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☆重点难点剖析☆
17.1 变量与函数
变量：变量是指在某一变化过程中可以取不同数值的量。它们没有固定的值，通常用字母表示，可以在不同的条件下取不同的值。
常量：常量则是指在某一变化过程中数值始终保持不变的量。常量可以是固定的数字，也可以是固定的字母表达式。无论在什么条件下，常量的值都不会改变。
注意：常量和变量是相对的概念，它们取决于特定的函数或变化过程。在某个过程中可能是常量的值，在另一个过程中可能就会变化，成为变量。
题型一：变量与常量
【例题1】．（22-23六年级下·全国·单元测试）小亮帮母亲预算家庭月份电费开支情况，下表是小亮家月初连续天每天早上电表显示的读数．
日期︳日 1 2 3 4 5 6 7 8
电表读数︳度 21 24 28 33 39 42 46 49
（1）表格中反映的自变量是 ，因变量是 ．
（2）估计小亮家月份的用电量是 ，若每度电是元，估计他家月份应交的电费是 ．
【变式1】．（八年级下·全国·假期作业）小明和父母一起开车到离家200km的景点旅游，出发前，轿车油箱内储油45L，当行驶了150km时，发现油箱剩余油量为30L（假设行驶过程中该轿车的耗油量是均匀的）．
(1)这个变化过程中哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)写出行驶路程与剩余油量的关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)当时，求剩余油量Q的值．
1．（八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，梯形的上底长是5cm，下底长是13cm．当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化．
(1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______﹔
(2)梯形的面积与高之间的关系式为______；（不要求与自变量的取值范围）
(3)当梯形的高由10cm变化到1cm时，梯形的面积由______变化到______．
2．（七年级下·福建漳州·期中）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定、在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值．
所挂物体质量 0 1 2 3 4 5
弹簧长度 19 21 23 25 27 29
(1)上表反映了两个变量之间的关系，___________是自变量，___________是因变量．
(2)当不挂重物时，弹簧长度为___________．
(3)当所挂物体质量每增加时，弹簧长度增加___________．
(4)根据上表，与的关系式为___________，当所挂重物为时（在允许范围内），弹簧长度为___________．
3．（七年级下·四川达州·期末）如图，某校学习小组在做实验中发现弹簧挂上物体后会伸长，在弹簧限度内测得这个弹簧的长度与悬挂的物体的质量间有下面的关系：
物体的质量 0 1 2 3 4 5 …
弹簧的长度 10 12 14 16 18 20 …
(1)上表变量之间的关系中自变量是______，因变量是______；
(2)弹簧不悬挂重物时的长度为______；物体质量每增加1，弹簧长度y增加______；
(3)当所挂物体质量是时，弹簧的长度是______cm；
(4)直接写出y与x的关系式：______．
4．（七年级下·安徽宿州·期中）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数（人）与每月利润（利润=收入费用-支出费用）（元）的变化关系如下表表示（每位乘客的公交票价是固定不变的）：
乘车人数（人） 500 1000 1500 2000 2500 3000 ——
每月利润（元） 0 1000 2000 ——
(1)在这个变化过程中，______________是自变量，______________是因变量；
(2)观察表格中数据可知，每月乘客量达到______________人以上时，该公交车才不会亏损；
(3)请写出y与x之间的关系式，并计算当每月乘车人数为3500时，每月利润为多少元？
(4)若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达______________人．
5．（七年级下·山西临汾·期末）地表以下岩层的温度/与所处深度/有如下关系：
深度/ 1 2 3 4 5
温度/ 55 90 125 160 195
(1)上表中自变量x是______，因变量y是_______．
(2)请写出y与x的关系式．
(3)根据（2）中的关系式，估计地表以下7处岩层的温度．
6．（八年级下·陕西延安·阶段练习）地表以下岩层的温度与它所处的深度有表中的关系：
岩层的深度 1 2 3 4 5 6
岩层的温度 55 90 125 160 195 230
(1)上表中自变量是__________，因变量是__________；
(2)岩层的深度h每增加，温度t是怎样变化的？
(3)岩层的温度为时，估计岩层的深度是多少？
7．（八年级·全国·假期作业）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润=收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）．
x（人） 500 1000 1500 2000 2500 3000 …
y（元） 0 1000 2000 …
(1)在这个变化过程中，___________是自变量，___________是因变量；
(2)观察表中数据，每月乘客量达到 ___________人以上时，该公交车才不会亏损；
(3)请写出每月利润y（元）与每月的乘车人数x（人）之间的关系式；
(4)当每月乘车人数为5000人时，每月利润为多少元？
(5)若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达多少人？
函数的定义:在某变化过程中，有两个变量，并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，都有唯一确定的值和它对应,则叫自变量，是的函数.
