2023-2024学年江苏省南京市燕子矶高级中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省南京市燕子矶高级中学高二（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数在处的导数为，则( )
A. B. C. D.
2.已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为( )
A. B.
C. 或 D. 或
3.若方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.在棱长为的正四面体中，，分别是，的中点，则( )
A. B. C. D.
5.用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径的增大而增大当半径时，气球的体积相对于的瞬时变化率为( )
A. B. C. D.
6.从由，，，，组成的没有重复数字的两位数中任取一个，则这个两位数大于的个数是( )
A. B. C. D.
7.函数在区间上的最大值是，则等于( )
A. B. C. D.
8.若，则的切线的倾斜角满足( )
A. 一定为锐角 B. 一定为钝角 C. 可能为直角 D. 可能为
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列命题，其中正确的是( )
A. 若空间向量，，且，则实数
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是
D. 点关于平面对称的点的坐标是
10.若实数的取值使函数在定义域上有两个极值点，则称函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，的取值范围的子集有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有______不同的涂色方法．
12.已知数列满足，，则数列的通项公式 ______．
13.已知函数若函数在上单调递减，则实数的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知函数．
求函数在上的最大值；
证明：当时，．
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．
求证：；
若为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
已知椭圆：的长轴长为，离心率为，过右焦点且与轴不垂直的直线与椭圆相交于，两点，点的坐标为，记直线，的斜率分别为，．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ当时，求直线的方程；
Ⅲ求证：为定值．
17.本小题分
若各项均为正数的数列的前项和满足，且．
判断数列是否为等差数列？并说明理由；
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．
若为实数，函数，是“跃点”函数，求的取值范围；
若为非零实数，函数，是“跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“跃点”，求的值；
若为实数，函数，是“跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“跃点”，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为函数在处的导数为，
则．
故选：．
利用导数的定义结合所求的式子，进行变形求解即可．
本题考查了导数定义的运用，解题的关键在于变形，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
，
，
可设，
，
，解得，
或，
设点的坐标为，则，
或，解得或，
故点的坐标为或．
故选：．
根据已知条件，结合共线向量的性质，以及向量模公式，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，以及向量模公式，属于中档题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的标准方程和性质，属基础题．
先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于的不等式，求得的范围．
【解答】解：方程，即表示焦点在轴上的椭圆
故
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的线性表示与数量积应用问题，是基础题．
根据题意画出图形，结合图形，利用中线的性质表示出向量与，求出它们的数量积即可．
【解答】
解：如图所示，
棱长为的正四面体中，，分别是，的中点，
则
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由球的体积公式可得，得，
所以时，体积关于半径的瞬时变化率为．
故选：．
球的体积公式为，对其求导并代入计算即可
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为这个两位数大于，
所以选取十位数为或，个位数不重复则在剩余的个数字里选择个，
这个两位数大于的个数为．
故选：．
数字排列问题，根据符合题意的要求选取十位数为或，个位数不重复则在剩余的个数字里选择个，即可计算结果．
本题主要考查排列组合知识，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数，
则，
令，解得舍或，
又，，，
所以的最大值为，
又函数在区间上的最大值是，
所以，解得．
故选：．
求出，令，求出极值点，然后将区间端点的函数值与极值比较大小，列出关于的方程，求解即可．
本题考查了导数的应用，主要考查了利用导数研究函数最值的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和极值，属于基础题．
求出导函数，判断导数的正负，为此引入新函数部分函数，由导数确定单调性极值后得正负，从而得出结论．
【解答】
解：，
，
设，则，
当时，，递减，
当时，，递增，
而，
所以时，，所以，
切线斜率均为正数，倾斜角为锐角．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，可知，即A正确；
对于，显然时，恒成立，此时不唯一或者不存在，故B错误；
对于，向量在向量上的投影向量为，故C正确；
