2023-2024学年河北省沧州市泊头一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年河北省沧州市泊头一中高一（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，，则( )
A. B. C. D.
3.欧拉在年给出的著名公式欧拉公式是数学中最卓越的公式之一，其中，底数，根据欧拉公式任何一个复数都可以表示成的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数，，则复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.用斜二测画法画水平放置的的直观图如图所示，则在的三边及中线中，最长的线段是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知锐角中，角，，的对边分别为，，若，，，则( )
A. B. C. D.
6.我国东汉末数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.已知中，角、、的对边分别是、、，若，则是( )
A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形
8.在中，角，，所对的边分别为，，，，，是内切圆的圆心，若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列说法不正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，
C. 与夹角为钝角时，则的取值范围为
D. 当时，在上的投影向量为
10.若复数满足，则可能为( )
A. B. C. D.
11.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 在向量上的投影向量为
C. 若，则为的中点
D. 若在线段上，且，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，且，其中为虚数单位，则的模为______．
13.已知向量，，， ______；在上的投影向量的坐标为______．
14.如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点若，则的值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，中，点为中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，．
用，表示，；
若，求．
16.本小题分
已知复数是虚数单位是方程的根，其中，是实数．
求和的值；
若是纯虚数，求实数的值．
17.本小题分
已知，，在同一平面内，且．
若，且，求；
若，且，求与的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知在中，角，，所对的边长分别为，，且满足．
求的大小；
若，，，求的长．
19.本小题分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，设点为的费马点，求；
设点为的费马点，，求实数的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，其虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：
；
．
故选C．
根据数量积的运算可得到，进而求出的值，从而得出的值．
考查数量积的运算，求而求的方法．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的指数与三角函数形式、复数的运算法则与几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础．
复数，，再利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】
解：复数，，
则复数在复平面内对应的点在第四象限．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由斜二测画法法则知，直观图对应的原图形是直角三角形，
其中是斜边，是直角边上的中线，所以最长的线段是．
故选：．
由斜二测画法法则知直观图对应的原图形是直角三角形，由此判断出结论．
本题考查了斜二测画法法则应用问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，
，，
，
为锐角三角形，，
而，，
由余弦定理可得，，
，
则．
故选：．
利用诱导公式、两角和的余弦公式化简已知条件，求得，利用余弦定理求得．
本题主要考查了诱导公式的应用，考查了两角和与差的三角函数公式，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：过作于，不妨设，，
则，，所以，，，
所以，
所以．
故选B．
利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可．
本题主要考查平面向量的线性运算及平面向量的基本定理，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
由正弦定理可得：，而，当且仅当时取等号．
，即，又，故可得：，
．
又，可得，
故三角形为等腰直角三角形．
故选：．
由已知及正弦定理可得：，而，当且仅当时取等号，即，解得，，从而得解．
本题主要考查了正弦定理，基本不等式的解法，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：如图，，，内切圆的圆心在边高线上也是边上的中线，
，，
以直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，
设内切圆的半径为，根据等面积算法可得：
，
，
解得，故内心为，
，，，
，
，
，，，
，
故选：．
建系，根据坐标法，平面向量坐标运算，三角形内心性质，方程思想即可求解．
本题考查面向量坐标运算，三角形内心性质，方程思想，坐标法，属基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查平面向量的坐标运算、向量垂直、向量的夹角和投影向量，属于中档题．
对于，结合向量的坐标运算即可判断；
对于，结合向量垂直的性质即可判断；
对于，结合平面向量的数量积和夹角即可判断；
对于，结合投影向量的公式即可判断．
【解答】解：，，
则，即，解得，故A错误；
当时，
则，解得，故B正确；
当与夹角为钝角时，
则，解得且，
故的取值范围为，故C错误；
，
则，，
故在上的投影向量为，故D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：设，
，
，
，表示以为圆心，为半径的圆，
，表示点到点之间的距离，
连接交圆于点，延长线交圆于点，如图所示：
，，
即，
观察四个选项可知，可能为，．
故选：．
设，由复数的几何意义得出复数对应复平面的轨迹，再由距离公式结合圆的性质得的范围即可求解．
本题主要考查了复数的几何意义，考查了两点间距离公式的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：如图所示：以所在直线为轴，所在直线为轴建立直角坐标系，
设，
则，整理得到，，，，设，
对选项A：，，，错误；
对选项B：，，，即投影向量为，正确；
对选项C：，，，整理得到，即，与正八边形有两个交点，错误；
对选项D：，，，，，
整理得到，，故，正确．
故选：．
以所在直线为轴，所在直线为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算，A错误，投影向量为，B正确，直线与正八边形有两个交点，C错误，，D正确，得到答案．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
则，即，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，所以，
由可得，
所以，即，
所以，
所以在上的投影向量为．
故在上的投影向量的坐标为．
故答案为：；．
由条件结合向量的模的坐标表示求，根据向量的模与数量积的关系由条件求，再由投影向量的定义求在上的投影向量的坐标．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．
首先算出，然后用、表示出、，结合得，进一步可得结果．
【解答】
解：设，
，
，，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：
15.【答案】解：，，
；
；
设，
，
，，
，
又，且，不共线，
且，
得．
【解析】直接利用向量的线性运算和加减法的应用求解；
直接利用向量的线性运算和共线向量的充要条件求．
本题考查向量的线性运算，平面向量基本定理，向量的加法和减法运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
16.【答案】解：是虚数单位是方程的根，
也是方程的根，
，解得．
由可得，，
是纯虚数，
，解得．
【解析】根据已知条件，结合一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，即可求解．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．
17.【答案】解：设，，，且，
，，
解得，；或，，即，或．
，且，
，．
故与的夹角的余弦值为．
【解析】由题意利用两个向量平行的性质，用待定系数法求出求得的坐标．
由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，求得与的夹角的余弦值．
本题主要考查两个向量平行垂直的性质，两个向量的夹角公式，属于基础题．
18.【答案】解：在中，中，，
又，
，
，
，，
．
．
，，
．
在中，由正弦定理得，即，
解得．
，．
在中，由余弦定理得．
．
【解析】利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式得出；
在中，使用正弦定理求出，得出，再在中使用余弦定理求出．
本题考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，余弦定理，属于中档题．
19.【答案】解：由已知中，即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，
即；
由可得，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，
由，得，
整理得，
则；
点为的费马点，则，
设，，，，，，
则由，得；
由余弦定理得，
，
，
故由，得，
即，而，，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或舍去．
故实数的最小值为．
【解析】根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案；
利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案；
由结论可得，设，，，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式，即可求得答案．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，利用基本不等式的应用，属于中档题．
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