2022~2023学年福建福州永泰县永泰县第一中学高一上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2022~2023学年福建福州永泰县永泰县第一中学高一上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知 均为实数集 的子集， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次
命题正确的是使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，
c∈R，则下列命题正确的是
A.若a＜b，则
B.若a＞b＞0，则
C.若a＞b，则
D.若 ，则a＞b
，
4、已知函数 ， ，若 ，则 =（ ）
A.0
B.6
C.3
D. 3
5、已知不等式 解集为 ，若不等式 解集为
B，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
6、将如图的“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线
（ 轴以上部分包括与 轴的交点）与 （ 轴以下部分包括与 轴的交
点）构成，则 （ ）
A.
B.10
C.
D.2
7、命题p: 在 为增函数，命题Q： 在 ，
单调减函数，则命题P是命题Q（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8、设偶函数 的定义域为 ，且满足 ，对于任意 ， ，都
有 成立，
（1）不等式 解集为
（2）不等式 解集为
（3）不等式 解集为
（4）不等式 解集为 其中成立的是（ ）.
A.（1）与（3）
B.（1）与（4）
C.（2）与（3）
D.（2）与（4）
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列说法正确的有（ ）
A.命题“ ”的否定是“ ”
B.两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件
C.若 为 上的奇函数， 则 为 上的偶函数
D.若 ，则 ， ，
10、下列说法正确的是（ ）
A.若幂函数的图象经过点 ，则解析式为
B.若函数 ，则 在区间 上单调递减
C.幂函数 始终经过点 和
D.若幂函数 图像关于 轴对称，则
11、已知正数 满足 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最小值是4
B. 最小值为 1
C. 的最小值是2
D. 的最大值是
12、一般地，若函数 的定义域为 ，值域为 ，则称 为 的“ 倍跟随区间”；若函数
的定义域为 ，值域也为 ，则称 为 的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）
A.若 为 的跟随区间，则
B.函数 存在跟随区间
C.若函数 存在跟随区间，则
D.二次函数 存在“3倍跟随区间”
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知 的定义域为 ，则 的定义域是 .
14、已知命题“ ”为假命题，则 取值范围为
15、某种商品原以每件20元的价格销售，可以售出300件，据市场调查，商品的单价每提高2元，销售量就减少
10件，若销售总收入不低于6000元，则定价范围是
16、设函数 ， 为定义在 上的奇函数，且当 时， ，若
，则实数 的取值范围是
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知集合 ， ．请从① ，② ，③
R 这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别
解答，按第一个解答计分）
(1)当 时，求 ；
(2)若______，求实数 的取值范围．
18、（本小题12分）
设 ， ，命题 ，命题 .
（1）当 时，试判断命题 是命题 的什么条件；
（2）求 的取值范围，使命题 是命题 的一个必要但不 充分条件.
19、（本小题12分）
已知函数 是定义在R上的奇函数，且当 时， ．现已画出函数 在 轴左侧的图象如
图所示，
(1)请画出函数 在 轴右侧的图象，并写出函数 在R上的单调减区间；
(2)写出函数 ， R的解析式；
(3)若函数 ， ， ，求函数 的最大值 的解析式．
20、（本小题12分）
已知函数 是定义在 上的奇函数，且 .
（1）求a，b的值；
（2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于t的不等式， .
21、（本小题12分）
某高校为举办百年校庆，需要 L氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务．社团已有
的设备每天最多可制备氦气 L，按计划社团必须在 天内制备完毕．社团成员接到任务后，立即以每天 L的速
度制备氦气．已知每制备 L氦气所需的原料成本为 百元．若氦气日产量不足 L，日均额外成本为
（百元）；若氦气日产量大于等于 L，日均额外成本为 （百元）．制备成本
由原料成本和额外成本两部分组成．
(1)写出总成本 （百元）关于日产量 L 的关系式
(2)当社团每天制备多少升氦气时，总成本最少？并求 出最低成本．
22、（本小题12分）
已知函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是 ．给定函数
．
（1）求函数 图象的对称中心；
（2）判断 在区间 上的单 调性（只写出结论即可）；
（3）已知函数 的图象关于点 对称，且当 时， ．若对任意 ，
总存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
B
【分析】
， ， .
因此正确答案为：B.
2、
【答 案】
C
【分析】
A．函数的定义域为 ， ，
两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；
B．函数的定义域为 ，
，
两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；
C．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一 函数；
D．由 得 得 1，由 得 1或 － ，
两个函数的定义域不相同，不是同一函数；
因此正确答案为：C．
3、
【答 案】
D
【分析】
当 时， ，选项A错误； ，所以 ，所以选项B错误；
时， ，所以选项C错误； 时， ，所以选项D正确．故选：D
4、
【答 案】
C
【分析】
当 ， ，则相应方程无解；
当 ， ，
则 ；
当 ， ，
则相应方程无解.
