第九章 图形的相似章末复习（含答案）
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第九章 图形的相似
章末复习
考点1 四个概念
概念1 成比例线段
1.下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是( )
A.1,2,2,3 B.1,2,3,4 C.1,2,2,4 D.3,5,9,13
2.有一块三角形的草地，它的一条边长为 25 m，在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为 4 cm，则其他两条边的实际长度都是___________m.
概念2 相似多边形
3.如图,四边形ABCD∽四边形 则∠α的度数是___________.
概念3 黄金分割
4.九年级的融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图比较美观，通过手绘(如图)、测量、计算发现点E 是AD 的黄金分割点，即 延长HF 与AD 相交于点G,则 __________DE.(精确到0.001)
第4题图 第5题图
概念4 位似图形
5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0),A(1,0),B(2,3), 若四边形与四边形 OABC 关于原点 O 位似，且四边形OA'B'C'的面积是四边形 OABC 面积的 4 倍,则第一象限内点 B'的坐标为____________.
考点2 两个性质
性质1 平行线分线段成比例
6.如图,在 中,D,E分别是AB,AC 上的点.且 若 CE=9 cm,则AE 的长是( )
A.13 cm B.18 cm C.16 cm D.15 cm
第6题图 第7题图
7.如图,直线 ∥∥ ,直线 AC 分别交 , , 于点 A,B,C;直线DF 分别交 , , 于点D,E,F. AC 与DF 相交于点H,且AH=2,HB =1,BC =5,则 的值为( )
B.2
性质2 相似三角形的性质
8.已知 △的周长为20cm,△A'B'C'的面积是求:
(1)△A'B'C'的周长.
(2)△ABC 的面积.
考点3 一个判定——相似三角形的判定
9. 如图,在△ABC中, 90°,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上,连接DE,EF,FD,已知点B 和点 F 关于直线 DE 对称.设 若 AD= DF,则
(结果用含k的代数式表示).
第9题图 第10题图
考点4 两个应用
应用1 测高的应用
10.在上完相似三角形一课后，小方设计了一个实验来测量学校教学楼的高度. 如图，在距离教学楼 MN 为18 m 的点 B 处竖立一个长度为2.8 m的直杆，小方调整自己的位置，使得他直立时眼睛所在位置点C、直杆顶点A 和教学楼顶点 M 三点共线. 测得人与直杆的距离DB 为2m ,人眼高度 CD 为1.6m,则教学楼的高度 MN为( )
A.12 m B.12.4 m C.13.6 m D.15.2 m
应用2 测宽的应用
11.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6m 有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度.
考点5 一个作图——作一个图形的位似图形
12.如图所示，小华在学习《图形的位似》时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了. 的位似图形
(1)在图中标出 与 的位似中心M点的位置，并写出 M 点的坐标.
(2)若以点O 为位似中心，请你帮小华在y轴左侧画出 的位似图形 且与 的位似比为2 :1.
考点6 一个技巧——证明四条线段成比例的技巧
13. 如图,已知 点 D 在 BA 的延长线上, 的平分线与∠CAD的平分线分别交 BC及BC 的延长线于点P,Q.
(1)求 的度数.
(2)若 M 为 PQ的中点,求证:
参考答案
1. C 【点拨】 故选项错误； 故选项错误； 故选项正确；D.故选项错误.
2.20
【点拨】∵ 四边形ABCD∽四边形.
4.0.618 【点拨】∵ 点 E 是 AD 的黄金分割点,且由题意得
5.(4,6) 【点拨】∵四边形( 与四边形 OABC 关于原点O 位似，且四边形的面积是四边形OABC 面积的4 倍,∴四边形与四边形OABC 的位似比是2:1,∵ 点 B(2,3),∴第一象限内点 的坐标为(4,6).
6. D 【点拨】
7. D 【点拨】 ∥∥
8.【解】(1 与的周长比为
的周长为20cm,∴ △A'B'C'的周长为 40 cm.
与的面积比为
的面积为的面积是
【点拨】∵ 点 B 和点 F关于直线 DE 对称,
∴∠A=∠DFA.
∵点B和点 F关于直线 DE对称,∴∠BDE =∠FDE.
∵∠BDE +∠FDE =∠BDF =∠A＋∠DFA，∴∠FDE＝∠DFA，
∴DE平行AC，∴∠C=∠DEB,∠DEF=∠EFC,
∵ 点B和点关于直线DE对称,∴∠DEB =∠DEF,∴ ∠C =
∥
10. C 【点拨】过点 C 作 CH⊥MN 于点 H,交 AB 于点 J.则四边形 CDBJ,四边形 CDNH 都是矩形,
∥
MH＋NH＝12＋1.6＝13.6（m）.
11.【解】过点 A 作 垂足为 F,延长AF 交BC 于点
∥
.解得
即河的宽度为45 m.
12.【解】(1)如图,点 M 为所作,M 点的坐标为(0,2).
(2)如图, 为所作.
13.(1)【解】∵ AP平分
∵AQ 平 分
又∵∠BAC+∠CAD=180°,∴∠PAC+∠CAQ=90°,即∠PAQ=90°.
(2)【证明】由(1)知∠PAQ=90°.
∵ M 是 PQ 的中点,∴ PM= AM.∴∠APM=∠PAM.
∵AP平分∠BAC,∴ ∠BAP=∠PAC.
又∵∠APM = ∠B +∠BAP,∠PAM = ∠CAM +∠PAC,∴∠CAM=∠B.
又∵∠AMC=∠BMA,∴ △ACM∽△BAM. 即
点方法 本题运用了转化思想，在证明等积式时， 常把它转化成比例式， 寻找相似三角形进行求解.
