2022~2023学年甘肃兰州西固区高三上学期期末数学试卷（PDF版含解析）

2022~2023学年甘肃兰州西固区高三上学期期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、复数z满足 i ，则 （ ）
A.1
B.
C.
D.
2、已知集合 Z ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
3、已知sin ，则cos （ ）
A.
B.
C.
D.
4、某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念，投入大量科研经费进行技术革新，该企业统计了最近6年
投入的年科研经费x（单位：百万元）和年利润y（单位：百万元）的数据，并绘制成如图所示的散点图．已知
x，y的平均值分别为 ， ．甲统计员得到的回归方程为 ；乙统计员得到的回归方程为
e ；若甲、乙二人计算均未出现错误，有下列四个结论：
①当投入年科研经费为20（百万元）时，按乙统计员的回归方程可得年利润估计值为75.6（百万元）（取
e ）；
② ；
③方程 比方程 e 拟合效果好；
④y与x正相关．
以上说法正确的 是（ ）
A.①③④
B.②③
C.②④
D.①②④
5、在等差数列 中 ，且 ，则 的最大值等于（ ）
A.4
B.6
C.8
D.9
6、“ ”是“椭圆 的焦距为4”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7、莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大 内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界
各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号
窟 莫高窟三层楼16号窟 藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模
式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是
（ ）
A.
B.
C.
D.
8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
9、已知抛物线 的焦点为F，准线为l，点M在抛物线C上，过点M作 ， 为垂足，已
知直线 的斜率为2， 的面积为10，则p等于（ ）
A.4
B.6
C.8
D.10
10、若函数 e 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
11、在三棱锥 中，侧棱 底面 ，如图是其底面 用斜二测画法所画出的水平放
置的直观图 ，其中 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
12、已知函数 ，若 且满足 ，则
的取值范围是（ ）
A. ，+
B.
C. ，
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名，高斯函数 也被应用
于生活、生产的各个领域．高斯函数也叫取整函数，其符号 表示不超过x的最大整数，如：
．若函 ，则 的值域为 ．
14、 的展开式中， 项的系数为35，则实数a的值为 ．
15、在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则 .
16、已知数列 满足 ，且 ，则 ．
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
在① ，② ，③ 这三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，并解答该问题.问题：锐角 的内角 的对边分别为 ，且______.
(1)求 ；
(2)求 的取值范围.
18、（本小题8分）
2021年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某校组织了党
史知识竞赛活动，共有200名同学参赛．为了解竞赛成绩的分布情况，将200名同学的竞赛成绩按 、
、 、 、 、 、 分成7组，绘制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求这200名同学竞赛成绩的中位数及竞赛成绩不低于80分的同学人数；
(2)学校决定对竞赛成绩不低于80分的同学中以抽奖的方式进行奖励，其中 竞赛成绩不低于90分的同学有两次抽
奖机会，低于90分不低于80分的同学只有一次抽奖机会，奖品为党史书籍，每次抽奖的奖品数量（单位：本）
及对应的概率如下表：现在从竞赛成绩不低于80分的同学中随机选一名同学，记其获奖书籍的数量为 ，求 的
分布列和数学期望．
奖品数量（单位： 2 4
本）
概率
19、（本小题8分）
立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍
(méng)”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1， 、 、 分别是边长为4的正方形
三边 、 、 的中点，先沿着虚线段 将等腰直角三角形 裁掉，再将剩下的五边形 沿着
线段 折起，连接 、 就得到了一个“刍甍”(如图2)．
(1)若 是四边形 对角线的交点，求证： //平面
(2)若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
20、（本小题10分）
已知椭圆 ，倾斜角为 的直线过椭圆的左焦点 和上顶点B，且
（其中A为右顶点）.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点 的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且 ，求实数m的取值范围.
21、（本小题12分）
ln
已知函数 e .
(1)若 e时， 取得极值，求 的单调区间；
(2)若函数 ，求使 恒成立的实数 的取值范围.
22、（本小题12分）
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 \begin{cases} x=2+t\\ y=\sqrt{3}\left(1+t\right) \end{cases} \left(t 为参
数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
(1)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)直线 与 轴交于点 ，与曲线 交于 ， 两点，求 ．
23、（本小题12分）
已知 ，且 ， .
(1)求 的最小值；
(2)求 的最小值.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
D
【分析】
根据复数的除法及复数模的定义求解即可.
【详解】
i i
由题意可知 i，
i i i
所以 ，
故选：D
2、
【答 案】
C
【分析】
解不等式 得： ，于是得 ， ，
所以 .
因此正确答案为：C
3、
【答 案】
C
【分析】
因sin ，所以
cos cos sin .
