2022~2023学年安徽池州青阳县高二上学期期中数学试卷（11月）（PDF版含解析）

2022~2023学年安徽池州青阳县高二上学期期中数学试卷（11月）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、直线 的倾斜角为（ ）
A.
B.
C.
D.
2、在四面体O－ABC中，G是底面△ABC的重心，且 ＝x ＋y ＋z ，则log3|xyz|等于（ ）
A.－3
B.－1
C.1
D.3
3、若方程 表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
4、直线y＝kx－k＋1与椭圆 + 的位置关系为（ ）
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
5、已知两点 ， ，过点 的直线 与线段 有公共点，则直线 斜率的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
6、在正方体 中，棱 的中点分别为 ，则直线 与 所成角的正弦值为
（ ）
A.
B.
C.
D.
7、 ， ， 为直角三角形的三边长，且 为斜边，点 在直线 上，则 最小值是
（ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知 为坐标原点， 、 分别是椭圆 的左、右顶点， 是椭圆 上不同于 、 的动点，
直线 、 分别与 轴交于点 、 .则 （ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列说法中正确的是（ ）
A.平面 的法向量垂直于与平面 共面的所有向量
B.一个平面的所有法向量互相平行
C.如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D.如果向量 、 与平面 共面，且向量 满足 ， ，那么 就是平面 的一个法向量
10、下列说法正确的是（ ）
A.若直线 与直线 互相垂直，则
B.直线 必过定点
C.直线 在y轴上的截距为－2
D.经过点 且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
11、已知圆 与圆 ，则下列说法正确的是
（ ）
A.若圆 与 轴相切，则
B.若 ，则圆C1与圆C2相离
C.若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为
D.直线 与圆C1始终有两个交点
12、已知椭圆 ： 内一点 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且点 是线段 的中点，
则（ ）
A.椭圆 的焦点坐标为 ，
B.椭圆 的长轴长为4
C.直线 的方程为
D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知向量 ， ， ，若 ，则 .
14、已知 和 点关于直线 对称，则 点坐标为 ．
15、设P为方程 表示的曲线上的点，M、N分别为圆
和圆 上的点，则 的最小值为 ．
16、直线 与曲线 有两个公共点，则 的取值范围是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知直线 ： 和直线 ： ，求分别满足下列条件的 ， 的值.
(1)直线 过点 ，且直线 和 垂直；
(2)若直线 和 平行，且直线 在 轴上的截 距为 .
18、（本小题12分）
如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， 为线段 上
一点.
(1)、求证： ；
(2)、若直线 与平面 所成角为 ，求点 到平面 的距离.
19、（本小题12分）
已知圆 及直线 ： .
（1）证明：不论 取什么实数，直线 与圆C总相交；
（2）求直线 被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线 方程.
20、（本小题12分）
椭圆 的离心率为 ， 为椭圆的右焦点，椭圆外一点 ，直线 的斜率
为 ， 为坐标原点.
(1)求 方程；
(2)斜率为 的直线 过点 且与 相交于 、 两点，求 的面积.
21、（本小题12分）
如图，在几何体 中，底面 是边长为2的正三角形， 平面 ，
，且 是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求二面角 的 余弦值.
22、（本小题12分）
已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率为 .
(1)求椭圆的方程
(2)过椭圆右焦点 且斜率为 的直线 与椭圆相交于两点A，B，与 轴交于点E，线段AB的中点为P，直线
过点E且垂直于 （其中O为原点），证明直线 过定点.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
C
【分析】
由已知直线 的斜率为 ，所以其倾斜角为 .
因此正确答案为：C．
2、
【答 案】
A
【分析】
如下图所示：
连接AG，
则 ，
，
所以 ，
所以 ，
因此正确答案为：A
3、
【答 案】
A
【分析】
由 ，得 ，则 .
因此正确答案为：A
4、
【答 案】
A
【分析】
直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，
又 + ，所以点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.
因此正确答案为：A．
5、
【答 案】
D
【分析】
如图所示：
由图象知：过点 的直线 为直线 ， 之间任意一条直线，
而 ，
因为直线 与线段 有公共点，
所以 或 ，
故选：D．
6、
【答 案】
B
【分析】
设正方体 的棱长为2，
以D为坐标原点，DA，DC， 、分别为x 轴，y轴，z轴，
建立如下图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则 ， ， ， ，
则 ， ，
设直线EF与 的所成角为 ，
则 ，
∴ .
因此正确答案为：B
7、
【答 案】
A
【分析】
因为a、b、c为直角三角形的三边长，且c为斜边，所以 ，
因为点 在直线 上， 表示原点到点 的距离，
所以当原点到点 的线段与直线 垂直时， 最小，
因为原点到直线 的距离为 ，所以 最小值为 .
因此正确答案为：A.
8、
【答 案】
B
【分析】
设动点 ， ，由椭圆方程可得 ， ，
则 ， ，
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
由此可得 ， ，
所以 .
因为动点 在椭圆 上，所以 ，
所以 ，
则 .
因此正确答案为：B.
二、多选题
9、
【答 案】
A;B;C
【分析】
对于A选项，由法向量的定义可知，平面 的法向量垂直于与平面 共面的所有向量，A无误；
对于B选项，一个平面的所有法向量互相平行，B无误；
对于C选项，由空间中平面与平面的位置关系与法向量之 间的关系可知，如果两个平面的法向量垂直，那么这
两个平面也垂直，C无误；
对于D选项，只有当 、 不共线时，才能得出结论，依据是线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面
内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直，D有误.