综上： .
因此正确答案为：C
5、
【答 案】
B
【分析】
因为不等式 解集为 ，
所以 ，
化为 ，
即 ，
解得 ， ，
所以 ，
因此正确答案为：B.
6、
【答 案】
B
【分析】
由图知， 过点 ， 过点 ，
则，有 解得，
所以，
因此正确答案为：B.
7、
【答 案】
A
【分析】
在 为增函数，故 ，
解得 ；
在 ， 单调减函数，则 ，
解得 或
故命题P是命题Q充分不必 要条件.
因此正确答案为：A
8、
【答 案】
A
【分析】
令 得到 在 上单调递增，结合 为偶函数，从而得到 在 上单调递减，分
与 两种情况，求出 的解集，判断（1）（2）；再构造 ，得到 在
上单调递增，结合 为偶函数，从而转化为 ，根据单调性解不等式得到
解集.
【详解 】
对于（1）（2），令 得， ，即
所以 在 上单调递增，
又 为偶函数，故 在 上单调递减，
当 时， ，所以 ，解得 ，
与 求交集得 ，
当 时， ，所以 ，解得 ，
与 求交集得 ，
故 解集为 ，（1）正确，（2）错误；
对于（3）（4），令 ，
因为 ，
所以 ，
故 在 上单调递增，
又 的定义域为 ，
，故 为偶函数，
因为 ，故 ，
所以 可化为 ，故 ，解得 或 ，
所以不等式 解集为 ，（3）正确，（4）错误.
故选：A
二、多选题
9、
【答 案】
B;C
【分析】
命题“ ”的否定是“ ”，故A有误，
两个三角形面积相等，不能得到两个三角形全等，但是两个三角形全等，那么他 们的面积一定相等，所以两个
三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件，故B无误，
若 为 上的奇函数，则 ，所以 故
，因此 为 上的偶函数，故C无误，
若 ，令 ，所以 ，故则
， ， ，故D有误，
因此正确答案为：BC
10、
【答案 】
C;D
【分析】
A选项，代入点的坐标，得到 ；B选项，判断出 为偶函数，且 在 上单
调递减，故 在 上单调递增；C选项，因为 ，所以 ， ，故C正确；D选
项，先根据函数为幂函数和图像关于 轴对称，得到 ，再判断出 ，
结合函数单调性比较出大小.
【详解】
A选项，设 ，将 代入， ，即 ，
解得 ，故解析式为 ，A错误；
B选项，因为 ，所以 在 上单调递减，
又 定义域为 ， ，
故 为偶函数，故 在 上单调递增，B错误；
C选项，因为 ，所以 ， ，
故幂函数 始终经过点 和 ，C正确；
D 选项，由题意得 ，解得 或 ，
当 时， 为偶函数，满足图像关于 轴对称，
当 时， 为奇函数，不满足图像关于 轴对 称，舍去，
其中 恒成立，
故 ，
又 在 上单调递增，故 ，D正确.
故选：CD
11、
【答 案】
C;D
【分析】
A.因为正数 满足 ，即
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
因此正确答案为项A有误.
B. 因为 ，所以 ，
且 ，
所以
，
当且仅当 或 ，不满足
故取不到最小值 ，故B选项不正确.
C.
，
当且仅当 时等号成立，因此正确答案为项C无误.
D.因为 ，所以 + ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，因此正确答案为项D无误.
因此正确答案为：CD.
12、
【答案 】
A;C;D
【分析】
选项A：由已知可得函数 在区间 , 上单调递增，则有 ，
解得 或1（舍 ，所以 ，A正确；
选项B：若 存在跟随区间 ，
又因为函数在单调区间 上递减，图象如图示，
则区间 一定是函数的单调区间，即 或 ,
则有 ，解得 ，此时 异号，
故函数 不存在跟随区间，B不正确；
选项C：由已知函数可得：函数在定义域上单调递减，
若存在跟随区间 ，
则有 ，即 ，
两式作差得： ，
即 ，
又 ，所以 ，得 ，
所以 ，设 ，则 ，
即 在区间 上有两个不相等的实数根，
只需： ，解得 ，C正确；
选项D：若函数存在3倍跟随区间，设定义域为 ，值域为 ，
当 时，函数在定义域上单调递增，
则 ， 是方程 的两个不相等的实数根，解得 或 ，
故存在定义域为 使得值域为 ，D正确，
因此正确答案为：ACD.
三、填空题
13、
【答 案】
【分析】
因为 的定义域为 ，所以 ，则 ，即
，解得 ，所以函数 的定义域为 .
因此正确答案为：
14、
【答 案】
【分析】
因为命题“ ”为假命题，则 为真命题，则当 时,
满足题意，当 时，则 ,则 ，综上, 的取值范围为 .故答案为:
.
