2023-2024学年四川省泸州市合江县少岷初级中学九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省泸州市合江县少岷初级中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形不是中心对称图形的是( )
A. 等边三角形 B. 菱形 C. 线段 D. 正方形
2.下列事件为必然事件的是( )
A. 篮球运动员在罚球线上投篮一次，未投中
B. 在数轴上任取一点，则该点表示的数是有理数
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
D. 任意画一个四边形，其内角和为
3.用配方法解方程，下列配方正确的是( )
A. B. C. D.
4.已知的半径是，点到直线的距离为，则直线与的位置关系是( )
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法判断
5.将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，平移后所得抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
6.如图，点、、在上，点是延长线上一点，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则直线不经过的象限( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10.在平面直角坐标系中，已知点，，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
11.若直角三角形的两直角边分别为和，则这个直角三角形内切圆的半径是( )
A. B. C. D.
12.已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：
；
；
；
；
，
其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.从，，，四个数中，随机选取个数，作为二次函数中的，则抛物线开口向上的概率是______．
14.已知，两点都在抛物线上，那么______．
15.一个扇形，圆心角是，圆心角所对的弧长是，这个扇形的面积是______．
16.如图，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别是、，射线交轴于点，若，四边形的面积是，则的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
解方程：．
19.本小题分
如图，在中，点在边上，，，，求的长．
20.本小题分
某校为了解本校学生的消防知识的普及情况，从该校名学生中随机抽取了部分学生进行调查．调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类．并将调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
补全条形统计图并填空，本次调查的学生共有______名，估计该校名学生中“了解”的人数为______；
“不了解”的人中有甲、乙两名男生，丙、丁两名女生，若从中随机抽取两人去参加消防知识培训，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名女生的概率．
21.本小题分
如图，的顶点坐标分别为，，．
画出与关于点成中心对称的图形；
画出绕原点逆时针旋转的；
直接写出点的坐标为______．
22.本小题分
如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
求反比例函数和一次函数的表达式；
求的面积；
根据图象直接写出时，的取值范围．
23.本小题分
如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点处测得前方小岛的俯角为，水平飞行后到达处，发现小岛在其后方，测得小岛的俯角为如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度结果保留根号．
24.本小题分
如图，切于点，交于，两点，且与直径交于点．
求证：；
若，，，求线段的长．
25.本小题分
综合与探究
如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，作直线．
求抛物线和直线的函数解析式．
是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及此时点的坐标．
在抛物线对称轴上是否存在一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：菱形、线段、正方形都是中心对称图形，等边三角形不是中心对称图形．观察选项，只有选项A符合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．
此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
2.【答案】
【解析】解：根据题意知，、、选项中的事件都是随机事件，故A、、选项不符合题意；
选项中的事件是必然事件，故D选项符合题意；
故选：．
根据随机事件和必然事件的定义得出结论即可．
本题主要考查随机事件和必然事件的定义，熟练掌握随机事件和必然事件的概率是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
根据配方法即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
4.【答案】
【解析】解：的半径为，圆心到直线的距离为，
，
即，
直线与的位置关系是相交．
故选：．
根据圆的半径和圆心到直线的距离的大小，相交：；相切：；相离：，即可选出答案．
本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系的判断方法是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，平移后所得抛物线的解析式为，
即，
故选：．
根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：作所对的圆周角，如图，
，，
，
．
故选：．
作所对的圆周角，如图，利用圆内接四边形的性质证明，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7.【答案】
【解析】解：由网格以及勾股定理可得，
，，，
，
是直角三角形，且，
，
故选：．
根据网格构造直角三角形，利用勾股定理求出三边的长，进而由勾股定理的逆定理得出直角三角形，由锐角三角函数的定义可求出答案．
本题考查解直角三角形，掌握勾股定理，勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．
8.【答案】
【解析】解：若二次函数的图象与轴有交点，
，
，
．
故选：．
根据判别式即可求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，理解函数图象与轴交点的判断方法是求解本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象分别位于第一、三象限，
，
，
直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：．
根据反比例函数的图象分别位于第一、三象限，可以得到，，然后根据一次函数的性质可以得到直线经过哪几个象限，不经过哪个象限．
