2022~2023学年甘肃白银靖远县靖远县第一中学高三上学期期末文科数学试卷（图片版，含解析）

2022~2023学年甘肃白银靖远县靖远县第一中学高三上学期期末文科数学
试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、已知集合 Z ，则 的元素个数为（ ）
A.1
B.3
C.5
D.7
i
2、 （ ）
i
A. i
B. i
C. i
D. i
3、下列坐标所表示的点是函数 图象的对称中心的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4、抛物线 的准线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
5、若tan ，则tan （ ）
A.
B.
C.
D.
6、函数 的零点为（ ）
A.4
B.4或5
C.5
D. 或5
7、下图是2010年—2021年（记2010年为第1年）中国创新产业指数统计图，由图可知下列结论不正确的是
（ ）
A.从2010年到2021年，创新产业指数一直处于增长的趋势
B.2021年的创新产业指数超过了2010年—2012年这3年的创新产业指数总和
C.2021年的创新产业指数比2010年的创新产业指数的两倍还要大
D.2010年到2014年的创新产业指数的增长速率比2017年到2021年的增长速率要慢
8、若 是偶函数，则曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
9、从甲、乙等 名专家中任选 人前往某地进行考察，则甲、乙 人中至少有 人被选中的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
10、已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， ，则 的面
积为（ ）．
A.
B.
C.
D.
11、已知 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
12、已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，直线l经过 且与C左支交于P，
Q两点，P在以 为直径的圆上， ，则C的离心率是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、设 满足约束条件 ，则 的最大值为 ．
14、已知向量 ， ，若 ，则 ．
15、若甲、乙两个圆柱形容器的容积相等，且甲、乙两个圆柱形的容器内部底面半径的比值为2，则甲、乙两个
圆柱形容器内部的高度的比值为 ．
16、如图，在正三棱柱 中， ， 为 的中点，则 与 所成角的余弦
值为 .
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
年 月 日 时 分，长征四号丙运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后将遥感三十四号 星送入
预定轨道发射，大量观众通过某网络直播平台观看了发射全过程．为了解大家是否关注航空航天技术，该平台
随机抽取了 名用户进行调查，相关数据如下表．
关注 不关注 合计
男性用户
女性用户
合计
(1)补充表格数据并根据表中数据分别估计男、女性用户关注航空航天技术的概率；
(2)能否有 的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关？
附： ， ．
18、（本小题8分）
在等比数列 中， ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
19、（本小题8分）
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， 分别是 的中点， 平面
， ，且 ．
(1)证明： 平面 ．
(2)求四棱锥 的体 积．
20、（本小题10分）
已知椭圆C： 与椭圆 的离心率相同， 为椭圆C上一点.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若过点 的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问以AB为直径的圆是否经过定点 ？若存在，求出 的
坐标；若不存在，请说明理由.
21、（本小题12分）
已知函数 e
(1)若 ，证明： 存在唯一极值点．
(2)若 ，证明： , ，
e
22、（本小题12分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，
建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 sin ．
4
(1)写出 的普通方程和 的直角坐标方程；
(2)若曲线 与曲线 交于 两点， 的直角 坐标为 ，求 ．
23、（本小题12分）
已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若 的最小值为 ，求 的最小值．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
C
【分析】
通过题意 ，所以 ，
所以 ，共 个元素.
因此正确答案为：C
2、
【答 案】
C
【分析】
i i i i
i.
i i i
因此正确答案为：C.
3、
【答 案】
A
【分析】
因为正弦函数的对称中心为 ，所以令 ，
解得： ，当 时，对称中心为 ，
即A是对称中心，其它各项均不是对称中心.
因此正确答案为： .
4、
【答 案】
C
【分析】
因为 ，所以 ，
所以抛物线 的准线 方程为 ．
因此正确答案为：C
5、
【答 案】
C
【分析】
tan ，
因此正确答案为：C
6、
【答 案】
C
【分析】
通过题意可得： ，解得 ，故 的定义域为 ∞ ，
令 ，得 ，则 ，解得 或
，
又∵ ，所以 ．
因此正确答案为：C.
7、
【答 案】
B
【分析】
从统计图可看出从2010年到2021年，创新产业指数一直处于增长的趋势，A无误；
从统计图估计得到2021年的创新产业指数大约为350，
而2010年—2012年这3年的创新产业指数总和大约为 ，
故2021年的创新产业指数没有超过2010年—2012年这3年的创新产业指 数总和，B有误；
因为2021年的创新产业指数大约为350，2010年的创业指数小于150，
，故2021年的创新产业指数比2010年的创新产业指数的 两倍还要大，C无误；
2010年到2014年的创新产业指数的折线倾斜程度小，而2017年到2021年的创业指数的折线倾 斜程度大，
故2010年到2014年的创新产业指数的增长速率比2017年到2021年的增长速率要慢，D无误.
因此正确答案为：B
8、
【答 案】
A
【分析】
为偶函数， ，
即 ， ，解得： ，
，则 ， ，
， 在点 处的切线方程为 ，即 .
因此正确答案为：A.
