2023-2024学年山东省德州市宁津县苗场中学九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省德州市宁津县苗场中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等腰三角形的腰长为，底边长为，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是
( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定
2.如图，在中，弦与直径相交于点，连接，若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
3.已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面，则水的最大深度为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，等边三角形和正方形都内接于，则：( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
7.如图，是的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则圆心到弦的距离等于( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，为外一点，、分别切于、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，是的外接圆，，若的半径为，则弦的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，的直径，，是它的两条切线，与相切于点，并与，分别相交于，两点，，相交于点，若，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.如图，，，，，是五边形的外接圆的切线，则 ______
12.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为 ．
13.如图，的半径为，是延长线上一点，，切于点，则______．
14.如图，在平行四边形中，，，，以为直径的交于点，则图中阴影部分的面积为______．
15.如图，是的直径，，交于点，交于点，，给出下列五个结论：；；；劣弧是劣弧的倍；其中正确结论的序号是__________．
16.如图，为等边三角形，，动点在的边上从点出发沿着的路线匀速运动一周，速度为个长度单位每秒，以为圆心、为半径的圆在运动过程中与的边第二次相切时是出发后第______秒．
三、计算题：本大题共1小题，共14分。
17.如图，四边形为菱形，以为直径作交于点，连接交于点，是上的一点，且，连接．
求证：是的切线．
若，，求的半径．
四、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
已知：如图，与坐标轴交于、两点，点的纵坐标为求的半径．
19.本小题分
如图，内接于，，，为的直径，，求的长．
20.本小题分
如图，内接于，直线与相切于点，与相交于点，．
求证：；
如图，若是的直径，是的中点，的半径为，求的长．
21.本小题分
如图，在中，以为直径的交于点，弦交于点，且，，．
求证：是的切线；
求的直径的长度．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质、直线与圆的位置关系、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键，属于中档题．
作于，由等腰三角形的性质得出，由勾股定理求出，即，即可得出结论．
【解答】
解：如图所示：
在等腰三角形中，作于，
则，
，
即，
该圆与底边的位置关系是相离；
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，，
，
，
故选：．
根据三角形的外角性质求出，根据圆周角定理得出，求出，再代入求出答案即可．
本题考查了三角形外角性质，圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理等知识点，能熟记一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解此题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
先根据题意画出图形，由于点的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论，据此即可解答．
【解答】
解：连接，，
的直径，，，
，，
当点位置如图所示时，
，，，
，
，
；
当点位置如图所示时，同理可得，
，
，
在中，．
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．
【解答】
解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：
，
，
的直径为，
，
在中，，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：是的切线，
，
，
，
是的直径，
，
，
点是的中点，
，
，
故选：．
根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理得到，进而求出，根据垂径定理得到，进而得出答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正多边形和圆、垂径定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理、等边三角形和正方形的性质是解题的关键．
连接、、，过作于，由垂径定理得出，证出是等腰直角三角形，，，得出，，则，进而得出答案．
【解答】
解：连接、、，过作于，如图所示：
则，
正方形和等边三角形都内接于，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：如图，
连接、，交于点，
点是弧中点，，
，且，
，
，
，
，
故圆心到弦的距离为．
故选：．
根据题意连接、，交于点，根据垂径定理推出，且，再由圆周角定理推出，然后根据直角三角形的性质进行求解即可．
本题考查圆周角定理及垂径定理，解题的关键是根据题意作出辅助线，，从而根据垂径定理和圆周角定理进行求解，注意数形结合思想方法的运用．
8.【答案】
【解析】解：、为圆的两条相交切线，
，
同理可得：，．
