济宁市第一中学
2023—2024 学年度第二学期质量检测（二）
高二数学
注意事项：
1.答题前,考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形
码上的姓名、考生号和座号,并将条形码粘贴在指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.回答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔书写，按照题号在各题目的
答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。
保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
f (2) 3 lim f (2 3 x) f (2 x)1. 已知函数 在 上可导，若 ，则 =（ ）
x 0 x
A．9 B．12 C．6 D．3
2. 清明小长假前夕，甲、乙、丙三人从 A,B,C,D四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中
甲到过A景点，所以甲不选A景点，则不同的选法有（ ）
A．48 B．60 C．54 D．64
3. 设曲线 y
ln x
1在点 1,1 处的切线与直线 ax y 1 0垂直，则a （ ）
x
1 1
A． 1 B． C． D．1
2 2
4. f x x3 ax2 bx a2已知函数 在 x= 1处有极值 8，则 f 1 等于（ ）
A． 4 B．16 C． 4或 16 D．16或 18
5. 已知函数 f x x 2 sinx ,x 0, π ，则 f x 的最小值为（ ）
π π
A. π B． 0 C． 1 D． 2
4 2
6. f x aex已知函数 ln x在区间 1,2 上单调递增，则 a的最小值为（ ）．
A． e2 B． e 1 C．e D． e 2
x2 ln x
7. 函数 y 的图象大致是（ ）x
A． B．
{#{QQABQQqQggAAAIJAABhCAQGCCACQkBGAAAoOwAAEoAAAyAFABAA=}#}
C． D．
8. f x e
x
已知函数 2 2a ln x ax存在唯一的极值点，则实数 a的取值范围为（ ）x
e2 e2 e2 e2 e2 e2
A． , B． ， C． , 4 4
D． ,
4 4 4 4
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．
9.已知定义域为[ 3,5]的函数 ( )的导函数为 f (x)，且 f (x)的图象如图所示，则（ ）
A．函数 f(x)在区间（0，3）上单调递增 B. 函数 f(x)在（ 2，2）上单调递减
C．函数 f(x)在 x 2处取得极小值 D．函数 f(x)在 x 3处取得极大值
10. 若点 P是曲线 y ln x x2上任意一点，点 Q是直线 x + y 1 = 0上任意一点，下列
选项中， 的可能取值有（ ）
1
A. 2 B. 2 C. 2 D.
4 2 e
11. 已知函数 f x e2x 2a x 2 ex a2x2 a 0 ，则（ ）
A．当 a e时，函数 f x 恰有 1个零点
B．当 a e时，函数 f x 恰有 2个极值点
C．当 a e2时，函数 f x 恰有 2个零点
D．当函数 f x 恰有 2个零点时，必有一个零点为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知函数 f (x) 3 f (1)x x2 ln x 1 ，则 f (2) = .
2
13. 某小区有 5个区域要种上鲜花（如图），现有四种不同品种的鲜花可供选择，每个区域
只能种一种鲜花，要求相邻区域不能种同一种鲜花，则符合条件的方案有 种.
{#{QQABQQqQggAAAIJAABhCAQGCCACQkBGAAAoOwAAEoAAAyAFABAA=}#}
14.已知函数 f x 是定义在 ,0 U 0, 上的偶函数，其导函数为 f x ，当 x 0时，
f x xf x 1，且 f 2 3，则不等式 f x x 1的解集是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤．
15.（本题满分 13分）
1
求函数 = 3 2 + 3 3在区间 1,2 上的最大值和最小值．
3
16.（本题满分 15分）
已知函数 = 3 2，曲线 = 在点 1, 1 处的切线 的斜率为 1，其中 ∈ .
(1)求 的值和 的方程；
(2)证明：当 ∈ 0, + ∞ 时， ≥ ln .