9、
【答 案】
D
【分析】
记其他 名专家分别为 ，将甲、乙分别记为 ，
从 人中任选 人，则有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，共 种情况；
其中甲、乙至少有 人被选中的有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，共
种情况，
甲、乙至少有 人被选中的概率 .
因此正确答案为：D.
10、
【答 案】
C
【分析】
由余弦定理得： ，
即 ，
即 ，
即 ，
所以 （负值舍去），
又因为 ， 为三角形内角，
所以 ，
所以 ，
所以 的面积为 ．
故选：C．
11、
【答 案】
A
【分析】
解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 .
因此正确答案为：A.
12、
【答案 】
A
【分析】
不妨设 ， ，
因为P在以 为直径的圆上，所以 ，即 ，则 ．
因为Q在C的左支上，所以 ，
即 ，解得 ，则 ．
因为 ，所以 ，即 ，
故 ，
故 ．
因此正确答案为：A
二、填空题
13、
【答案 】
【分析】
由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，
若 取得最大值，则 在 轴截距取得最小值，
由图像分析可得：当 过点 时，在 轴截距最小，
由 得： ，即 ， .
因此正确答案为： .
14、
【答案 】
【分析】
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
因此正确答案为： .
15、
【答案 】
/
【分析】
设甲的底面半径为 ，则乙的底面半径为 ，
设甲的高为 ，乙的高为 ，
通过题意， ，
所以 .
因此正确答案为：
16、
【答案 】
【分析】
如下图所示，取 的中点 ，连接 ， ，
在 中， 为 的中点，所以 为中位线，所以 // ，
所以 为 与 所成的角，
在 中， ， ， ，
所以 ，
所以 与 所成角的余弦值为 .
因此正确答案为：
三、解答题
17、
【答案 】
(1)表格见解析，男性关注的概率为 ；女性关注的概率为
(2)没有 的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关
【分析】
（1）由已知数据可补充表格如下：
关注 不关注 合计
男性用户
女性用户
合计
估计男性用户关注航空航天技术的概率 ；女性用户关注航空航天技术的概率 .
（2） ，
没有 的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关．
18、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）由 得： ，
又 ， ，
设等比数列 的公比为 ，则 ，
所以 ；
（2）由（1）得： ，
.
19、
【答 案】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1） 分别是 的中点，四边形 为菱形， ， ，
四边形 为平行四边形， ，
又 \n 平面 ， 平面 ， 平面 ；
分别为 的中点， ，
又 \n 平面 ， 平面 ， 平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 平面 ，
平面 ， 平面 .
（2）连接 ，
平面 ， 平面 ， ，又 ， ．
为 的中点， ，又 ， 为等边三角形，
， ；
延长 至点 ，使得 ，
由（1）知： 平面 ，又 平面 ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
， ， ，
，
.
20、
【答 案】
(1)
(2)存在 的坐标为 ，理由见解析
【分析】
（1）在椭圆 中， ， ， ，离心率 ，
在椭圆C： 中， ，
所以 ，化简得 ，
因为 在椭圆C： 上，
所以 ，所以 ，所以 ， ，
所以椭圆 .
（2）当直线 的斜率为0时，线段 是椭圆的短轴，以AB为直径的圆的方程为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，代入 ，得 ，以AB为直径的圆的方程为
，
联立 ，解得 ，
由此猜想存在 ，使得以AB为直径的圆是经过定点 ，
证明如下：
当直线 的斜率不为0且斜率存在时，设直线 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
，
设 、 ，
则 ， ，
则 ，
，
因为
，
所以 ，所以点 在以 为直径的圆上，
综上所述：以AB为直径的圆是经过定点 .
21、
【答 案】
(1)见解析；
(2)见解析；
【分析】
（1）证明：因为 e ，
所以 e ，
易知 在 上单调递减，
又因为 e< 0， e>0，
所以存在唯一个 ，使得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减 ；
所以 存在唯一极值点；
2 （ ）证明：要证明 在 , 上恒成立，
即要证明 e 在 , 上恒成立，
e
也即证明 在 , 上恒成立，
e
令 ，
即证明 在 , 上恒成立，
, 又因为 在 上单调递增，
所以 ，
e
所以原命题等价于证明 在 , 上恒成立，
e
又因为 e ，
令 ，
则 ，
因为 ，
e
所以 e， ，
当 时， ，
e
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
所以 ；
e
当 时， e ， e 在 , 上恒成立，
e , 所以 在 上单调递增，
所以 ；
当 时， ， 在 , 上恒成立，
, 所以 在 上单调递增，
所以 ；
e
综上所述： 在 , 上恒成立，
所以原命题得证.
22、
【答案 】
(1) ： ， ：.
(2)
【分析】
（1）由 消去 得 ，即 ，
由 sin 得 sin ，即
4
（2）直线 经过点 ，且倾斜角为 ，所以 的方程写成标准参数方程为 （ 为参
数），将其代入 ： 得 ，
设 所对应的参数分别为 ，则 ， 故 ，
因此 ，
23、
【答案 】
(1)
(2)3
【分析】
（1）通过题意分析可以得： ，
所以 ，
，
.
综上： ，
所以 的解集为 .
（2） ，所以 .
所以 .
所以 ，
当且仅当 ，即 等号成立.
所以 的最小值为 .