的周长，
的周长，
的周长，
故选：．
由切线长定理可得，，，由于的周长，所以的周，故可求得三角形的周长．
本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用．
9.【答案】
【解析】【分析】
根据圆周角定理求得，过点作，由垂径定理得出，结合等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质求出的长度，即可得出答案．
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质以及垂径定理，理解相关性质定理并进行推理计算是解题的关键．
【解答】
解：过点作，交于点，
是的外接圆，，
，
又，，
，，
在中，，
，，
，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：如图，构建如图平面直角坐标系，过点作于．
是直径，，
，
，，是的切线，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
设，则，
，
，
，，，
直线的解析式为，直线的解析式为，
由，解得，
，
，
故选：．
如图，构建如图平面直角坐标系，过点作于想办法求出，两点坐标，构建一次函数，利用方程组确定交点坐标即可．
本题考查切线的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】
【解析】解：如图，设圆心为，连接，，，和，
，，，，是五边形的外接圆的切线，
，
即，
，
，，，，，
五边形内角和，
，
故答案为：．
设圆心为，连接，，，和，根据切线的性质和等腰三角形的性质得出即可求出．
本题主要考查切线的性质，多边形内角和等知识，熟练掌握切线的性质和多边形内角和公式是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长；弧长公式为：．
先求出圆锥的底面圆周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【解答】
解：圆锥的底面周长，
圆锥的母线长为，则：，
解得．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：切于点，
，
在中，，，
．
故答案为：．
先根据切线的性质得到，然后利用勾股定理计算的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接，作于点，
四边形是平行四边形，且，
，
则，
，
，
，，
，
图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
连接，作，先求出、，，，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得．
本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：连接，是的直径，则，
，，
，，平分，
，，，故正确，
，
，
又平分，即劣弧是劣弧的倍，正确．
，，
，
，故错误．
，
，
又，
，
故错误．
故答案为：．
先利用等腰三角形的性质求出、的度数，即可求的度数，再运用弧、弦、圆心角的关系即可求出、．
本题利用了：等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形内角和定理．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，则作于，则．
在中，，，
，
，
以为圆心、为半径的圆在运动过程中与的边第二次相切时是出发后第秒．
故答案为：．
若以为圆心、为半径的圆在运动过程中与的边第二次相切，即为当点在上，且和边相切的情况．作于，则，利用解直角三角形的知识，进一步求得，从而求得的长，进一步求得运动时间．
此题考查了直线和圆相切时数量之间的关系，能够正确分析出以为圆心、为半径的圆在运动过程中与的边第二次相切时的位置．
17.【答案】证明：如图，连接，
四边形为菱形，
，，，
，
，
即，
≌，
，
是的直径，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：如图，连接，
是的直径，
，
，
，，
，
在和中，
，，
，
，
，
．
的半径为．
【解析】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理，菱形的性质，切线的判定，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．
证明≌，可得，证出，即，是的切线．
连接，求出，在和中，可得，解方程可求出的长．则可求出．
18.【答案】解：如图，过点作，垂足为，
点的纵坐标为，
，
，
，
又与坐标轴交于、，
，
，
在中，，
即的半径为．
【解析】由题意知，，过点作，垂足为，因为点的纵坐标为，所以，在中，利用勾股定理可求出半径A.
解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为，弦长为，这条弦的弦心距为，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
19.【答案】解：连接，
，，
．
为直径，
，
．
，
，
，
四边形是等腰梯形，
．
【解析】连接，证明四边形是等腰梯形，根据等腰梯形的性质解答．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理是解题的关键．
20.【答案】证明：连接，如图，
直线与相切于点，
，
，
，
，
，
，
；
是的中点，
，
在中，，
，
，
是的直径，
，
，
在中，．
【解析】连接，如图，根据切线的性质得到，则，利用垂径定理得到，然后根据圆周角定理得到结论；
先计算出，根据垂径定理得到，接着利用勾股定理计算出，然后计算的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理．
21.【答案】证明：在中，，，，
，
是直角三角形，
，
又，
，
，
为直径，
是的切线；
解：连接，如图，设的半径是，
在中，，，，
，
，
解得：，
．
【解析】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．
根据勾股定理的逆定理得到，由于，根据平行线的性质得，然后根据切线的判定定理即可得到是的切线；
连接，设的半径是，在中，根据勾股定理得到，解方程即可得到的半径，即可得出答案．
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