17.（本题满分 15分）
已知函数 f x lnx mx 2．
(1)求 f x 的极值；
(2)若 f x 1在区间 , e
有 2个零点，求m的取值范围．
e2
{#{QQABQQqQggAAAIJAABhCAQGCCACQkBGAAAoOwAAEoAAAyAFABAA=}#}
18.（本题满分 17分）
某市为提高市民的健康水平，拟在半径为 20米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健
身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形 区域
是休闲健身区，以 为底边的等腰三角形区域 是儿童活动区， ， ， 三点在圆弧
上， 中点恰好在为圆心 ．设∠ = ，健身广场的面积为 ．
(1)求出 关于 的函数解析式；
(2)当角 取何值时，健身广场的面积最大？
19．（本题满分 17分）
已知函数 f x ex 1 .
(1)若 g x f x ax(a R)，讨论 g x 的单调性;
(2)当 x 0时，都有 x k 1 f x x 1 0成立，求整数 k的最大值.
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2023—2024 学年度第二学期质量检测（二）
高二数学答案
一．单选题
1. B 2. A 3. D 4. A 5. C 6. B 7. D 8. B
二．多选题
9. BC 10. AC 11. ABD
三．填空题
1
12. + 2 13. 72 14. ( , 2) (2,+ )
2
四．解答题
15. （本题满分 13 分）
1
解： ( ) = 3 2 + 3 3，则 ′( ) = 2 2 + 3，
3
令 ′( ) = ( + 3)( 1) = 0，得 x1 = 3， 2 = 1． …………5 分
当 x变化时， ′( )， ( )在[ 1,2]的变化情况如下表：
-1 ( 1,1) 1 (1,2) 2
′( ) + 0 -
20 4 11
( ) 单调递增 单调递减
3 3 3
…………12 分
4 20
所以 ( )在[ 1,2]上的最大值为 ，最小值为 ． …………13 分
3 3
16.（本题满分 15 分）
解：（1）由已知 ′( ) = 3 2 2 .…………1 分
因为曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线 的斜率为 1，
所以 ′(1) = 3 2 = 1，解得 = 1，又 (1) = 1 = 0 .………...4 分
所以切线方程为 = 1，即 1 = 0； .…………6 分
1 (2 +1)( 1)
（2）令 ( ) = 2 ln ( > 0)，则 ′( ) = 2 1 = ，
.…………8 分
{#{QQABQQqQggAAAIJAABhCAQGCCACQkBGAAAoOwAAEoAAAyAFABAA=}#}
令 ′( ) > 0，得 > 1，令 ′( ) < 0，得0 < < 1，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增， .…………12 分
所以 ( ) ≥ (1) = 0，即 2 ln ≥ 0，
整理得 2 ≥ ln ， .…………13 分
所以 3 2 ≥ ln ，即 ( ) ≥ ln . .…………15 分
17.（本题满分 15 分）
1
解：（1）因为 f (x) = lnx mx + 2，定义域为 (0,+ )，所以 f (x) = m，
x
1
当m 0时，由于 0，则 f ( x) >0恒成立，
x
所以 f (x)在 (0,+ )上单调递增， f (x)无极值. .…………2 分
1
当m 0时，令 f (x) = 0，解得 x = ，.………3 分
m
1 1
当0 x 时， f ( x) >0，则 f (x)在 0, 上单调递增；
m m
1 1
当 x 时， f (x) 0，则 f (x)在 ,+ 上单调递减. .…………5 分
m m
1
所以当m 0时， f (x)在 x = 处取极大值1 lnm，无极小值. .…………6 分
m
综上：当m 0时， f (x)无极值；
1
当m 0时， f (x)在 x = 处取极大值1 lnm，无极小值. .…………7 分
m
（2） f (x) = lnx mx + 2，
lnx + 2 lnx + 2 1
令 lnx mx+ 2 = 0，得 = m，令 g (x) = ， f (x)在区间
x x
,e
2 有 2 个零点，
e
1
