第九章 图形的相似单元测试题（含答案）
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第九章 图形的相似
单元测试题
(120 分 90 分钟)
一、选择题(每题3 分，共36分)
1.已知2x=3y(xy≠0),则下列比例式成立的是( )
2.如图是某商店售卖的花架简图，其中AD∥BE∥CF,DE=24 cm,EF=40 cm,BC=50cm,则AB
长为( )
C.50 cm D.30 cm
3.若 则 的值为( )
A. B.
4.如图所示,在△ABC中,若DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式正确的是( )
第4题图 第5题图
5.如图,△ABC的两条中线BE,CD 交于点 O，则下列结论不正确的是( )
C.△ADE∽△ABC
6.如图,点P是 边AB上的一点,射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有( )
A.0 对 B.1 对 C.2 对 D.3 对
7.两个相似五边形的一组对应边的长分别是4 cm,6 cm,若它们的面积和是 则较大的五边形的面积是( )
C.52 cm
8.在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，作△ABC 的位似图形△A'B'C',△ABC与△A'B'C'相似比为1:2,若点A 的坐标为(2,3),则点 A'的坐标为( )
A.(1,1.5)或(-1,-1.5) B.(4,6)或(-4,-6)
C.(-4,6)或(4,-6) D.(-1,1.5)或(1,-1.5)
9.如图,在△ABC 中,∠B =90°,∠A =30°, BC=2,D为AB的中点.若点E 在边AC 上,且 则AE 的长为( )
A.1 B.2 C.1 或 D.1 或2
第9题图 第10题图
10.如图所示，给出下列条件：①∠B =∠ACD;②∠ADC =∠ACB;③ ;④AC =AD·AB.其中能够单独判定△ABC∽△ACD的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图,在△ABC 中,AB=4,BC=6,AC=5,点 D,E 分别在边BC,AC上,且BD=4.若以点 C,D,E为顶点的三角形与△ABC 相似,则AE 的长度为( )
或 或
第11题图 第12题图
12.如图,正方形ABCD 的边长为4,点 E,F分别在边 DC,BC上,且. AE平分连接DF,分别交AE,AC 于点G,M. P 是线段AG上的一个动点,过点P 作PN⊥AC,垂足为 N,连接PM.有下列四个结论:
①AE 垂直平分 DM;②PM+PN的最小值为 3 ;③CF =GE·AE;④
其中正确的是( )
A.①② B.②③④ C.①③④ D.①③
二、填空题(每题3 分，共18分)
13.若 则
14.黄金分割在生活中的应用十分广泛，例如大多数窗户的宽和长的比是黄金比，已知某扇窗户的长为 1.8 m，则宽约为______________m.(结果精确到0.1)
15.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度. 如图，点A，B，Q在同一水平线上， 和∠AQP 均为直角,AP 与BC 相交于点D. 测得
BD=20cm,AQ=12 m,则树高 PQ=_____________m.
16. 已知 且 a + b + c≠0,则 __________.
17.【2023·广东边长分别为 10,6,4 的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为___________.
第17题图 第18题图
18.如图，等边三角形ABC 的边长为3,点D 在边 AC 上, 线段 PQ 在边 BA 上运动,若 当AQ=___________时,△AQD 与 相似.
三、解答题(19～21 题每题8分,22～24 题每题10 分,25 题12分,共66 分)
19.(1)若 求 的值.
(2)若 且 求a:b:c.
20.如图，一个矩形的长 宽 按照图中所示的方式将它分割成相同的三个矩形，且每个小矩形与原矩形相似，求a的值.
21.如图,AB 与CD相交于点E,点 F 在线段AD上,且∥∥若
(1)求 AD 的值.
(2)求 的值.
22.如图，在边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy， 的顶点都在格点上.
(1)以坐标原点 O 为位似中心，在第四象限将 放大为原来的2 倍得到 请作出
(2)在(1)的条件下,若 内的点 位似的对应点为点 Q，则点 Q 的坐标为____________.
23.如图,,点 B 是线段AD上的一点，且 已知
(1)证明:
(2)求线段 BD 的长.