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第九章 图形的相似
章末复习
考点1 四个概念
概念1 成比例线段
1.下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是( )
A.1,2,2,3 B.1,2,3,4 C.1,2,2,4 D.3,5,9,13
2.有一块三角形的草地，它的一条边长为 25 m，在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为 4 cm，则其他两条边的实际长度都是___________m.
概念2 相似多边形
3.如图,四边形ABCD∽四边形 则∠α的度数是___________.
概念3 黄金分割
4.九年级的融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图比较美观，通过手绘(如图)、测量、计算发现点E 是AD 的黄金分割点，即 延长HF 与AD 相交于点G,则 __________DE.(精确到0.001)
第4题图 第5题图
概念4 位似图形
5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0),A(1,0),B(2,3), 若四边形与四边形 OABC 关于原点 O 位似，且四边形OA'B'C'的面积是四边形 OABC 面积的 4 倍,则第一象限内点 B'的坐标为____________.
考点2 两个性质
性质1 平行线分线段成比例
6.如图,在 中,D,E分别是AB,AC 上的点.且 若 CE=9 cm,则AE 的长是( )
A.13 cm B.18 cm C.16 cm D.15 cm
第6题图 第7题图
7.如图,直线 ∥∥ ,直线 AC 分别交 , , 于点 A,B,C;直线DF 分别交 , , 于点D,E,F. AC 与DF 相交于点H,且AH=2,HB =1,BC =5,则 的值为( )
B.2
性质2 相似三角形的性质
8.已知 △的周长为20cm,△A'B'C'的面积是求:
(1)△A'B'C'的周长.
(2)△ABC 的面积.
考点3 一个判定——相似三角形的判定
9. 如图,在△ABC中, 90°,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上,连接DE,EF,FD,已知点B 和点 F 关于直线 DE 对称.设 若 AD= DF,则
(结果用含k的代数式表示).
第9题图 第10题图
考点4 两个应用
应用1 测高的应用
10.在上完相似三角形一课后，小方设计了一个实验来测量学校教学楼的高度. 如图，在距离教学楼 MN 为18 m 的点 B 处竖立一个长度为2.8 m的直杆，小方调整自己的位置，使得他直立时眼睛所在位置点C、直杆顶点A 和教学楼顶点 M 三点共线. 测得人与直杆的距离DB 为2m ,人眼高度 CD 为1.6m,则教学楼的高度 MN为( )
A.12 m B.12.4 m C.13.6 m D.15.2 m
应用2 测宽的应用
11.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6m 有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度.
考点5 一个作图——作一个图形的位似图形
12.如图所示，小华在学习《图形的位似》时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了. 的位似图形
(1)在图中标出 与 的位似中心M点的位置，并写出 M 点的坐标.
(2)若以点O 为位似中心，请你帮小华在y轴左侧画出 的位似图形 且与 的位似比为2 :1.
考点6 一个技巧——证明四条线段成比例的技巧
13. 如图,已知 点 D 在 BA 的延长线上, 的平分线与∠CAD的平分线分别交 BC及BC 的延长线于点P,Q.
(1)求 的度数.
(2)若 M 为 PQ的中点,求证:
参考答案
1. C 【点拨】 故选项错误； 故选项错误； 故选项正确；D.故选项错误.
2.20
【点拨】∵ 四边形ABCD∽四边形.
4.0.618 【点拨】∵ 点 E 是 AD 的黄金分割点,且由题意得
5.(4,6) 【点拨】∵四边形( 与四边形 OABC 关于原点O 位似，且四边形的面积是四边形OABC 面积的4 倍,∴四边形与四边形OABC 的位似比是2:1,∵ 点 B(2,3),∴第一象限内点 的坐标为(4,6).
6. D 【点拨】
7. D 【点拨】 ∥∥
8.【解】(1 与的周长比为
的周长为20cm,∴ △A'B'C'的周长为 40 cm.
与的面积比为
的面积为的面积是
【点拨】∵ 点 B 和点 F关于直线 DE 对称,
∴∠A=∠DFA.
∵点B和点 F关于直线 DE对称,∴∠BDE =∠FDE.
∵∠BDE +∠FDE =∠BDF =∠A＋∠DFA，∴∠FDE＝∠DFA，
∴DE平行AC，∴∠C=∠DEB,∠DEF=∠EFC,
∵ 点B和点关于直线DE对称,∴∠DEB =∠DEF,∴ ∠C =
∥
10. C 【点拨】过点 C 作 CH⊥MN 于点 H,交 AB 于点 J.则四边形 CDBJ,四边形 CDNH 都是矩形,
∥
MH＋NH＝12＋1.6＝13.6（m）.
11.【解】过点 A 作 垂足为 F,延长AF 交BC 于点
∥
.解得
即河的宽度为45 m.
12.【解】(1)如图,点 M 为所作,M 点的坐标为(0,2).
(2)如图, 为所作.
13.(1)【解】∵ AP平分
∵AQ 平 分
又∵∠BAC+∠CAD=180°,∴∠PAC+∠CAQ=90°,即∠PAQ=90°.
(2)【证明】由(1)知∠PAQ=90°.
∵ M 是 PQ 的中点,∴ PM= AM.∴∠APM=∠PAM.
∵AP平分∠BAC,∴ ∠BAP=∠PAC.
又∵∠APM = ∠B +∠BAP,∠PAM = ∠CAM +∠PAC,∴∠CAM=∠B.
又∵∠AMC=∠BMA,∴ △ACM∽△BAM. 即
点方法 本题运用了转化思想，在证明等积式时， 常把它转化成比例式， 寻找相似三角形进行求解.
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