2022~2023学年安徽滁州定远县定远县育才学校高二下学期期中数学试卷（PDF版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022~2023学年安徽滁州定远县定远县育才学校高二下学期期中数学试卷（PDF版含解析） |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-31 13:56:29 | ||
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文档简介
2022~2023学年安徽滁州定远县定远县育才学校高二下学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、设数列 的前 项和为 ，则 的值为 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一
半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行
走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为.
A.24里
B.12里
C.6里.
D.3里
3、设 ，若 在 处的导数 ，则 的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
4、函数 的图像大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
5、 的展开式中，常数项为
A.－15
B.16
C.15
D.－16
6、已知圆O的半径为5， ，过点P的2021条弦的长度组成一个等差数列 ，最短弦长为 ，最长弦长
为 ，则其公差为（ ）
A.
B.
C.
D.
7、如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂
色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）
A.48种
B.72种
C.96种
D.144种
8、某国家级示范高职院校为做好春季高考招生工作，决定邀请省内部分高中优秀高三学生到校进行职业生涯体
验.若育才高中将获得的6个体验名额随机分配给高三年级4个班级，则每个班均获得体验名额的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、数列{an}的前n项和为Sn， ，则有（ ）
A.{Sn}为等比数列
B.
C.
D.{nSn}的前n项和为
10、已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A.在区间 上，函数 是增函数
B.在区间 上，函数 是减函数
C. 为函数 的极小值点
D.2为函数 的极大值点
11、某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过 站的地铁票价
如表：
乘坐站数
票价 元
现有甲、乙两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过 站，且他们各自在每个站下地铁
的可能性相同，则下列结论中正确的是（ ）
A.若甲和乙两人共花费 元，则甲和乙下地铁的方案共有 种
B.若甲和乙两人共花费 元，则甲和乙下地铁的方案共有 种
C.若甲和乙两人共花费 元，则甲和乙下地铁的方案共有 种
D.若甲和乙两人共花费 元，则甲和乙下地铁的方案共有 种
12、若 ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知数列 的通项公式为 ，数列 的前n项和为 ，则 .
14、在二项式 的展开式中， 的系数为 ．
15、函数 的导函数是 ，则 ．
16、某校选定甲、乙、丙、丁、戊共 名教师去 个边远学校支教，每学校至少 人，其中甲和乙必须在同一学
校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有 种．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
公比不为1的正项等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，令 ，求 的前n项和 ．
18、（本小题12分）
已知曲线 在点 处的切线方程是 .
（1）求 ， 的值；
（2）如果曲线 的某一切线与直线 ： 垂直，求切点坐标与切线的方程.
19、（本小题12分）
已知函数 的一个极值点是 .
(1)求函数 的极值；
(2)求函数 在区间 上的最值.
20、（本小题12分）
已知在 的展开式中，第 项的二项式系数与第 项的二项式系数的比为 ．
(1)求 的值；
(2)求展开式中 含 的项的系数；
(3)用二项式定理证明： 能 被 整除.
21、（本小题12分）
班级迎接元旦晚会有 个唱歌节目、 个相声节目和 个魔术节目，要求排出一个节目单．
(1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
(2)相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排 在最后一个节目，有多少种排法？
(3)现在临时增加 个魔术节目，要求重新编排节目单，要求 个相声节目不相邻且 个魔术节目也不相邻，有多
少种排法？
22、（本小题12分）
已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）已知 ，若关于 的不等式 在区间 上恒成立，求 的取值范围.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
C
【分析】
根据 即可得到答案.
【详解】
．
故选：C．
2、
【答 案】
C
【分析】
解：记每天走的路程里数为 ，可知 是公比 的等比数列，
由 ，得 ，解得： ，
，
因此正确答案为C．
3、
【答 案】
B
【分析】
求出 ，由 可得出关于 的等式，解之即可.
【详解】
对于函数 ，则 ，可得 ，即函数 的定义域为 ，
，由 ，解得 ，合乎题意.
故选：B.
4、
【答 案】
D
【分析】
由函数 ，令 ，即 ，解得 或 ，
所以当 或 时， ；当 时， ，可排除A、C项；
又由 ，令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递 减；
当 时， ， 单调递增，
则可排除B项，选项D与题意相符.
因此正确答案为：D.