24.小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点 A 处放一平面镜，从A 处沿 NA 方向后退1m 到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点 M，再将平面镜沿 NA 方向继续向后移动15 m放在D 处(即15 m),从点 D 处向后退 1.6m,到达点 E 处,恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点 M，已知小明眼睛到地面的距离 ，请根据题中提供的相关信息，求出该塔的高度 MN(平面镜大小忽略不计)
25.如图,已知菱形 ABCD,点E是BC 上的点,连接 DE,将沿 DE 翻折,点 C恰好落在AB边上的 F 点处,延长FE,交 DC 延长线于点 G.
(1)求证:
(2)若菱形ABCD的边长为5, ,求BE的长.
参考答案
一、1. B
2. D 【点拨】 ∥∥即
3. C 【点拨】
4. C 【点拨】 ∥∥∴四边形 DEFB 是平行四边形，
∥∥AB
∥
5. D 【点拨】由题易知 ∥A选项结论正确，不符合题意； B 选项结论正确，不符合题意; ∥C 选项结论正确，不符合题意；∵∥D选项结论错误，符合题意.
6. D 【点拨】∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∥DC, ∥
易知 故有3 对相似三角形.
7. D 【点拨】∵ 两个相似五边形的一组对应边的长分别是4 cm，6 cm，∴这两个相似五边形的相似比为2：3.设较大的五边形的面积为 则较小的五边形的面积为 解得 即较大的五边形的面积为：
8. B 【点拨】在同一象限内, 与 是以原点O 为位似中心的位似图形，其中相似比是1:2,点A 的坐标为(2,3),∴则点. 的坐标为(4，6)；不在同一象限内， 与 是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是1：2，点A的坐标为(2,3),∴ 则点 的坐标为 故选 B.
9. D 【点拨】在 中, 2 ∵点 D 是AB 的中点, 如图①,当 时,
如图②,当时,取AC的中点H,连接DH.
∵点D是AB中点,点H是AC的中点, ∥BC
DE =1,∴ ∠DEH = 60°,∴ ∠ADE = ∠A = 30°,
∴AE=DE=1,故选 D.
10. C 【点拨】由于∠A 公用,因此条件①∠B =都能够单独判定△ABC∽△ACD,共3个.
11. C 【点拨】当△CDE∽△CBA 时,∴CD:CB=CE: CA.∵BC=6,BD=4,∴CD=BC-DB=2.∵AC=5, 当△CDE∽△CAB 时,∴DC:CA=CE:BC,∴2:5=综上 AE 的长度为 或
12. D 【点拨】①∵四边形ABCD 是正方形,∴ AD=DC=BC,∠ADC=∠DCB=90°.
∵ BF=CE,∴BC-BF = DC -CE,即 CF = DE,
在△ADE 和△DCF中 ∴△ADE≌△DCF(SAS),
∴ ∠DAE = ∠CDF.∵ ∠CDF + ∠ADG = 90°,∴∠DAE+∠ADG=90°,∴∠AGD=90°,∴ ∠AGM=90°,∴ ∠AGM = ∠AGD. ∵ AE 平 分 ∠CAD, ∴∠MAG=∠DAG.又∵ AG 为公共边,∴△AGM≌△AGD(ASA),∴GM= GD. 又∵ ∠AGM=∠AGD=90°,∴AE垂直平分 DM,故①正确;②如图,连接BD 与AC交于点O,交 AG 于点 H,连接 HM. ∵四边形 ABCD 是正方形,∴ AC⊥BD,即DO⊥AM.∵AE垂直平分 DM,∴ HM= HD,当点P与点 H 重合时,PM + PN 的值最小,此时 PM + PN= HM+HO =HD + HO = DO,即PM + PN的最小值是 DO 的长.∵ 正方形 ABCD 的边长为 4,∴AC = BD =即 PM +PN 的最小值为故②错误;③∵AE 垂直平分 DM,∴∠DGE =90°. ∵ ∠ADC = 90°, ∴ ∠DGE = ∠ADC.
