第四章数列达标练习（含答案）-2023-2024学年高中数学选择性必修第二册

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第四章数列达标练习-2023-2024学年高中数学选择性必修第二册
一、选择题
1．记为等差数列的前项和．若，，则公差（　　）
A． B．1 C．2 D．3
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S4＝12，则S7＝（　　）
A．30 B．36 C．42 D．48
3．已知正项等比数列中，其前项和为，若，，则公比的值为（　　）
A．2 B． C．2或 D．2或
4．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若数列是等差数列，，，则（　　）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
6．已知数列的前n项和，将该数列排成一个数阵（如图），其中第n行有个数，则该数阵第9行从左向右第8个数是（　　）
A．263 B．1052 C．528 D．1051
7．已知等差数列，是数列的前n项和，对任意的，均有成立，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．4
8．已知为数列的前n项积，若，则数列的前n项和（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．在数列中，若对于任意，都有，则（　　）
A．当或时，数列为常数列
B．当时，数列为递减数列，且
C．当时，数列为递增数列
D．当时，数列为单调数列
10．已知是正项等差数列，其公差为，若存在常数，使得对任意正整数均有，则以下判断不正确的是（　　）
A． B．d=0 C． D．
11．对于数列{an}，若存在正整数 k(k≥2)，使得akA．3 B．2 C．7 D．5
三、填空题
12．记为数列的前n项和.已知，，则数列的通项公式，是　 　.
13．在正项等比数列中，，，则满足的最小正整数的值为　 　.
14．已知数列中，，，，数列的前n项和为.若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是　 　.
四、解答题
15．已知等差数列 满足： ， ． 的前n项和为 ．
（1）求 及 ；
（2）令 （ ），求数列 的前 项和 ．
16．已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
17．已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
18．数列满足，.
（1）证明：；
（2）若数列满足，设数列的前n项和为，证明：.
19．已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列；数列的前n项和是，且，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，是否存在正整数m，使得对任意恒成立？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】A,B,C
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,D
12．【答案】
13．【答案】7
14．【答案】[4，+∞)
15．【答案】（1）解：设等差数列 的公差为 ，因为 ， ，所以有 ，
解得 ，所以 ，
（2）解由（1）知， ，
所以 ，
所以 ，
即数列 的前 项和 .
16．【答案】（1）解：∵数列满足，且，
∴时，
.
当时也成立，∴.
（2）解：，
∴数列的前项和
.
17．【答案】（1）解：由…①
当时，；
当时，有…②
①-②得：，即；
不符合上式，故.
（2）解：由（1）知
故当时，；
当时，，
；
因为符合上式，故.
18．【答案】（1）证明：右边：，
左边：法一（数学归纳法）：
，，
当时，
假设当时，成立
即，即成立
则当时，
综上所述，.
法二（求通项）：
，，
两边同时取对数得：
数列是以首项为，公比为的等比数列，
数列单调性证明：
思路1：由复合函数的单调性，知单调递增，；
思路2：，；
思路3：，；
综上所述，.
（2）证明：法一：放缩到裂项
因为，所以，
由（1）知
所以
所以
所以，
又，所以，所以.
法二：放缩到等比
，
所以，
所以，
所以
所以.
19．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
∵，，成等比数列，∴．
∴，解得，∴．
当时，，∴．
当时，，∴．
∴是以1为首项，以2为公比的等比数判，∴．
（2）解：由题意得，则．
∴
．
设，则，
∴当，2，3时，；当时，；当时，，
∴数列的最大项为，
∴，整理得，
∴存在正整数m，且m的最小值是5．
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