5、
【答 案】
B
【分析】
把 按照二项式定理展开，可得 的展开式中的常数项．
【详解】
∵ （ ） （1 ），故它的展开式中的常数项是
1+15=16
故选B
【点睛 】
本题主要 考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，项的系数的性质，熟记公式是关键，属于基础题．
6、
【答 案】
B
【分析】
可得过点P的最长弦长为直径， ，
最短弦长为过点P的与 垂直的弦， ，
公差 .
因此正确答案为：B.
7、
【答 案】
B
【分析】
区域与其他区域都相邻，从 开始分步进行其它区域填涂可解
【详解】
解：根据题 意，如图，假设5个区域依次为 、 、 、 、 ，分4步分析：
①，对于 区域，有4种涂法，
②，对于 区域，与 相邻，有 3种涂法，
③，对于 区域，与 、 相邻，有2种涂法 ，
④，对于 区域，若其与 区域同色，则 有2 种涂法，
若 区域与 区域不同色，则 有1种涂法，则 、 区 域有2+1＝3种涂色方法，
则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种；
故选： B．
【点睛】
本题考查 两个计数原理的综合问题
使用两个计数原理进行计数的基本 思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为
若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，
按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．
8、
【答 案】
B
【分析】
先根据题意，利用隔板法，分别计算名额分到1个班、2个班、3个班、4个班的情况，然后根据满足题意条件的
情况，使用古典概型即可完成求解.
【详解】
由题意可 知，将6个体验名额随机分配给高三年级4个班级，一共会出现以下4种情况：
①6个名额分到1个班，共有 （种）；
②6 个名额分到2个班，共有 （种）；
③6 个名额分到3个班，共有 （种）；
④6 个名额分到4个班，共有 （种）；
所以6个体验名额随机分配给高三年级4个班级，一 共出现 种情况，满足题意条件分到4个
班的共有10种情况，所以每个班均获得体验名额的概率为 .
故选：B.
二、多选题
9、
【答 案】
A;C;D
【分析】
因为 ，所以{Sn}为等比数列，因此选项A无误；
当 时， ，
当 时， ，不适合上式，所以选项B有误，选项C无 误；
设{nSn}的前n项和为 ，
，
，
，得 ，
，所以选项D无误，
因此正确答案为：ACD
10、
【答案 】
B;D
【分析】
根据导函数的图象的正负性得到原函数的增减性，再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A， ， ， 为减函数，故A错误；
对选项B， ， ， 是减函数，故B正确；
对选项C， ， ， 是增函数，
， ， 是减函数，所以 为函数 的极大值点，
故C错误；
对选项D， ， ， 是增函数，
， ， 是减函数，所以 为函数 的极大值点，故D正确.
故选：BD
11、
【答 案】
B;D
【分析】
利用列举法与加法计数原理即可得解.
【详解】
因为甲、 乙两人乘坐地铁，共花费 元，
则其中一人的乘坐站数不超过 ，另一人的 乘坐站数超过 不超过 ，
设首站之后的前 站分别为 ， ， ， ， ， ，
若甲乘坐地铁不超过 站，则两人下地铁的所有方案为 ， ， ，
， ， ， ， ， 共 种，
同理，若乙乘坐地铁不超过 站，也有 种方案，
因此甲和乙两人共花费 元时共有 种下地铁的方 案，故A错误，B正确；
设首站之后的前 站分别为 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
若甲、乙两人共付费 元，则共有三类方案，甲付 元，乙付 元；甲付 元 ，乙付 元；甲付 元，乙付 元；
由选项AB的分析可知每类情况有 种方案，
所以甲、乙两人共付费 元时共有 种下地铁 的方案，故C错误，D正确.
故选：BD．
12、
【答案 】
A;B;D
【分析】
A选项和B选项直接通过赋值法进行解决，C选项两边同时求导，再令 即可解决，
D选项考虑到 ，比较两边 的系数即可得出.
【详解】
A选项： 时， ，A对．
B选项： 时， ①
时， ②
，B对．
C选项： ，
求导得 ，
时， ，
，C错．
D选项：
比较两边 的系数
，D正确．
故选：ABD.
【点睛】
本题关键 在于C选项和D选项的判断，C选项需要两边先同时求导，再进行赋值，D选项需要先利用平方差公式
进行变形，再考虑两边 项的系数，即可解决.
三、填空题
13、
【答 案】
【分析】
通过题意，
因此正确答案为：
14、
【答案 】
.
【分析】
结合二项式定理的通项公式有： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
15、
【答 案】
【分析】
先求出导函数，再代入值解 .