又∵ 即 由①知·AE,故③正确;④∵AE 垂直平分 DM,∴ AM=AD=4. 又∵ 故④错误. 综上，正确的是①③.
二、13. 【点拨】
14.1.1 【点拨】设窗户的宽为 x m.∵窗户的宽和长的比是黄金比， ∴ 宽约为1.1 m.
15.6 【点拨】由题意可得, 即 解得 ∴树高
【点拨】设
17.15 【点拨】如图,
∵ BF∥DE, ∥
∴ CK=5,∴HK=6-5=1,∴ 阴影梯形的面积 =
或1 或 【点拨】∵等边三角形ABC的 边长为设 则 BP与 相似分两种情况：
①当 时,即 解得 经检验， 均为原方程的解,且符合题意;
②当△AQD∽△BPC 时, 一旦以 解得 经检验， 是原方程的解，且符合题意. 综上所述，AQ的长是 或1 或
三、19.【解】(1)设 则 x=
(2)设 则 a =3k-2,21,解得 k=2,∴a =6-2 =4,b=8,c=7,∴ a:b:c=4:8:7.
20.【解】∵ 每个小矩形与原矩形相似， 解得 或 (舍去),
21.【解】(1)设 解得 x=7.5.∴AD=7.5.
22.【解】(1)如图, 即为所作.
23.(1)【证明】·
(2)【解】
24.【解】根据题意得 90°,∴Rt△AMN∽Rt△ACB,
即
∴ Rt△MND∽Rt△FED,
即
由①②得 解得 解得
∴ 该塔的高度MN 为 43.5m.
25.(1)【证明】∵ 四边形ABCD 是菱形,∴∠A =∠BCD. 由折叠知∠DFG = ∠BCD,
∴ ∠A =∠DFG.
∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∥∴∠AFD=∠FDG.∴△DFG∽△FAD.
(2)【解】由翻折知DF=DC=5.
∵△DFG∽△FAD, 即
∵AB =5,AF=3,∴ BF=2.
∵CG∥BF,∴易得
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第九章 图形的相似
单元测试题
(120 分 90 分钟)
一、选择题(每题3 分，共36分)
1.已知2x=3y(xy≠0),则下列比例式成立的是( )
2.如图是某商店售卖的花架简图，其中AD∥BE∥CF,DE=24 cm,EF=40 cm,BC=50cm,则AB
长为( )
C.50 cm D.30 cm
3.若 则 的值为( )
A. B.
4.如图所示,在△ABC中,若DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式正确的是( )
第4题图 第5题图
5.如图,△ABC的两条中线BE,CD 交于点 O，则下列结论不正确的是( )
C.△ADE∽△ABC
6.如图,点P是 边AB上的一点,射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有( )
A.0 对 B.1 对 C.2 对 D.3 对
7.两个相似五边形的一组对应边的长分别是4 cm,6 cm,若它们的面积和是 则较大的五边形的面积是( )
C.52 cm
8.在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，作△ABC 的位似图形△A'B'C',△ABC与△A'B'C'相似比为1:2,若点A 的坐标为(2,3),则点 A'的坐标为( )
A.(1,1.5)或(-1,-1.5) B.(4,6)或(-4,-6)
C.(-4,6)或(4,-6) D.(-1,1.5)或(1,-1.5)
9.如图,在△ABC 中,∠B =90°,∠A =30°, BC=2,D为AB的中点.若点E 在边AC 上,且 则AE 的长为( )
A.1 B.2 C.1 或 D.1 或2
第9题图 第10题图
10.如图所示，给出下列条件：①∠B =∠ACD;②∠ADC =∠ACB;③ ;④AC =AD·AB.其中能够单独判定△ABC∽△ACD的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图,在△ABC 中,AB=4,BC=6,AC=5,点 D,E 分别在边BC,AC上,且BD=4.若以点 C,D,E为顶点的三角形与△ABC 相似,则AE 的长度为( )
或 或
第11题图 第12题图
12.如图,正方形ABCD 的边长为4,点 E,F分别在边 DC,BC上,且. AE平分连接DF,分别交AE,AC 于点G,M. P 是线段AG上的一个动点,过点P 作PN⊥AC,垂足为 N,连接PM.有下列四个结论:
①AE 垂直平分 DM;②PM+PN的最小值为 3 ;③CF =GE·AE;④
其中正确的是( )
A.①② B.②③④ C.①③④ D.①③
二、填空题(每题3 分，共18分)
13.若 则
14.黄金分割在生活中的应用十分广泛，例如大多数窗户的宽和长的比是黄金比，已知某扇窗户的长为 1.8 m，则宽约为______________m.(结果精确到0.1)
15.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度. 如图，点A，B，Q在同一水平线上， 和∠AQP 均为直角,AP 与BC 相交于点D. 测得
BD=20cm,AQ=12 m,则树高 PQ=_____________m.
