泉港区 2024 年春季高二年3月月考数学试卷
一、单选题（本大题共 8小题，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题
目的一项）
1.已知集合 A x x 2 5x 4 0 ， B x 0 x 3 ，则 A B （ ）
A. x 0 x 1 B. x 0 x 1 C. x 1 x 3 D. {x | x 3或 x 4}
【答案】B
【详解】解不等式 x 2 5x 4 0，得 x 1或 x>4，则 A {x | x 1或 x 4}，而
B x 0 x 3 ，
所以 A B {x | 0 x 1}.故选：B
2.下列运算正确的是（ ）
1 3A. cos B. ln 3x 1
C.
2
3x 1 x ln x 2x ln x D. e x e x 6 2
【答案】B
【详解】 cos 6
0，
ln 3x 1
3
3x 1 x2 ln x x2 ln x x2 ln x 2x ln x x， e x e x，
故 A、C、D错误，故选：B.
3. 在下列函数中，即是偶函数又在 0,1 上单调递增的函数的有（ ）
A. y x 1 B. y cosx C. y x3 D. y 2x
【答案】D
1
【详解】解：对 A，函数 y x 是奇函数，在 0,1 上单调递减，故 A 不符合
函数 y cosx是定义在R 上的偶函数，又函数在 0,1 上单调递减的函数，故 B
不符合；
3
函数 y x是定义在R 上的奇函数，故 C不符合；
函数 y f x 2 x x x，定义域为R ，所以 f x 2 2 f x 为偶函数，又
x 0,1 x时， y 2 ，所以函数在 0,1 上单调递增的函数，故 D符合；故选：D.
{#{QQABaQiQgggAApBAABgCAQHQCgKQkBEACIoOBAAMsAAASAFABAA=}#}
4.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，
现从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中任取 3个，组成无重复数字的三位数，其中“伞
数”的个数为（ ）
A. 120 B. 80 C. 20 D. 40
【答案】D
【详解】十位数字为 3时，有A2 22个“伞数”；十位数字为 4时，有A3个“伞数”；
十位数字为 5时，有A24个“伞数”；十位数字为 6时，有A 25 个“伞数”；
故共有A2 22 A3 A
2 2
4 A5 40个“伞数”.故选：D
5.甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传
球，作为第一次传球，经过 3次传球后，球回到甲手中的概率为（ ）
1 5 1 1
A． B． C． D．
8 16 4 2
【详解】 设甲、乙、丙三人用 a,b,c，由题意可知：传球的方式有以下形式，
a , b , a , b , a , b , a , c , a , b , c , a , a , b , c , b , a , c , a , b , a , c , a , c , a , c , b , a , a , c , b , c ，
2 1
所求概率为 .故选 C
8 4
6."a 0"是“函数 f x ax cos x在 , 上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【详解】 f x a sin x，由题意得： f x a sin x 0，