因此正确答案为：ABC.
10、
【答 案】
B;C
【分析】
对A： ，解得 或 ，A有误；
对B：直线 可整理为 R ，
因此直线 必过定点 ，即B无 误；
对C：直线 在y 轴上的截距，令 ，得 = 2，所以直线 在y轴上的截距为－2，所以C
无误．
对D：当 直线经过原点时，设直线为 ，代入点 求得 ，即直线方程为 ，
当直线不经过原点时，设直线为 ，代入点 求得 ，即直线方程为 .所以D有误.
因此正确答案为：BC
11、
【答 案】
B;D
【分析】
因为 ， ，
对A，故若圆 与x轴相切，则有 ，故A有误；
对B，当 时， ，两圆相离，故B无误；
对C，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程 ，故C有误；
对D ，直线 过定点 ，而 ，故点 在圆
内部，所以直线 与圆 始终有两个交点，故D无误.
因此正确答案为：BD
12、
【答 案】
B;C;D
【分析】
解：由椭圆方程 ，所以 ， ，所以 ，故 ，
所以椭圆 的焦点坐标为 ， ，故A有误；
因为 ，所以椭圆 的长轴长为 ，故B无误；
设点 ， ，则 ，两式相减可得 ，
整理得 ，因为点 是线段 的中点，且 ，
所以 ，所以 ，所以直线 的方程为 ，即 ，故C无
误；
由 ，得 ，
所以 ， ，所以 ，故D无误．
因此正确答案为：BCD
三、填空题
13、
【答案 】
【分析】
解：因为向量 ， ， ，所以向量 ，因为
，所以 ，即 ，解得
因此正确答案为：
14、
【答 案】
【分析】
解：设点 的坐标为 ，则
，解得 ，
所以 点坐标为 ，
因此正确答案为：
15、
【答 案】
9
【分析】
方程 表示的曲线是椭圆，焦点为 ，圆 半径为
，圆 的半径为 ，
，当且仅当 共线，
共线，且 在 之间， 在 之间时等号成立．
因此正确答案为：9.
16、
【答 案】
【分析】
解：如下图所示， 是一个以原点为圆心，长度 为半径的半圆，
是一个斜率为 的直线，
要使两图有两个交点，连接 和 ，直线 必在 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可
求出两个临界位置直线 的 值，
当直线 与 重合时， ；
当直线 与半圆相切时，
圆心 到 的 距离 ，
即 ，解得： 或 （舍去）．
所以 的取值范围是 ．
因此正确答案为：
四、解答题
17、
【答 案】
(1) ，
(2) ，
【分析】
（1）由于直线 和 垂直，故 ，
又直线 过点 ，故 ，
联立两式，解得 ， .
故有 ， .
（2）由于直线 和 平行，故 ，
直线 在 轴上的截距为 ，则 ，
联立得 ， .
故有 ， .
18、
【答案 】
(1)、
证明过程见解析；
(2)、
.
【分析】
(1)、建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可；
【详解】因为 平面 ， 平面 ，所以 ，而 ，因此建立如图
所示的空间直角坐标系： ，
，因为 ，所以 ，即
．
(2)、利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可.
【详解】设平面 的法向量为 ， ，所以有
，因为直线 与平面 所成角为 ，所以
，解得 ，即
，因为 ，所以点 到平面 的距离为：
.
19、
【答 案】
（1）证明见解析；（2） ； .
【分析】
（1）证明：把直线l的方程改写成： ，
由方程组 ，解得： ，所以直线l总过定点(3，4).
圆C的方程可写成 ，所以圆C的圆心为(1，2)，半径为5.
因为定点(3，4)到圆心(1，2)的距离为 ，即点(3，4)在圆内，
所以过点(3，4)的直线l总与圆相交，即不论m取什么实数，直线l与圆C总相交
（2）设直线l与圆交于A、B两点.
当直线l过定点M(3，4)且垂直于过 点M的圆C的半径时，l被截得的弦长|AB|最短.
因为 ，
此时 ，
所以直线AB的方程为 ，即 .
故直线l被圆C截得的弦长最小值为 ，此时直线l的方程为 .
20、
【答案 】
(1)
(2)1
【分析】
（1）设椭圆 的右焦点 ，
因为直线 的斜率为 ，所以 ，解得c .
又椭圆 的离心率为 ，即 ，可得 ， .
故 的方程为 .
（2）设 ， ，
因为 得 ，所以 ，
则
21、
【答 案】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）取 的中点F，连接EF， ，∵ ，
∴ ，且 ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，
又 \cancel 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ；
（2）取AC的中点O，以O为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ，∴ ， .
设平面 的法向量是 ，则 ，
即 ，令 ，得 ，
易知平面 的一个法向量是 ，
∴ ，
又二面角 是钝二面角，
∴二面角 的余弦值为 .
22、
【答 案】
(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】
（1）通过题意， ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，∴
∴椭圆的标准方程为 .
（2）由（1）知右焦点坐标为 ，设直线 方程为 ， ， ，
由 得， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴直线 的斜率
∴直线 的斜率 ，令 得点 坐标为 ，
∴直线 的方程为 ，即
∴直线 恒过定点 .