注意：具有任意性，具有唯一性
自变量的取值范围：
①分式分母不等于0
②二次根式被开方数要大于等于0
③负指数幂的底数不能为0
题型二：根据关系式和图像判断它是否为函数
【例题2】．（八年级下·全国·假期作业）下列是关于变量x，y的关系式：①②；③；④.其中是的函数的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④
【变式2】．（八年级下·吉林长春·阶段练习）下列关系式中不是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例题3】．（八年级上·安徽合肥·阶段练习）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】．（八年级下·全国·单元测试）在下列各图象中，y不是x的函数的是( )
A．A B．B C．C D．D
1．（八年级上·安徽六安·阶段练习）下列曲线中，表示是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（八年级下·广东广州·期中）下列各曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023八年级上·浙江·专题练习）下列图象中，y不是x的函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（八年级上·江苏·周测）下列式子中，能表示y是x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
题型三：自变量的取值范围
【例题4】．（九年级上·四川成都·期中）函数中，自变量x的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【变式4】．（九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≠2 C．x≥2 D．x≥1且x≠2
【例题5】．（八年级上·辽宁沈阳·期中）小明在劳动技术课中要制作一个周长为的等腰三角形，则底边长，腰长的函数表达式和自变量的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5】．（八年级上·上海金山·期中）已知一个等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是10，则底边y关于腰长x之间的函数关系式及定义域为（ ）
A．y＝10﹣2x（5＜x＜10） B．y＝10﹣2x（2.5＜x＜5）
C．y＝10﹣2x（0＜x＜5） D．y＝10﹣2x（0＜x＜10）
1．（九年级上·山东威海·期末）函数的自变的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
2．（八年级下·吉林白山·期末）函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
3．（八年级下·河北保定·期末）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
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17.1 变量与函数
变量：变量是指在某一变化过程中可以取不同数值的量。它们没有固定的值，通常用字母表示，可以在不同的条件下取不同的值。
常量：常量则是指在某一变化过程中数值始终保持不变的量。常量可以是固定的数字，也可以是固定的字母表达式。无论在什么条件下，常量的值都不会改变。
注意：常量和变量是相对的概念，它们取决于特定的函数或变化过程。在某个过程中可能是常量的值，在另一个过程中可能就会变化，成为变量。
题型一：变量与常量
【例题1】．（22-23六年级下·全国·单元测试）小亮帮母亲预算家庭月份电费开支情况，下表是小亮家月初连续天每天早上电表显示的读数．
日期︳日 1 2 3 4 5 6 7 8
电表读数︳度 21 24 28 33 39 42 46 49
（1）表格中反映的自变量是 ，因变量是 ．
（2）估计小亮家月份的用电量是 ，若每度电是元，估计他家月份应交的电费是 ．
【答案】 日期 电表读数 120 58.8元
【详解】（1）表中反映的变量是日期和电表读数，自变量是日期，因变量是电表读数；
（2）每天的用电量为：度，
4月份用电量为：度，
∵每度电是元，
∴应缴纳费用为：元．
故答案为:（1）日期；电表读数
（2）度；元
【变式1】．（八年级下·全国·假期作业）小明和父母一起开车到离家200km的景点旅游，出发前，轿车油箱内储油45L，当行驶了150km时，发现油箱剩余油量为30L（假设行驶过程中该轿车的耗油量是均匀的）．
(1)这个变化过程中哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)写出行驶路程与剩余油量的关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)当时，求剩余油量Q的值．
【答案】(1)行驶路程是自变量，剩余油量是因变量．
(2)
(3)17
【详解】解：（1）行驶路程是自变量，剩余油量是因变量．
（2）∵该轿车平均每千米的耗油量为，
∴行驶路程与剩余油量的关系式为
．
（3）当时，．
1．（八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，梯形的上底长是5cm，下底长是13cm．当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化．
(1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______﹔
(2)梯形的面积与高之间的关系式为______；（不要求与自变量的取值范围）
(3)当梯形的高由10cm变化到1cm时，梯形的面积由______变化到______．
【答案】(1)梯形的高，梯形的面积；
(2)
(3)90，9
【详解】（1）在这个变化过程中，自变量是梯形的高，因变量是梯形的面积，
故答案为：梯形的高，梯形的面积；
（2）由题意得：，
梯形的面积与高之间的关系式为：，
故答案为：；
（3）当时，，
当时，，
当梯形的高由变化到时，梯形的面积由变化到，
故答案为：90，9．
2．（七年级下·福建漳州·期中）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定、在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值．
所挂物体质量 0 1 2 3 4 5