本题考查反比例函数的性质、一次函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，求出的正负情况．
10.【答案】
【解析】解：设点的坐标为，
由题意可知，点与点关于点对称，
，，
，
解得，
即点的坐标为，
故选：．
设点的坐标为，根据点与点关于点对称求解即可得．
本题考查了点坐标与中心对称，正确判断出点与点关于点对称是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：如图，是的内切圆，，，，
设与、、分别相切于点、、，
，，，
，
，，，
，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
这个直角三角形的内切圆的半径长是，
故选：．
设的内切圆与边、、分别相切于点、、，，，，根据勾股定理求得，由切线长定理得，，，即可求得，再证明，则这个直角三角形的内切圆的半径长是，于是得到问题的答案．
此题重点考查切线的性质、切线长定理、勾股定理的应用、矩形的判定等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：对称轴在轴的右侧，
，
由图象可知：，
，
故不正确；
，
，
，
故不正确；
由对称知，当时，函数值小于，即，
故不正确；
，，
，
，即，
故正确；
当时，值最大．
，
故，即，
故正确．
故正确．
故选：．
由抛物线对称轴的位置判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
13.【答案】
【解析】解：从，，，五个数中随机选取一个数，共有种等可能结果，
其中使该二次函数图象开口向上的有，这种结果，
该二次函数图象开口向上的概率为，
故答案为：．
二次函数图象开口向上得出，从所列个数中找到的个数，再根据概率公式求解可得．
本题主要考查概率公式及二次函数的性质，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
14.【答案】
【解析】解：，两点都在抛物线上，
、关于对称轴对称，
抛物线的对称轴为直线，
，
故答案为：．
根据抛物线的对称性以及对称轴公式即可得到，解得．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知抛物线的对称性是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
，
故答案为：．
根据扇形弧长公式求出半径，再根据扇形面积公式直接计算即可．
本题考查求扇形的面积，解题关键是熟记扇形面积公式．
16.【答案】
【解析】解：设，则，
点、在反比例函数的图象上，、，
，，
，
，
解得，，
故答案为：．
设，由点、在反比例函数的图象上，可以表示、，由各个部分面积之间的关系列方程可求出的值．
考查反比例函数的几何意义，正确设未知数，表示出图中线段的长，利用面积之间的关系，列方程求解是解题关键．
17.【答案】解：原式
．
【解析】根据二次根式的化简，特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂计算即可．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，掌握是解题的关键．
18.【答案】解：原方程变形得：，
因式分解得：，
即，
解得：，．
【解析】利用因式分解法解方程即可．
本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
19.【答案】解：，，
，
，，
∽，
，
即，
负值舍去．
【解析】由题意可得，根据，公共角，即可证明∽，根据相似三角形的性质即可得到结果．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定方法是解题关键．
20.【答案】
【解析】解：本次调查的学生总人数为：名，
则了解的学生人数为：名，
估计该校名学生中“了解”的人数约有：名，
补全统计图如下：
故答案为：、；
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好抽到名女生的结果有个，
所以恰好抽到名女生的概率．
由“不了解”的人数及其所占百分比求得总人数，继而由各了解程度的人数之和等于总人数求得“了解”的人数，用总人数乘以样本中“了解”人数所占比例可得，然后补全统计图即可；
画树状图展示所有种等可能的结果，找出恰好抽到名女生的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
21.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；
．
【解析】解：如图，为所作；
如图，为所作；
点的坐标为．
故答案为．
利用关于原点对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、即可；
利用所画图形写出点的坐标．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
22.【答案】解：，都在反比例函数的图象上，
，
，，
反比例函数解析式为，点的坐标是，
将、两点坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
在中，令，则，
点坐标，
；
不等式的解集是或．
【解析】根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
根据三角形的面积公式，三角形面积的和差，可得答案；
根据一次函数图象在反比例函数图象上方的部分是不等式的解集，可得答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积公式及三角形面积的和差，利用函数图象与不等式的关系解不等式．
23.【答案】解：过点作于点，
设，
，
，
在中，，
，
由可得，
解得：，
答：飞机飞行的高度为．
【解析】过作，由知，由知，根据列方程求解可得．
此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角的、矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
24.【答案】证明：，
，
，
∽，
，
；
解：连接、，如图：
由得，
，
为直径，
，
，
切于点，
，即，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
在中，，
，
，
解得，
答：线段的长为．
【解析】证明∽，可得，从而；
连接、，由得，有，证明∽，可得，，即得，在中，，故，即可解得．
本题考查圆中的相似三角形性质与判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理与性质定理，熟练应用相似三角形对应边成比例解决问题．
25.【答案】解：把，代入得，，
解得，
，
，
，
设直线的解析式为，
把代入得，，
，
；
解：如图，过点作于点交于点，设，，
，
，
，
当时，的最大值为，，
；
解：二次函数的对称轴为：，设点的坐标为，
当为等腰三角形的腰，为顶角时，，
解得或，
或；
当为等腰三角形的底边时，中点的坐标为，
作直线且过，
设直线方程为，，
解得，
方程为，
令，，
；
当为等腰三角形的腰，为顶角时，，
解得或，或，
综上所述，点的坐标为或或或或．
【解析】根据两点、的坐标解出二次函数的解析式，根据、两点的坐标解出直线的解析式；
建立二次函数的关系式，求出面积的最大值及此时点的坐标
分三种情况讨论即可求出点的坐标．
本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与三角形的综合应用，等腰三角形的性质，掌握相关的性质是解题的关键．
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