【详解】
因为 ，
所以 ，
故 ．
故答案为： ．
16、
【答 案】
【分析】
【详解】
运用分步 计数原理分析求解：第一步考虑甲乙两名教师，在三个学校中任取一个有3种可能；
第二步考虑丙，该教师只能在剩下的两所学校任选一个，有2种选择；
第三步考虑剩下的丁戊两名教师，此时又有两类：其一是两个都到除甲 乙、丙去的学校之外的那个学校有1种可
能，
其二是 其中一个到剩下那个学校，另一个到甲乙和丙分别在的两个学校中的一个，有2×2种可能，
依据分类和分步计数原理可得所有选派方案是 ．
四、解答题
17、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）设正项等比数列 的公比为q（ ）.
因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，即 .
因为 ，所以 ，解得： （ 舍去）.
又 ，
所以 ，解得： （ 舍去）
.所以 .
（2）由（1）可知， .
所以 ①① 得：
②
②-①得：
所以
18、
【答 案】
（1） ；（2） ， , 或 .
【分析】
【详解】
试题分析 ：（1）先求出函数的导数，由导数的几何意义可得 ， ，
解方程可得 的值；（2）设切点的坐标为 ，由两直线垂直的条件，斜率之积为 ，可得切线的斜
率，解方程可得切点坐标，进而可得切线方程.
试题解析：（1）∵ 的导数 ，
由题意可得 ， ，
解得 ， .
（2）∵切线与直线 垂直，
∴切线的斜率 .设切点的坐标为 ，
则 ，∴ .
由 ，可得 ，或 .
则切线方程为 或 .
即 或 .
19、
【答案 】
(1) 极小值为 ，极大值为
(2) 最大值为 ，最小值为
【分析】
（1） ，
有一个极值点是 ，
即 又 ，
3
0 0
单调递减 单调递增 单调递减
当 时， 有极小值，极小值为 ；
当 时， 有极大值，极大值为 ；
（2）由（1）知， 在 上递减， 上递增， 上递减，
又 ，
在 上的最大值为 ，
在 上的最小值为 .
20、
【答案 】
(1)
(2)
(3)证明见 解析
【分析】
（1）由题意得 ，可求 的值；
（2 ）利用展开式的通项，求展开式中含 的项的系数；
（3）展开式化简后，每项都能被 整除，可得证.
【详解】
（1）由题 意可得 ，解得
（2）设 的展开式的通项为 ，则 ，
令 得， ．
含 的项的系数为 ；
（3）由二项式定理可知，
各项都能被 整除.
能被 整除
21、
【答 案】
(1) 种
(2) 种
(3) 种
【分析】
（1）根据捆绑法即可得到答案；
（2）利用全排列公式减去不符合 题意的情况即可；
（3）利用全排列公式减去不符合题意的情况即可.
【详解】
（1）将 个相声节目捆绑在一起，看成 个节目 ，与其余 个节目一起排 ，
则共有 种不同排法；
（2）若相声节目排在第一个节目，则有 种不同排法，
若魔术节目排在最后一个节目，则有 种不同排法，
若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有 种不同排法，
则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，
可以用 个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和 魔术节目排在最后一个节目的排列数，
再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数，
所以共有 种不同排 法；
（3 ）若 个相声节目相邻，则有 种不同排法，
若 个魔术节目相邻，也有 种不同排法，
若 个相声节目相邻，并且 个魔术节目也相邻，则有 种不同排法，
则 个相声节目不相邻且 个魔术节目也不相邻，可由 个节目的全排列减去 个相声节目相邻的排列数和 个魔
术节目相邻的排列数，
再加上 个相声节目相邻 并且 个魔术节目也相邻的排列数，
所以共有 种不同排法．
22、
【答 案】
（1）函数 在 单调递增；（2） .
【分析】
（1）求得函数 的导数，判断出 在区间 上的符号，由此可得出函数 在
上的单调性；
2 （ ）将所求不等式变形为 ，由函数 在区间 上为增函数可得 ，变形为
，利用导数求得函数 在区间 上的最大值，由此可求得实数 的取值范围.
【详解】
（1） ， ， .
令 ， ，则 .
当 时， ，所以，函数 在区间 上为增函数，
此时， ，则 ，
所以，函数 在区间 上为增 函数；
（2） ，当 时， ，所求不等式可化为 ，即 ，
易知 ，由（1）知， 在 单调递增，故只需 在 上恒成立.
两边同取自然对数，得 ，即 .
令 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减 ，
，所以， .