16. 已知 且 a + b + c≠0,则 __________.
17.【2023·广东边长分别为 10,6,4 的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为___________.
第17题图 第18题图
18.如图，等边三角形ABC 的边长为3,点D 在边 AC 上, 线段 PQ 在边 BA 上运动,若 当AQ=___________时,△AQD 与 相似.
三、解答题(19～21 题每题8分,22～24 题每题10 分,25 题12分,共66 分)
19.(1)若 求 的值.
(2)若 且 求a:b:c.
20.如图，一个矩形的长 宽 按照图中所示的方式将它分割成相同的三个矩形，且每个小矩形与原矩形相似，求a的值.
21.如图,AB 与CD相交于点E,点 F 在线段AD上,且∥∥若
(1)求 AD 的值.
(2)求 的值.
22.如图，在边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy， 的顶点都在格点上.
(1)以坐标原点 O 为位似中心，在第四象限将 放大为原来的2 倍得到 请作出
(2)在(1)的条件下,若 内的点 位似的对应点为点 Q，则点 Q 的坐标为____________.
23.如图,,点 B 是线段AD上的一点，且 已知
(1)证明:
(2)求线段 BD 的长.
24.小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点 A 处放一平面镜，从A 处沿 NA 方向后退1m 到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点 M，再将平面镜沿 NA 方向继续向后移动15 m放在D 处(即15 m),从点 D 处向后退 1.6m,到达点 E 处,恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点 M，已知小明眼睛到地面的距离 ，请根据题中提供的相关信息，求出该塔的高度 MN(平面镜大小忽略不计)
25.如图,已知菱形 ABCD,点E是BC 上的点,连接 DE,将沿 DE 翻折,点 C恰好落在AB边上的 F 点处,延长FE,交 DC 延长线于点 G.
(1)求证:
(2)若菱形ABCD的边长为5, ,求BE的长.
参考答案
一、1. B
2. D 【点拨】 ∥∥即
3. C 【点拨】
4. C 【点拨】 ∥∥∴四边形 DEFB 是平行四边形，
∥∥AB
∥
5. D 【点拨】由题易知 ∥A选项结论正确，不符合题意； B 选项结论正确，不符合题意; ∥C 选项结论正确，不符合题意；∵∥D选项结论错误，符合题意.
6. D 【点拨】∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∥DC, ∥
易知 故有3 对相似三角形.
7. D 【点拨】∵ 两个相似五边形的一组对应边的长分别是4 cm，6 cm，∴这两个相似五边形的相似比为2：3.设较大的五边形的面积为 则较小的五边形的面积为 解得 即较大的五边形的面积为：
8. B 【点拨】在同一象限内, 与 是以原点O 为位似中心的位似图形，其中相似比是1:2,点A 的坐标为(2,3),∴则点. 的坐标为(4，6)；不在同一象限内， 与 是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是1：2，点A的坐标为(2,3),∴ 则点 的坐标为 故选 B.
9. D 【点拨】在 中, 2 ∵点 D 是AB 的中点, 如图①,当 时,
如图②,当时,取AC的中点H,连接DH.