即a sin x在 , 上恒成立，因为 y sin x 1,1 ，所以 a 1恒成立，故
实数 a的取值范围是 1, .故选：B
1
7.函数 f (x) ln | x |的图象大致为
x
A. B.
{#{QQABaQiQgggAApBAABgCAQHQCgKQkBEACIoOBAAMsAAASAFABAA=}#}
C. D.
【答案】D
1
【详解】解： f (x) ln | x |
x
定义域为： x ,0 0, ， f ( x) 1 ln | x | 1 ln | x |
x x
所以 f (x)为非奇非偶函数，故A错误；
当 x 0 1 1时，则 f (x) ln x，因为 y 在 x 0, 上单调递减， y ln x 在
x x
x 0, 1上单调递增，则 f (x) ln x在 x 0, 上单调递减，只要
x D满足
条件，故选D
8.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数 f x 在
闭区间 a,b 上的图象连续不间断，在开区间 a,b 内的导数为 f x ，那么在区
间 a,b 内至少存在一点c，使得 f b f a f c b a 成立，其中c叫做 f x
在 a,b 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数 f x x 2 lnx在 1, 2
上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【详解】 f x 1 lnx 2 ，令 x0为函数 f x x 2 lnx在 1, 2 上的“拉格朗日x
中值点”，
2 f 2 f 1
则1 lnx0 0，x0 2 1
令 g x 1 ln x 2 ，则 g x 1 2 2 0在 1, 2 上恒成立，x x x
故 g x 2 1 ln x 在 1, 2 上单调递增，
x
{#{QQABaQiQgggAApBAABgCAQHQCgKQkBEACIoOBAAMsAAASAFABAA=}#}
又 g 1 1 2 1 0， g 2 1 ln2 1 ln2 0，
由零点存在性定理可得：存在唯一的 x0 1,2 ，使得 g x0 0.故选：B
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对
的得部分分。）
9.下列大小关系正确的是（ ）
0.4
A. 3 0.2 1 B. 3ln 2 2ln3
3
C. 3 2 2 1 D. sin1 cos1
【答案】AB
1 0.4 0.2 0.4 3 0.2 3 0.4 【详解】 ，∴ ，A选项正确；
3
3 ln 2 ln 23 ln 8 ln 9 ln 32 2 ln 3，B选项正确；
3 2 1 ， 2 1
1 1 1
，由
3 2 2 1 3 2 2 1 0
，得 ，
3 2 2 1
即 3 2 2 1，C选项错误；
sin1 sin π π cos cos1，D选项错误.故选：AB
4 4
10.杨辉三角把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形
中体现出来，是一种离散型的数与形的结合．根据杨辉三角判断下列说法正确的
是（ ）
x 1 6A. x6 6x5 15x4 20x3 15x2 6x 1
C2 4C3 6C4 4C5 C6 6B. 7 7 7 7 7 C11
C. 已知 1 3x n的展开式中第 3项与第 9项的二项式系数相等，则所有项的系
数和为212
D. 已知 x 2 5 a0 a1 x 1 a2 x 1
2 a5 x 1
5
，则a1 a2 a3 a4 31
【答案】AB
r 6 r r
【详解】对于 A，因为 (x 1)6的展开式为Tr 1 C6x ( 1) ，计算即可求出
{#{QQABaQiQgggAApBAABgCAQHQCgKQkBEACIoOBAAMsAAASAFABAA=}#}
x 1 6 x6 6x5 15x4 20x3 15x2 6x 1，故 A正确；
n
对于 B，因为Cm C
m n
m ，所以，
C2 4C3 6C47 7 7 4C
5
7 C
6
7 5C
2
7 10C
3
7 7 105 350 7 462，而
C6 = 11 10 9 8 7 611 =462，故 B正确；6 5 4 3 2 1
2 8 10
对于 C，根据题意得，Cn Cn，所以 n 10，原式变为 1 3x ，令 x 1，所
10 10
以，所有项的系数和为 ( 2) 2 ，故 C错误；
5
对于 D，令 x 0，得a0 a1 a2 a3 a4 a5 2 ，令 x= 1，得 a0 1，所以，
a1 a2 a3 a4 a5 31，根据展开式通项公式，明显可见a5 0，故 D错误.
故选：AB
11.已知函数 f (x)的定义域为 (0, )，其导函数 f (x)满足 f (x) 1 x，且 f 1 1，
则下列结论正确的是（ ）
A. f (e) 2 B. f (e) 2
f (1C. ) 0 D. x (1, e), f (x) 2
e
【答案】BCD
【详解】解：函数 f (x)的定义域为 (0, )，
设 F (x) f (x) ln x，则 F (x) f (x)
1
，
x
1
因为 f (x) ，所以 F (x) 0，函数 F ( x ) 是x 减函数，
f 1 1， F 1 f 1 ln 1 1，
所以 F 1 F e f e 1，可得 f e 2 ，所以A不正确，B正确；
F 1 1
1
f 1 F 1 1
e e ，所以
f
0，故 C正确．
e
当 x 1,e ， F ( x )单调递减，所以 F 1 F x F e ，即
f 1 ln 1 f x ln x f e 1，即1 ln x f x ，
因为 y 1 ln x 在 1,e 上单调递增，所以 f x 2 ，即 x (1, e), f (x) 2，所以
{#{QQABaQiQgggAApBAABgCAQHQCgKQkBEACIoOBAAMsAAASAFABAA=}#}
D 正确．故选：BCD．
三、填空题（本大题共 3小题，共 15分）
log3 x, x 0f (x) 112.已知函数 3x x ，则
f ( f ( )) =
, 0 9
log3 x, x 0 1 1
【详解】因为 f (x) 3x ，所以
f ( ) log3 2
, x
，
0 9 9
f ( 2) 1 3 2 .
9
13. 若 5 名学生要去两个地方参加志愿者活动，每人只能去一个地方，每个地方
至少要有一人前往，则不同的分配方案有 种.