弹簧长度 19 21 23 25 27 29
(1)上表反映了两个变量之间的关系，___________是自变量，___________是因变量．
(2)当不挂重物时，弹簧长度为___________．
(3)当所挂物体质量每增加时，弹簧长度增加___________．
(4)根据上表，与的关系式为___________，当所挂重物为时（在允许范围内），弹簧长度为___________．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)，．
【详解】（1）解：由题意可得：上表反映了两个变量之间的关系，是自变量，是因变量．
故答案为：；
（2）由表中的数据可得：当时，，
故答案为：；
（3）当时，，当时，，
可知当所挂物体质量每增加时，弹簧长度增加，
故答案为：；
（4）由题意可得：
即解析式为：
将代入可得：
即弹簧长度为：
故答案为：，．
3．（七年级下·四川达州·期末）如图，某校学习小组在做实验中发现弹簧挂上物体后会伸长，在弹簧限度内测得这个弹簧的长度与悬挂的物体的质量间有下面的关系：
物体的质量 0 1 2 3 4 5 …
弹簧的长度 10 12 14 16 18 20 …
(1)上表变量之间的关系中自变量是______，因变量是______；
(2)弹簧不悬挂重物时的长度为______；物体质量每增加1，弹簧长度y增加______；
(3)当所挂物体质量是时，弹簧的长度是______cm；
(4)直接写出y与x的关系式：______．
【答案】(1)悬挂的物体的质量、弹簧的长度
(2)10、2；
(3)
(4)
【详解】（1）上表变量之间的关系中自变量是悬挂的物体的质量，因变量是弹簧的长度，
故答案为：悬挂的物体的质量、弹簧的长度；
（2）弹簧不悬挂重物时的长度为；物体质量每增加，弹簧长度y增加，
故答案为：10、2；
（3）当所挂物体质量是时，弹簧的长度是，
故答案为：26；
（4）与x的关系式为：，
故答案为：．
4．（七年级下·安徽宿州·期中）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数（人）与每月利润（利润=收入费用-支出费用）（元）的变化关系如下表表示（每位乘客的公交票价是固定不变的）：
乘车人数（人） 500 1000 1500 2000 2500 3000 ——
每月利润（元） 0 1000 2000 ——
(1)在这个变化过程中，______________是自变量，______________是因变量；
(2)观察表格中数据可知，每月乘客量达到______________人以上时，该公交车才不会亏损；
(3)请写出y与x之间的关系式，并计算当每月乘车人数为3500时，每月利润为多少元？
(4)若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达______________人．
【答案】(1)x，y
(2)2000
(3)（x为自然数），3000元
(4)
【详解】（1）解：乘车人数x是自变量，每月利润y是因变量．
（2）解：由表格知，乘客达到2000人以上时，不会亏损．
（3）解：设票价为a元，则，
解得，
∴（x为自然数）．
时，．
∴当每月乘车人数为3500时，每月利润为3000元．
（4）解：由题意，，
解得
∴想获得利润5000元，5月份的乘客量需达人．
5．（七年级下·山西临汾·期末）地表以下岩层的温度/与所处深度/有如下关系：
深度/ 1 2 3 4 5
温度/ 55 90 125 160 195
(1)上表中自变量x是______，因变量y是_______．
(2)请写出y与x的关系式．
(3)根据（2）中的关系式，估计地表以下7处岩层的温度．
【答案】(1)深度，温度
(2)
(3)
【详解】（1）解：由表格可知，上表中自变量x是深度，因变量y是温度，
故答案为：深度，温度；
（2）解：由表格可知，当深度增加1 ，温度增加35，
∴，
∴y与x的关系式为；
（3）解：将代入得，
∴地表以下7处岩层的温度为．
6．（八年级下·陕西延安·阶段练习）地表以下岩层的温度与它所处的深度有表中的关系：
岩层的深度 1 2 3 4 5 6
岩层的温度 55 90 125 160 195 230
(1)上表中自变量是__________，因变量是__________；
(2)岩层的深度h每增加，温度t是怎样变化的？
(3)岩层的温度为时，估计岩层的深度是多少？
【答案】(1)岩层的深度，岩层的温度
(2)
(3)
【详解】（1）解：上表反映了岩层的温度与岩层的深度之间的关系；
其中岩层的深度是自变量，岩层的温度是因变量；、
故答案为：岩层的深度，岩层的温度；
（2）解：由表可知：岩层的深度h每增加，温度t上升；
（3）解：由表中数据可知，岩层的温度与岩层的深度之间的关系为：，
当时，，
解得：，
∴估计岩层的深度为．
7．（八年级·全国·假期作业）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润=收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）．
x（人） 500 1000 1500 2000 2500 3000 …
y（元） 0 1000 2000 …
(1)在这个变化过程中，___________是自变量，___________是因变量；
(2)观察表中数据，每月乘客量达到 ___________人以上时，该公交车才不会亏损；
(3)请写出每月利润y（元）与每月的乘车人数x（人）之间的关系式；
(4)当每月乘车人数为5000人时，每月利润为多少元？
(5)若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达多少人？
【答案】(1)每月乘车人数，每月利润
(2)2000
(3)
(4)6000元
(5)4500
【详解】（1）解：表格中的两个变量为每月乘车人数和每月利润，
其中每月乘车人数是自变量，每月利润是因变量，
故答案为：每月乘车人数，每月利润；
（2）表格中，当乘车人数为2000人时，相应的每月利润为0元，
因此当乘车人数超过2000人时，才盈利，
故答案为：2000；
（3）表格中每月乘车人数与每月利润的变化规律为：
每月乘车人数每增加500人，每月利润就增加1000元，即每个人的票价为（元），
∴；
（4）当时，（元），
答：当每月乘车人数为5000人时，每月利润为6000元；
（5）当时，即，
解得．
故答案为：4500．
函数的定义:在某变化过程中，有两个变量，并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，都有唯一确定的值和它对应,则叫自变量，是的函数.