∵点D是AB中点,点H是AC的中点, ∥BC
DE =1,∴ ∠DEH = 60°,∴ ∠ADE = ∠A = 30°,
∴AE=DE=1,故选 D.
10. C 【点拨】由于∠A 公用,因此条件①∠B =都能够单独判定△ABC∽△ACD,共3个.
11. C 【点拨】当△CDE∽△CBA 时,∴CD:CB=CE: CA.∵BC=6,BD=4,∴CD=BC-DB=2.∵AC=5, 当△CDE∽△CAB 时,∴DC:CA=CE:BC,∴2:5=综上 AE 的长度为 或
12. D 【点拨】①∵四边形ABCD 是正方形,∴ AD=DC=BC,∠ADC=∠DCB=90°.
∵ BF=CE,∴BC-BF = DC -CE,即 CF = DE,
在△ADE 和△DCF中 ∴△ADE≌△DCF(SAS),
∴ ∠DAE = ∠CDF.∵ ∠CDF + ∠ADG = 90°,∴∠DAE+∠ADG=90°,∴∠AGD=90°,∴ ∠AGM=90°,∴ ∠AGM = ∠AGD. ∵ AE 平 分 ∠CAD, ∴∠MAG=∠DAG.又∵ AG 为公共边,∴△AGM≌△AGD(ASA),∴GM= GD. 又∵ ∠AGM=∠AGD=90°,∴AE垂直平分 DM,故①正确;②如图,连接BD 与AC交于点O,交 AG 于点 H,连接 HM. ∵四边形 ABCD 是正方形,∴ AC⊥BD,即DO⊥AM.∵AE垂直平分 DM,∴ HM= HD,当点P与点 H 重合时,PM + PN 的值最小,此时 PM + PN= HM+HO =HD + HO = DO,即PM + PN的最小值是 DO 的长.∵ 正方形 ABCD 的边长为 4,∴AC = BD =即 PM +PN 的最小值为故②错误;③∵AE 垂直平分 DM,∴∠DGE =90°. ∵ ∠ADC = 90°, ∴ ∠DGE = ∠ADC.
又∵ 即 由①知·AE,故③正确;④∵AE 垂直平分 DM,∴ AM=AD=4. 又∵ 故④错误. 综上，正确的是①③.
二、13. 【点拨】
14.1.1 【点拨】设窗户的宽为 x m.∵窗户的宽和长的比是黄金比， ∴ 宽约为1.1 m.
15.6 【点拨】由题意可得, 即 解得 ∴树高
【点拨】设
17.15 【点拨】如图,
∵ BF∥DE, ∥
∴ CK=5,∴HK=6-5=1,∴ 阴影梯形的面积 =
或1 或 【点拨】∵等边三角形ABC的 边长为设 则 BP与 相似分两种情况：
①当 时,即 解得 经检验， 均为原方程的解,且符合题意;
②当△AQD∽△BPC 时, 一旦以 解得 经检验， 是原方程的解，且符合题意. 综上所述，AQ的长是 或1 或
三、19.【解】(1)设 则 x=
(2)设 则 a =3k-2,21,解得 k=2,∴a =6-2 =4,b=8,c=7,∴ a:b:c=4:8:7.
20.【解】∵ 每个小矩形与原矩形相似， 解得 或 (舍去),
21.【解】(1)设 解得 x=7.5.∴AD=7.5.
22.【解】(1)如图, 即为所作.
23.(1)【证明】·
(2)【解】
24.【解】根据题意得 90°,∴Rt△AMN∽Rt△ACB,
即
∴ Rt△MND∽Rt△FED,
即
由①②得 解得 解得
∴ 该塔的高度MN 为 43.5m.
25.(1)【证明】∵ 四边形ABCD 是菱形,∴∠A =∠BCD. 由折叠知∠DFG = ∠BCD,
∴ ∠A =∠DFG.
∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∥∴∠AFD=∠FDG.∴△DFG∽△FAD.
(2)【解】由翻折知DF=DC=5.
∵△DFG∽△FAD, 即
∵AB =5,AF=3,∴ BF=2.
∵CG∥BF,∴易得
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