即 y =m与 y = g (x)在区间 ,e2 有 2 个交点， .…………9 分
e
lnx + 2 1 lnx 1 lnx 1
g (x) = ， g (x) = ，令 g (x) = = 02 2 ，解得： x = ；.………11 分 x x x e
1 1
当 x 0, ， g (x) 0， g (x)在 0, 上单增，
e e
1 1
当 x ,+ ， g (x) 0， g (x)在 ,+ 上单减，.…………13 分
e e
1 3 1
y = g (x)的最大值为 g = e， g (e) = > g = 02 ，.…………14 分
e e e
1
y =m
3
与 y = g (x)在区间 ,e2 有 2 个交点，则 m e ． .…………15 分
e e
18.（本题满分 17 分）
{#{QQABQQqQggAAAIJAABhCAQGCCACQkBGAAAoOwAAEoAAAyAFABAA=}#}
解：（1）由已知得 = 20 sin ， = 20 cos ，
等腰△ 底边 上的高为20 20 sin ， …………3 分
1
所以 = 2 × 20 × 20 + × 40 (20 20 )
2
= 800 + 400( ) = 400(2 + )
= 400( + ) …………5 分
所以 = 400( + ),（0 < < ）． …………7 分
2
（2）设 ( ) = + ，
1
则 f ( ) = cos2 sin2 sin = 2sin2 sin +1= 2 sin (sin +1)，
2
…………10 分
′ π π π由 ( ) > 0得0 ， ′( ) < 0得 ，
6 6 2
由 ( )在(0, )上单调递增，在( , )上单调递减， …………13 分
6 6 2
π 3 3 3 3
所以 = 时， f ( ) = f = + = ， …………15 分 6 max 6 4 2 4
3 3
所以 √ = × 400 = 300√3， …………16 分 4
即 = 时，健康广场的面积最大，最大值为
6 300√3
2． …………17 分
19.（本题满分 17 分）
x x
解：（1） g (x) = e 1 ax，定义域为 R，且 g (x) = e a，…………1 分
当a 0时， g (x) = ex a 0 x恒成立，故 g (x) = e 1 ax在 R 上单调递增
…………3 分
当a 0时，令 g (x) 0得， x ln a，此时 g (x)单调递增，
令 g (x) 0得， x ln a，此时 g (x)单调递减， …………5 分
综上：当a 0时， g (x)在 R 上单调递增，
当a 0时， g (x)在 ( , ln a)上单调递减，在 (ln a,+ )上单调递增；
…………6 分
（2）由题意得， (x k 1)(ex 1)+ x +1 0在 x (0,+ )上恒成立，
{#{QQABQQqQggAAAIJAABhCAQGCCACQkBGAAAoOwAAEoAAAyAFABAA=}#}
x +1
因为 x 0，所以ex 1 0，故 x + k +1， …………7x 分 e 1
x +1
令u (x) = x + ， x (0,+ )，只需u (x) k +1
ex
，
1 min
ex x e
x (ex 1 (x +1)e x 2)
u (x) =1+ =2 2 ， …………8 分
(ex 1) (ex 1)
令w(x) = ex x 2， x (0,+ )，
x
则w (x) = e 1 0在 x (0,+ )上恒成立， …………9 分
故w(x) = ex x 2在 x (0,+ )上单调递增，
又w(1) = e 3 0,w(2) = e2 4 0， …………11 分
故存在 x0 (1,2)，使得w(x0 ) = 0，即
x
e 0 x0 2 = 0 ， …………12 分
x +1
当 x (0, x )时，w(x) 0，u (x) 00 ，u (x) = x + x 单调递减， e 1
x +1
当 x (x ,+ )时，w(x) 0，u (x) 00 ，u (x) = x + 单调递增，
ex 1
x +1
故u (x) = x + x 在 x = x0处取得极小值，也是最小值，…………14 分 e 1
x0 +1 x0 +1u (x0 ) = x0 + = x + = x +1 2,3x 0 0 ( )， …………16 分
e 0 1 x0 + 2 1
所以 k +1 u (x0 ) (2,3)，故整数 k 的最大值为 1. …………17 分
{#{QQABQQqQggAAAIJAABhCAQGCCACQkBGAAAoOwAAEoAAAyAFABAA=}#}