3 2 1 4
【详解】把 5名同学分成 2组有C5C2 C5C4 15种方法，
15A2再把每一种分组安排到两个地方，分配方式有 2 30种，所以不同的分配方
案有 30 种.
14.下列结论正确的是
（1）(x＋y)(2x－y)6的展开式中 x4y3的系数为 80；
50
（2）50 9 被 7除的余数为 2；
2021 2 3 2021 a a ax a a x a x a x a x x 1 2 3（3）若(1－2 ) ＝ 0＋ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋…＋ 2021 ( ∈R)，则 ＋ ＋ ＋…
2 22 23
a2021
＋ ＝－1；
22021
1 2
（4）( ax )n(a<2)的展开式中第 3项的二项式系数为 45，且展开式中各项系
x
数和为 1024，则展开式中第 6项的系数最大.
答案：结论正确的是（1）、（3）、（4）
k
【详解】（1）(2x－y)6的展开式的通项为 Tk＋1＝C6(2x)
6－k(－y)k，当 k＝2时，T3
＝240x4y2，当 k＝3时，T4＝－160x
3y3，故 x4y3的系数为 240－160＝80，故（1）
正确；
5050 （49 1）50 4950 C1 4950 49 C
2 48 49
（2） 50
49 C50 49 1，展开式中除最
50
后一项外，其它各项都是 7 的整数倍，所以 50 9 被 7 除的余数等于1 9=10
被 7 除的余数，结果为 3.故（2）错误；
{#{QQABaQiQgggAApBAABgCAQHQCgKQkBEACIoOBAAMsAAASAFABAA=}#}
1 2 1 2021
2021 a1 a2 a2021 1
（3当 x＝0时，a0＝1 ＝1，＋ ＋…＋ ＝a× ＋a× 2 ＋…＋a × 2 ，2 2021 1 2 2021
2 2 2 2
1 2 1 2021
1 1
当 x＝ 时，0＝a0＋a1× ＋a2× 2 ＋…＋a2021× 2 ，
2 2
1 2 1 2021
1
所以 a1× ＋a2× 2 ＋…＋a2021× 2 ＝－a0＝－1.故（3）正确；
2
C2 45, n(n 1)（4）由题意， n 45, n
2 n 90 0,所以 n＝10(负值舍去)，又展
2
10
开式中各项系数之和为 1024，所以(1－a) ＝1024，因为 a<2，所以 a＝－1，
( 1 x2)10展开式中的二项式系数与对应项的系数相同，所以展开式中第 6项的
x
系数最大。故（4）正确；
四、解答题（本大题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤）
3 2
15.（本题 13 分） 已知函数 f x x 2ax bx a 1在 x= 1处取得极值0，
其中 a , b R .
（1）求 a , b的值；
（2）当 x 1,1 时，求 f x 的最大值和最小值．
' 2
【详解】（1） f x 3x 4ax b，
f 1 0 1 2a b a 1 0
依题意可知 ，即 a b ，解得a b 1…………5分 f 1 0 3 4 0
3 2 '
（2）由（I）得 f x x 2x x, f x 3x2 4x 1 3x 1 x 1 ，
' 1
令 f (x)= 0解得 x = - 或 x= 1 .
3
所以 f x 1, 1 1 在 上递减，在 ,1 上递增，
3 3
1
当x=- 时，f (x) 1 4取得极小值，无极大值，所以f (x)min f ( ) ,3 3 27
所以在区间 1,1 上， f x 的最大值为 f 1 或 f 1 ，
而 f 1 0， f 1 1 2 1 4.
{#{QQABaQiQgggAApBAABgCAQHQCgKQkBEACIoOBAAMsAAASAFABAA=}#}
所以 f x 在区间 1,1 上的最大值为4 ……………13 分
16. （本题 15 分）现有大小相同的 8个球，其中 2个不同的红球，3个不同的
白球，3个不同的黑球.
