
而
当时，函数在上存在一个零点，
当时，，
，
令，
是的一个根，
取，
，
当时，函数在上存在一个零点，
函数有两个零点.
（iii）当时，，
令得或，
①当，即时，
当变化时，的变化情况如表所示：
0
+ 0 - 0 +
-1
极大值，
函数至多有一个零点，不合题意，
②当，即时，在上单调递增，
至多有一个零点，不合题意.
③当，即时，
当变化时的变化情况如表所示：
0
+ 0 - 0 +
-1
时，
，
，
函数至多有一个零点，不合题意.
综上，的取值范围是.
（3）证明：令，
，
.
令，
，
为上的增函数，
，
取，
，
存在唯一的使，
即，
当时，为减函数，
当时，为增函数，
，
对，
即.
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及最值问题，要求熟练掌握导数和函数的单调性，极值，最值之间的关系，属于难题.
（1）先求导，再根据导数和函数的极值的关系即可求出，
（2）根据导数和函数的最值得关系结合函数零点，分类讨论，即可求出的取值范围，
（3）先求导，可得，再构造函数，根据导数和函数的最值得关系即可证明.