15、
【答 案】
，
【分析】
设提价后每件产品的定价为 元，
则销售总收入为 元，
通过题意有 ，
整理得 ，
解得 ，所以定价范 围为 .
因此正确答案为： .
16、
【答 案】
【分析】
当 时，由 得： ；当 时，由 得： ；
则 的解集为 ；
当 时， ， ，
又 为 上的奇函数， ，
又 ， ；
当 时，由 得： ；
当 时， 成立；
当 时，由 得： ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
因此正确答案为： .
四、解答题
17、
【答 案】
(1) ；
(2)条件选择见解析， .
【分析】
（1）通过题意得， ．
当 时， ，
∴ ；
2 （ ）选择①．
∵ ，∴ ，
当 时， ，不满 足 ，舍去；
当 时， ，要使 ，则 ，解得 ；
当 时， ，此时 ，不满足 ，舍去．
综上所述实数 的取值范围为 ．
选择②
∵ ，∴ ，
当 时， ，不满 足 ，舍去；
当 时， ，要使 ，则 ，解得 ；
当 < 0时， ，此时 ，不满足 ，舍去．
综上所述实数 的取值范围为 ．
选择③
∵ R ，∴ ，
当 时， ，不满足 ，舍去；
当 时， ，要使 ，则 ，解得 ；
当 时， ，此时 ，不满足 ，舍去．
综上所述实数 的取值范围为 ．
18、
【答案 】
（1）命题 是命题 的必要不充分条件；（2） .
【分析】
解分式不等式求得集合 ；
（1）求出集合 后，根据 可确定结果；
（2）分别在 、 和 三种情况下，根据必要不充分条件所要求的集合的包含关系可求得结果.
【详解】
由 得： ，即 ，解得： 或 ，
或 ；
，
（1）当 时， ，
， ， ，
命题 是命题 的必要不充分条件.
（2）当 ，即 时， ，此时 ，满足条件；
当 ，即 时， ，此时 ，满足条件；
当 ，即 时， ，若命题 是命题 的必要不充分条件，则 ，即
；
综上 所述： 的取值范围为 .
【点睛】
本题考查充 分条件与必要条件的判断、根据必要不充分条件求解参数范围的问题；关键是能够通过集合的包含
关系来确定推出关系.
19、
【答 案】
(1)作图见解析，单调递减区间是 ， ；
(2)f（x）＝
(3)
【分析】
（1）因为函数 是定义在R上的奇函数，所以 在 上的图象与其在 上的图象关于原点对
称，由此可得图象如下图所示，单调减区间是 ， ；
（2）因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，
所以 ．
因为当 时， ，
所以当 时， ，
＝ ，
所以 ；
（3）因为函数 ，
所以 ，
①当 时，即
；
②当 时，即 时 ，
，
③当 时，即 时，
，
20、
【答案 】
（1） ；（2） 在 上递增，证明见解析；（3） ， .
【分析】
（1）通过题意函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
，
所以
检验： ，为奇函数满足题意
（2） 在 上递增，证明如下：
任取
，
其中 ，所以 ，
故 在 上递增.
（3）由 可得 ，
因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
因为 是增函数，
所以 ，即 ，解得： ，
所以不等式的解集为 ， .
21、
【答 案】
(1)
(2)当社团每天制备 L氦气时，总成本最少，最低成本为 百元
【分析】
（1）若每天生产 L氦气，则需生产 天， ，则 ；
若氦气日产量不足 L，则1L氦气的平均成本为 百元；
若氦气日产量大于等于 L，则1L氦气的平均成本为 百元；
.
（2）当 时， （当且仅当 ，即 时取等号），
当 时， 取得最小值 ；
当 时， ，令 ，则 ，
，则当 ，即 时， 取得最小值 ；
综上所述：当社团每天制备 L氦气时，总成本最少，最低成本为 百元.
22、
【答 案】
（1） ；（2） 在区间 上为增函数；（3） .
【分析】
解：（1）设函数 图象的对称中心为 ，则 ．
即 ，
整理得 ，
于是 ，解得 ．
所以 的对称中心为 ；
（2）函数 在 上为增函 数；
（3）由已知， 值域为 值域的子 集．
由（2）知 在 上单增，所以 的值 域为 ．
于是原问题转化为 在 上的值域 ．
①当 ，即 时， 在 单增，注意到 的图象恒过对称中心 ，可知
在 上亦单增，所以 在 上单增，又 ， ，所以
．
因为 ，所以 ，解得 ．
②当 ，即 时， 在 单减， 单增，
又 过对称中心 ，所以 在 单增， 单减；
此时 ．
欲使 ，
只需 且
解不等式得 ，又 ，此时 ．
③当 ，即 时， 在 单减，在 上亦单减，
由对称性，知 在 上单减，于是 ．
因为 ，所以 ,解得 ．
综上所述实数 的取值范围为 ．