（1）将这 8个球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？
（2）将这 8个球排成一列，黑球不相邻且不排两端，有多少种排列的方法？
（3）若从 8个球中任取 4个球，则各种颜色的球都被取到的概率为多少？(最后
答案用数字作答)
3
【详解】（1）把相同颜色的球看成一个整体，故 3种不同的颜色的排法有A3，
2 3
2 只不同的红球的排列有A2，3只不同的白球的排列有A3，3只不同的黑球的排
3
列有A3，
故不同的排列的总数为A2 3 3 32A3A3A3 432. …………5分
5
（2）先把除黑球外的 5只球全排列，共有A5种，
3
再把 3个黑球插入上述 5个球中间的 4个空挡，有A4种，
A5A3故共有 5 4 2880. …………10 分
4
（3）从 8个球中任取 4个球共有C 70 ，8
取 4只球，若各种颜色的球都被取到，则必有一种颜色取两个球，其余颜色各取
2 1 1 1 2 1
一个，故不同的取法总数为C2C3C3 C2C3C3 2 45，则各种颜色的球都被取到
45 9
的概率为 P= . …………15 分
70 14
n
1
17.（本题 15 分）在 x 的展开式中，若第 3项的二项式系数为 28，求：
2 4 x
(1)展开式中所有项的二项式系数之和；
(2)展开式中的有理项；
(3)展开式中系数最大的项．
【详解】（1）由题意可得
C2n 28,
n(n 1)
28, n2 n 56 0,，解得n 8或者 n 7（舍去）；
2
{#{QQABaQiQgggAApBAABgCAQHQCgKQkBEACIoOBAAMsAAASAFABAA=}#}
则展开式中所有项的二项式系数之和为 28 256 ；…………5分
r
T Cr x 8 r 1 1
r
4 3 r
（2）展开式通项为 r 1 8
Cr x 4 ，
2 4 x
2
8
当4
3
r为整数时，Tr 1为有理项，则 r 0，4，8，4
r 1 35 1 1所以当 0 4 8 2 2时，T1 x 4 ；当r 4时，T5 4 C8x x；当 r 8时，T C x x ，2 8 9 28 8 256
35
所以展开式中的有理项为T1 x
4，T5 x，T
1
9 x
2
．…………10 分
8 256
1 Cr 1 r 1 2r 8 2r 1
C8
（3）设第 r 1 项的系数最大，则 1 ，解得2 r 3， Cr 1 Cr 1
2r 8 2r 1 8
5 7
因为 r N，所以 r 2或 r 3，所以展开式中系数最大的项为T3 7x 2，T4 7x 4 ．
……15 分
18.（本题 17 分）已知函数 f x ax 2 2a 1 x ln x ．
(1)当 a
1
时，求函数 f x 的单调区间和极值；
2
(2)讨论函数 f x 单调性．
1 1 2
【详解】（1）当 a 时， f x x ln x, x 0，
2 2
1 x 1 x 1则 f x x ，
x x
当0 x 1时， f (x) 0，则 f (x)单调递减，
当 x 1时， f (x) 0，则 f (x)单调递增，
所以 f (x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为 (1, )，
当 x 1时，函数 f (x)取得极小值 f 1 1 2 ，无极大值．…………8分
（2） f x ax 2 2 a 1 x ln x , x 0 ，
2ax2f x (2a 1)x 1 (x 1)(2ax 1)则 ，
x x
当a 0时， f (x) 0，则 f (x)单调递减；
当a 1 0时，当0 x 时，f (x) 0，则函数 f (x) 1单调递减，当 x 时，f (x) 0，
2a 2a
则函数 f (x)单调递增．
综上所述，当a 0时， f (x)在 (0, )上单调递减；
{#{QQABaQiQgggAApBAABgCAQHQCgKQkBEACIoOBAAMsAAASAFABAA=}#}
a 0 f (x) 0, 1 1 当 时， 在 2a 上单调递减，在 , 2a 上单调递增．…………17 分
19.（本题 17 分）已知 a＞0，函数 f(x)＝ax－x·ex．
(1)求函数 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)证明 f(x)存在唯一极值点；
(3)若存在 a，使得 f(x)≤a＋b 对于任意的 x∈R成立，求实数 b的取值范围．
【详解】(1)因为 f(0)＝0，f′(x)＝a－(x＋1)ex，所以 f′(0)＝a－1，所以函
数在(0，f(0))处的切线方程为(a－1)x－y＝0．…………5分
(2)证明：若证明 f(x)仅有一个极值点，即证 f′(x)＝a－(x＋1)ex＝0，只有一
个解，即证 a＝(x x＋1)e 只有一个解，
令 g(x)＝(x＋1)ex，只需证 g(x)＝(x＋1)ex的图象与直线 y＝a(a＞0)仅有一个
交点，g′(x)＝(x＋2)ex，
当 x＝－2时，g′(x)＝0，
当 x＜－2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
当 x＞－2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
当 x＝－2时，g(－2)＝－e－2＜0．
当 x→＋∞时，g(x)→＋∞，
当 x→－∞时，g(x)→0－，
x
画出函数 g(x)＝(x＋1)e 的图象大致如下，
x
因为 a＞0，所以 g(x)＝(x＋1)e 的图象与直线 y＝a(a＞0)仅有一个交点，∴命
题论证．…………11 分
x
(3)由题意可得，存在 a∈(0，＋∞)，使得 ax－xe ≤a＋b 对于任意的 x∈R 恒成