故 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查 利用导数判断函数的单调性，同时也考查了利用导数求解函数不等式问题，考查分析问题和解决问题
的能力，属于中等题.
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、设数列 的前 项和为 ，则 的值为 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一
半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行
走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为.
A.24里
B.12里
C.6里.
D.3里
3、设 ，若 在 处的导数 ，则 的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
4、函数 的图像大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
5、 的展开式中，常数项为
A.－15
B.16
C.15
D.－16
6、已知圆O的半径为5， ，过点P的2021条弦的长度组成一个等差数列 ，最短弦长为 ，最长弦长
为 ，则其公差为（ ）
A.
B.
C.
D.
7、如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂
色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）
A.48种
B.72种
C.96种
D.144种
8、某国家级示范高职院校为做好春季高考招生工作，决定邀请省内部分高中优秀高三学生到校进行职业生涯体
验.若育才高中将获得的6个体验名额随机分配给高三年级4个班级，则每个班均获得体验名额的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、数列{an}的前n项和为Sn， ，则有（ ）
A.{Sn}为等比数列
B.
C.
D.{nSn}的前n项和为
10、已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A.在区间 上，函数 是增函数
B.在区间 上，函数 是减函数
C. 为函数 的极小值点
D.2为函数 的极大值点
11、某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过 站的地铁票价
如表：
乘坐站数
票价 元
现有甲、乙两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过 站，且他们各自在每个站下地铁
的可能性相同，则下列结论中正确的是（ ）
A.若甲和乙两人共花费 元，则甲和乙下地铁的方案共有 种
B.若甲和乙两人共花费 元，则甲和乙下地铁的方案共有 种
C.若甲和乙两人共花费 元，则甲和乙下地铁的方案共有 种
D.若甲和乙两人共花费 元，则甲和乙下地铁的方案共有 种
12、若 ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知数列 的通项公式为 ，数列 的前n项和为 ，则 .
14、在二项式 的展开式中， 的系数为 ．
15、函数 的导函数是 ，则 ．
16、某校选定甲、乙、丙、丁、戊共 名教师去 个边远学校支教，每学校至少 人，其中甲和乙必须在同一学
校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有 种．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
公比不为1的正项等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，令 ，求 的前n项和 ．
18、（本小题12分）
已知曲线 在点 处的切线方程是 .
（1）求 ， 的值；
（2）如果曲线 的某一切线与直线 ： 垂直，求切点坐标与切线的方程.
19、（本小题12分）
已知函数 的一个极值点是 .
(1)求函数 的极值；
(2)求函数 在区间 上的最值.
20、（本小题12分）
已知在 的展开式中，第 项的二项式系数与第 项的二项式系数的比为 ．
(1)求 的值；
(2)求展开式中 含 的项的系数；
(3)用二项式定理证明： 能 被 整除.
21、（本小题12分）
班级迎接元旦晚会有 个唱歌节目、 个相声节目和 个魔术节目，要求排出一个节目单．
(1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
(2)相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排 在最后一个节目，有多少种排法？
(3)现在临时增加 个魔术节目，要求重新编排节目单，要求 个相声节目不相邻且 个魔术节目也不相邻，有多
少种排法？
22、（本小题12分）
已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）已知 ，若关于 的不等式 在区间 上恒成立，求 的取值范围.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
C
【分析】
根据 即可得到答案.
【详解】
．
故选：C．
2、
【答 案】
C
【分析】
解：记每天走的路程里数为 ，可知 是公比 的等比数列，
由 ，得 ，解得： ，
，
因此正确答案为C．
3、
【答 案】
B
【分析】
求出 ，由 可得出关于 的等式，解之即可.
【详解】
对于函数 ，则 ，可得 ，即函数 的定义域为 ，
，由 ，解得 ，合乎题意.
故选：B.
4、
【答 案】
D
【分析】
由函数 ，令 ，即 ，解得 或 ，
所以当 或 时， ；当 时， ，可排除A、C项；
又由 ，令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递 减；
当 时， ， 单调递增，
则可排除B项，选项D与题意相符.
因此正确答案为：D.
5、
【答 案】
B
【分析】
把 按照二项式定理展开，可得 的展开式中的常数项．
【详解】
∵ （ ） （1 ），故它的展开式中的常数项是
1+15=16
故选B
【点睛 】
本题主要 考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，项的系数的性质，熟记公式是关键，属于基础题．
6、
【答 案】
B
【分析】
可得过点P的最长弦长为直径， ，
最短弦长为过点P的与 垂直的弦， ，
公差 .