对于，易知点关于平面对称的点的坐标是，故D错误．
故选：．
利用空间向量的对称特征可判定，利用空间向量平行的充要条件及坐标表示可判定、，利用投影向量的概念可判定．
本题考查了空间向量的数量积运算，涉及到向量共线，空间中的点对称等问题，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：依题意，得，
若函数具有“凹凸趋向性”，则在上有个不同的实数根，
令，则，
令，解得；令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值是，当时，，
故，
故选：．
首先求函数的导数，，由题意可知若函数具有“凹凸趋向性”时，在有个不同的实数根，则设函数，根据导数判断函数的范围，求得的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了转化思想，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：图中区域分别为，，，，，则分类讨论，
若、同色，先涂，方法有种，再涂、，方法有种，最后涂、，共有种不同方法．
若、 不同色，先涂，方法有种，再涂、，方法有，最后涂、 只有种方法，
若、不同色时共有种不同方法，
综上，所有的涂法共有种；
故答案为．
根据题意，分类讨论，若、 同色．若、 不同色，由分类加法原理，计算可得答案．
本题考查排列组合数公式的运用，体现分类讨论的数学思想．
12.【答案】
【解析】解：由，得，
可得：当时，
，可得，
结合时，也符合的式子，可得，．
故答案为：．
根据题意，可得时，，利用累加推导出，然后检验的式子也成立，从而得出本题答案．
本题主要考查利用累加法求数列的通项公式的知识，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
若在上单调递减，
则在恒成立，
即在恒成立，
故只需，
令，，
则，对称轴，
故在单调递增，
而，故在恒成立，
故在单调递增，故，
故的最小值是，
故答案为：．
求出函数的导数，问题转化为，令，，根据函数的单调性求出的最大值，求出的最小值即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．
14.【答案】解：．
令，解得，或．
则函数在上单调递减，在上单调递增．
又，．
函数在上的最大值为．
证明：当时，即时，．
令，．
，
函数在上单调递增，
，
，即当时，．
【解析】利用导数研究其单调性即可得出．
当时，即时，令，利用导数研究其单调性即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15.【答案】证明：以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
，即．
解：由知，，，，，
设，，
，
，
，解得，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，．
底面，，
又，，、平面，
平面，
平面的一个法向量为，
，，
由图可知，平面与平面所成的角为锐二面角，
故平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，逐一写出各点坐标，由即可得证；
根据法向量的性质可求得平面的法向量，由线面垂直的性质定理和判定定理可推出平面，从而知平面的法向量，再由，即可得解．
本题考查空间向量在立体几何中的应用，熟练掌握利用空间向量证明线线垂直和求二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：Ⅰ因为椭圆的长轴长为，
所以，
解得，
因为椭圆的离心率，
解得，
所以，
则椭圆的方程为；
Ⅱ由Ⅰ知椭圆的右焦点，
易知直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
因为
所以，
即，
解得，
则直线的方程为；
Ⅲ证明：由Ⅱ知
因为．
所以
，
综上所述，为定值．
【解析】Ⅰ由题意，根据椭圆的长轴长、离心率以及，，之间的关系，列出等式进行求解即可；
Ⅱ设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式进行求解即可；
Ⅲ结合Ⅱ中所得信息以及斜率公式进行求证即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
17.【答案】解：因为，当，
两式相减：，
因为，
所以，即，
所以，当时，是公差的等差数列．
因为，
所以，所以．
当时，，所以，因为，
所以，数列不是等差数列．
由知：数列从第二项开始是等差数列，
当时，
所以数列的通项公式．
由的通项公式，
所以，
当时 ，
，
．
当时，，满足上式，
所以．
【解析】利用递推关系式的应用求出数列不为等差数列．
利用分段法求出数列的通项公式．
利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
18.【答案】解：函数的导函数，
若函数是“跃点“函数，则方程有解，
即有解，
又，
所以，
所以
函数的导函数．
若该函数是“跃点“函数，
则方程有解，
即有解，
所以有解，
当时，方程成立，
所以是方程的一个实数根，
当时，，
当时，方程有两个相等的实数根，
此时方程的根为，，，
所以函数有两个不同的“跃点“，
当时，方程无解，
此时方程的根为，则函数有一个“跃点”，
当时，方程有两个不相等的实数根，
若函数有两个不同的“跃点”，则其中一个实数根为，
则，解得，
综上所述，的值为或．
函数的导函数为，
若该函数是“跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“跃点”，
则方程，即有一个不同的实数根，
设，
，
令得，
所以在上，单调递增，
在，上，单调递减，
又时，；时，，
所以当时，取得极小值，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
【解析】函数的导函数，若函数是“跃点“函数，则方程有解，即有解，进而可得答案．
函数的导函数若该函数是“跃点“函数，则方程有解，进而可得答案．
函数的导函数为，若该函数是“跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“跃点”，即有一个不同的实数根，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
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