注意：具有任意性，具有唯一性
自变量的取值范围：
①分式分母不等于0
②二次根式被开方数要大于等于0
③负指数幂的底数不能为0
题型二：根据关系式和图像判断它是否为函数
【例题2】．（八年级下·全国·假期作业）下列是关于变量x，y的关系式：①②；③；④.其中是的函数的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④
【答案】B
【变式2】．（八年级下·吉林长春·阶段练习）下列关系式中不是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：选项、、中，每一个值都有一个值与它对应，
选项、、中是的函数，
选项中，给一个正值，有两个值与之对应，
选项中不是的函数，
故选：．
【例题3】．（八年级上·安徽合肥·阶段练习）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数．则只有D选项符合题意
故选：D．
【变式3】．（八年级下·全国·单元测试）在下列各图象中，y不是x的函数的是( )
A．A B．B C．C D．D
【答案】C
【详解】解:根据函数定义,如果在某变化过程中,有两个变量x、y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值,按照对应法则,y都有唯一确定的值和它对应.而C中的y的值不具有唯一性,所以不是函数图象.
所以C选项是正确的.
1．（八年级上·安徽六安·阶段练习）下列曲线中，表示是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y有且只有一个值与之相对应，所以y是x的函数，故本选项符合题意；
B．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意；
C．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意；
D．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（八年级下·广东广州·期中）下列各曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A．对于自变量的任何值，有时有两个值与之相对应，故不是的函数，不符合题意，
B．对于自变量的任何值，有时有两个值与之相对应，故不是的函数，不符合题意，
C．对于自变量的任何值，有时有两个值与之相对应，故不是的函数，不符合题意，
D．对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，故是的函数，符合题意，
故选：D．
3．（2023八年级上·浙江·专题练习）下列图象中，y不是x的函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意．
故选：C．
4．（八年级上·江苏·周测）下列式子中，能表示y是x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据函数的定义可知：
只有函数，当取值时，有唯一的值与之对应；
故选：B．
题型三：自变量的取值范围
【例题4】．（九年级上·四川成都·期中）函数中，自变量x的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选：B．
【变式4】．（九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≠2 C．x≥2 D．x≥1且x≠2
【答案】D
【详解】解：根据二次根式的意义可知：x-1≥0，即x≥1，
根据分式的意义可知：x-2≠0，即x≠2，
∴x≥1且x≠2．
故选：D．
【例题5】．（八年级上·辽宁沈阳·期中）小明在劳动技术课中要制作一个周长为的等腰三角形，则底边长，腰长的函数表达式和自变量的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：∵周长为的等腰三角形，则底边长，腰长，
∴，
整理得，
根据三角形的三边关系得，
解得，
故选：D．
【变式5】．（八年级上·上海金山·期中）已知一个等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是10，则底边y关于腰长x之间的函数关系式及定义域为（ ）
A．y＝10﹣2x（5＜x＜10） B．y＝10﹣2x（2.5＜x＜5）
C．y＝10﹣2x（0＜x＜5） D．y＝10﹣2x（0＜x＜10）
【答案】B
【详解】一个等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是10，
即
即
解得
即
解得
底边y关于腰长x之间的函数关系式为
故选B
1．（九年级上·山东威海·期末）函数的自变的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】C
【详解】∵ 有意义，
∴x-2≥0，
∴x≥2，
∵ 是分式，
∴ ≠0，
∴x≠2，
综上所述，
故选C．
2．（八年级下·吉林白山·期末）函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】A
【详解】根据题意得，x-1＞0，
解得，
故选：A．
3．（八年级下·河北保定·期末）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】D
【详解】解：由题意知：，
∴,
故选：D．
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