因此正确答案为：B.
7、
【答 案】
B
【分析】
区域与其他区域都相邻，从 开始分步进行其它区域填涂可解
【详解】
解：根据题 意，如图，假设5个区域依次为 、 、 、 、 ，分4步分析：
①，对于 区域，有4种涂法，
②，对于 区域，与 相邻，有 3种涂法，
③，对于 区域，与 、 相邻，有2种涂法 ，
④，对于 区域，若其与 区域同色，则 有2 种涂法，
若 区域与 区域不同色，则 有1种涂法，则 、 区 域有2+1＝3种涂色方法，
则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种；
故选： B．
【点睛】
本题考查 两个计数原理的综合问题
使用两个计数原理进行计数的基本 思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为
若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，
按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．
8、
【答 案】
B
【分析】
先根据题意，利用隔板法，分别计算名额分到1个班、2个班、3个班、4个班的情况，然后根据满足题意条件的
情况，使用古典概型即可完成求解.
【详解】
由题意可 知，将6个体验名额随机分配给高三年级4个班级，一共会出现以下4种情况：
①6个名额分到1个班，共有 （种）；
②6 个名额分到2个班，共有 （种）；
③6 个名额分到3个班，共有 （种）；
④6 个名额分到4个班，共有 （种）；
所以6个体验名额随机分配给高三年级4个班级，一 共出现 种情况，满足题意条件分到4个
班的共有10种情况，所以每个班均获得体验名额的概率为 .
故选：B.
二、多选题
9、
【答 案】
A;C;D
【分析】
因为 ，所以{Sn}为等比数列，因此选项A无误；
当 时， ，
当 时， ，不适合上式，所以选项B有误，选项C无 误；
设{nSn}的前n项和为 ，
，
，
，得 ，
，所以选项D无误，
因此正确答案为：ACD
10、
【答案 】
B;D
【分析】
根据导函数的图象的正负性得到原函数的增减性，再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A， ， ， 为减函数，故A错误；
对选项B， ， ， 是减函数，故B正确；
对选项C， ， ， 是增函数，
， ， 是减函数，所以 为函数 的极大值点，
故C错误；
对选项D， ， ， 是增函数，
， ， 是减函数，所以 为函数 的极大值点，故D正确.
故选：BD
11、
【答 案】
B;D
【分析】
利用列举法与加法计数原理即可得解.
【详解】
因为甲、 乙两人乘坐地铁，共花费 元，
则其中一人的乘坐站数不超过 ，另一人的 乘坐站数超过 不超过 ，
设首站之后的前 站分别为 ， ， ， ， ， ，
若甲乘坐地铁不超过 站，则两人下地铁的所有方案为 ， ， ，
， ， ， ， ， 共 种，
同理，若乙乘坐地铁不超过 站，也有 种方案，
因此甲和乙两人共花费 元时共有 种下地铁的方 案，故A错误，B正确；
设首站之后的前 站分别为 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
若甲、乙两人共付费 元，则共有三类方案，甲付 元，乙付 元；甲付 元 ，乙付 元；甲付 元，乙付 元；
由选项AB的分析可知每类情况有 种方案，
所以甲、乙两人共付费 元时共有 种下地铁 的方案，故C错误，D正确.
故选：BD．
12、
【答案 】
A;B;D
【分析】
A选项和B选项直接通过赋值法进行解决，C选项两边同时求导，再令 即可解决，
D选项考虑到 ，比较两边 的系数即可得出.
【详解】
A选项： 时， ，A对．
B选项： 时， ①
时， ②
，B对．
C选项： ，
求导得 ，
时， ，
，C错．
D选项：
比较两边 的系数
，D正确．
故选：ABD.
【点睛】
本题关键 在于C选项和D选项的判断，C选项需要两边先同时求导，再进行赋值，D选项需要先利用平方差公式
进行变形，再考虑两边 项的系数，即可解决.
三、填空题
13、
【答 案】
【分析】
通过题意，
因此正确答案为：
14、
【答案 】
.
【分析】
结合二项式定理的通项公式有： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
15、
【答 案】
【分析】
先求出导函数，再代入值解 .