立，
即存在 a∈(0，＋∞)，使得－b≤xex＋a(1－x)对于任意的 x∈R恒成立，
x
令 h(x)＝xe ＋a(1－x)，即存在 a∈(0，＋∞)，－b≤h(x)min，
{#{QQABaQiQgggAApBAABgCAQHQCgKQkBEACIoOBAAMsAAASAFABAA=}#}
h′(x)＝(x＋1)ex－a，h″(x)＝(x＋2)ex(h″(x)为 h′(x)的导数)．
由(2)得 x＜－2时，h′(x)单调递减，x＞－2时单调递增，
当 x→＋∞时，h′(x)→＋∞，
当 x→－∞时，h′(x)＜0，
所以存在 x＝x0(x0＞－2)，使得函数 h′(x0)＝(x x00＋1)·e －a＝0，
即(x0＋1)ex0＝a，
当 x＜x0时 h(x)单调递减，当 x＞x0时 h(x)单调递增，
当 x 2＝x0时，h(x)min＝h(x0)＝x ex00 ＋a(1－x0)＝(1－x0＋x x00)e ，
h′(x0)＝(－x
2
0－x0＋2)ex0＝－(x x00＋2)(x0－1)e ，
当－2＜x0＜1时，h′(x0)＞0，则 h(x0)单调递增，当 x0＞1时，h′(x0)＜0，则
h(x0)单调递减．
当 x0＝1时，h(x0)max＝h(1)＝e，
因为存在 a∈(0，＋∞)，－b≤h(x0)，即－b≤h(x0)max，即－b≤e，
所以 b的取值范围为[－e，＋∞)．…………17 分
{#{QQABaQiQgggAApBAABgCAQHQCgKQkBEACIoOBAAMsAAASAFABAA=}#}泉州市泉港区2023-2024学年高二下学期3月月考
数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分；在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项.）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D. 或
2.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 在下列函数中，即是偶函数又在上单调递增的函数的有（ ）
A. B. C. D.
4.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”的个数为（ ）
A. 120 B. 80 C. 20 D. 40
5.甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（ ）
A． B． C． D．
6.是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
8.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分.）
9.下列大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.杨辉三角把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合．根据杨辉三角判断下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数和为
D. 已知，则
11.已知函数的定义域为，其导函数满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共3小题，共15分.）
12.已知函数，则= .
13. 若5名学生要去两个地方参加志愿者活动，每人只能去一个地方，每个地方至少要有一人前往，则不同的分配方案有 种.
14.下列结论正确的是 .
（1）(x＋y)(2x－y)6的展开式中x4y3的系数为80；
（2）被7除的余数为 2；
（3）若(1－2x)2021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2021x2021(x∈R)，则＋＋＋…＋＝－1；
（4）(a<2)的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中各项系数和为1024，则展开式中第6项的系数最大.
四、解答题（本大题共5小题，共77分;解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.(本题13分) 已知函数在处取得极值，其中.
（1）求的值；
（2）当时，求的最大值和最小值.
16.（本题15分）现有大小相同的8个球，其中2个不同的红球，3个不同的白球，3个不同的黑球.
（1）将这8个球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？
（2）将这8个球排成一列，黑球不相邻且不排两端，有多少种排列的方法？
（3）若从8个球中任取4个球，则各种颜色的球都被取到的概率为多少？(最后答案用数字作答)
17.（本题15分）在的展开式中，若第3项的二项式系数为28，求：
(1)展开式中所有项的二项式系数之和；
(2)展开式中的有理项；
(3)展开式中系数最大的项．
18.（本题17分）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)讨论函数单调性．
19.（本题17分）已知a＞0，函数f(x)＝ax－x·ex．
(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)证明f(x)存在唯一极值点；
(3)若存在a，使得f(x)≤a＋b对于任意的x∈R成立，求实数b的取值范围．