【详解】
因为 ，
所以 ，
故 ．
故答案为： ．
16、
【答 案】
【分析】
【详解】
运用分步 计数原理分析求解：第一步考虑甲乙两名教师，在三个学校中任取一个有3种可能；
第二步考虑丙，该教师只能在剩下的两所学校任选一个，有2种选择；
第三步考虑剩下的丁戊两名教师，此时又有两类：其一是两个都到除甲 乙、丙去的学校之外的那个学校有1种可
能，
其二是 其中一个到剩下那个学校，另一个到甲乙和丙分别在的两个学校中的一个，有2×2种可能，
依据分类和分步计数原理可得所有选派方案是 ．
四、解答题
17、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）设正项等比数列 的公比为q（ ）.
因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，即 .
因为 ，所以 ，解得： （ 舍去）.
又 ，
所以 ，解得： （ 舍去）
.所以 .
（2）由（1）可知， .
所以 ①① 得：
②
②-①得：
所以
18、
【答 案】
（1） ；（2） ， , 或 .
【分析】
【详解】
试题分析 ：（1）先求出函数的导数，由导数的几何意义可得 ， ，
解方程可得 的值；（2）设切点的坐标为 ，由两直线垂直的条件，斜率之积为 ，可得切线的斜
率，解方程可得切点坐标，进而可得切线方程.
试题解析：（1）∵ 的导数 ，
由题意可得 ， ，
解得 ， .
（2）∵切线与直线 垂直，
∴切线的斜率 .设切点的坐标为 ，
则 ，∴ .
由 ，可得 ，或 .
则切线方程为 或 .
即 或 .
19、
【答案 】
(1) 极小值为 ，极大值为
(2) 最大值为 ，最小值为
【分析】
（1） ，
有一个极值点是 ，
即 又 ，
3
0 0
单调递减 单调递增 单调递减
当 时， 有极小值，极小值为 ；
当 时， 有极大值，极大值为 ；
（2）由（1）知， 在 上递减， 上递增， 上递减，
又 ，
在 上的最大值为 ，
在 上的最小值为 .
20、
【答案 】
(1)
(2)
(3)证明见 解析
【分析】
（1）由题意得 ，可求 的值；
（2 ）利用展开式的通项，求展开式中含 的项的系数；
（3）展开式化简后，每项都能被 整除，可得证.
【详解】
（1）由题 意可得 ，解得
（2）设 的展开式的通项为 ，则 ，
令 得， ．
含 的项的系数为 ；
（3）由二项式定理可知，
各项都能被 整除.
能被 整除
21、
【答 案】
(1) 种
(2) 种
(3) 种
【分析】
（1）根据捆绑法即可得到答案；
（2）利用全排列公式减去不符合 题意的情况即可；
（3）利用全排列公式减去不符合题意的情况即可.
【详解】
（1）将 个相声节目捆绑在一起，看成 个节目 ，与其余 个节目一起排 ，
则共有 种不同排法；
（2）若相声节目排在第一个节目，则有 种不同排法，
若魔术节目排在最后一个节目，则有 种不同排法，
若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有 种不同排法，
则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，
可以用 个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和 魔术节目排在最后一个节目的排列数，
再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数，
所以共有 种不同排 法；
（3 ）若 个相声节目相邻，则有 种不同排法，
若 个魔术节目相邻，也有 种不同排法，
若 个相声节目相邻，并且 个魔术节目也相邻，则有 种不同排法，
则 个相声节目不相邻且 个魔术节目也不相邻，可由 个节目的全排列减去 个相声节目相邻的排列数和 个魔
术节目相邻的排列数，
再加上 个相声节目相邻 并且 个魔术节目也相邻的排列数，
所以共有 种不同排法．
22、
【答 案】
（1）函数 在 单调递增；（2） .
【分析】
（1）求得函数 的导数，判断出 在区间 上的符号，由此可得出函数 在
上的单调性；
2 （ ）将所求不等式变形为 ，由函数 在区间 上为增函数可得 ，变形为
，利用导数求得函数 在区间 上的最大值，由此可求得实数 的取值范围.
【详解】
（1） ， ， .
令 ， ，则 .
当 时， ，所以，函数 在区间 上为增函数，
此时， ，则 ，
所以，函数 在区间 上为增 函数；
（2） ，当 时， ，所求不等式可化为 ，即 ，
易知 ，由（1）知， 在 单调递增，故只需 在 上恒成立.
两边同取自然对数，得 ，即 .
令 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减 ，
，所以， .
故 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查 利用导数判断函数的单调性，同时也考查了利用导数求解函数不等式问题，考查分析问题和解决问题
的能力，属于中等题.