因此正确答案为：C
4、
【答 案】
D
【分析】
解：将 代入 e ，得 ，①无误；
将 ， 代入 得 ，②无误 ；
由散点图可知，回归方程 e 比 的拟合效果更好，③有误；
因为 随 的增大而增大，所以 与 正相关，④无误．故①②④无误．
因此正确答案为：D．
5、
【答 案】
A
【分析】
先由等差数列的求和公式，得到 ，再由基本不等式，即可求出结果.
【详解】
因为在等 差数列 中 ，
所以 ，即 ，
又 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以， 的最大值为4.
故选：A.
6、
【答 案】
A
【分析】
由椭圆 的焦距为4，分类讨论求得 或 时，再结合充分条件和必要条件的判定方
法，即可求解.
【详解】
由题意，椭圆 可化为 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
即当 或 时，椭圆 的焦距为4，
所以“ ”是“椭圆 的焦距为4”的充分不 必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题主要考 查了椭圆的标准方程及几何性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记椭圆的标准方
程和几何性质，结合充分条件、必要条件的判定求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
7、
【答 案】
B
【分析】
8个开放洞窟中有3个最值得参观，
C C
所求概率为 ．
C
因此正确答案为：B．
8、
【答 案】
A
【分析】
根据几何体的结构特征，求表面积.
【详解】
该几何体上下底面为两个半径为1的圆面的 ，侧面为底面半径为1高为2的圆柱侧面的 和两个底为1高为2的矩
形.
该几何体的表面积为 .
故选：A
9、
【答 案】
C
【分析】
设 ，由条件可将 用 表示出来，再结合面积即可求出p.
【详解】
设 ，可知 ， ，
，得 ， ，
由抛物线的性质可知 ，
，解得 .
故选：C.
【点睛】
本题考查抛 物线的性质，属于基础题.
10、
【答案 】
B
【分析】
对于函数 e ， e ．
要使函数 e 在区间 上单调递减，
只需 恒成立．
因为e ，
只需 ，只需 恒成立．
记 ，
只需 ， ．
因为 ，
所以 ．
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， ，当 时， ，
所以 在 上的最大值为 ．
所以 在 上的最大值为 ．
所以 ．
故选B．
11、
【答 案】
D
【分析】
根据斜二测画法，还原图像分析可得：
通过题意可得： ，则 ，
由余弦定理，可得： ，即 ，
由正弦定理，可得 外接圆的半径 ，
则三棱锥 作图像如下：
作 平面 ，且 底面 ，所以 ，
取点 为三棱锥 外接球的球心，则 ，
作 ，易知四边形 为正方形，即 ，
则 ，即三棱锥 外接球表面积 .
因此正确答案为：D.
12、
【答 案】
D
【分析】
根据题意画出图像，并得到 , ,将三个变量均转化为一个变量c，
=（ =（ 令 + 对函数求导得到
函数的单调性进而得到最值.
【详解】
画出 的图象，由 且 得： , ,
.
=（ =（ ,
令 + ，则 ， ，
， ，
则函数 在区间 上单调递增， ，即 （ ，
的取值范围是 （以 为变量时，注意 的取值范围为 ）.
故答案为D.
【点睛】
这个题目考 查了到了导数在求函数最值中的应用，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极
值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法
有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分
离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.
二、填空题
13、
【答案 】
【分析】
先求出 的值，再根据高斯函数的定义即可求出答案.
【详解】
当 或 时，
；
当 时， ；
故 的值域为 ．
故答案为： .
14、
【答 案】
或3
【分析】
解：由二项式定理的通项可得，
C C ，
C C ，
C C ，
因为 项的系数为35，
所以 ，整理得 ，
解得 或 ，
因此正确答案为： 或 3.
15、
【答案 】
4
【分析】
因为在 中，若 ，所以 ，
所以 ，即 ，
由正弦定理得 ，
化简得 ，所以 .
因此正确答案为：4
16、
【答 案】
4037
【分析】
由题 ，
，
相减得 ，又 ，则 .
因此正确答案为：4037.
三、解答题
17、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）选①
，所以 ，
所以 ，
整理得 .
因为 ，所以 .因为 ，所以 .
选②
因为 ，所以 ，
所以 ，整理得 .
因为 ，所以 ，因为 ，所以 .
选③
因为 ，
所以 ，
所以 ，
整理得 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ， .
（2）因为 ，
所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，
2
所以 ，所以 ，故 .
18、
【答案 】
(1)中位数65，不低于80分的同学有 人；
(2)分布列见解析，
【分析】
（1）∵ ， ，所以中位数
位于 之间，
设这200名同学竞赛 成绩的中位数为 ，则 ，解得 ．
竞赛成绩不低于80分的学生人数为： ；
（2）设这名同学获得书籍的数量为 ，则 的可能取值为2，4，6，8．
， ， C ，
，
所以 的分布列为
2 4 6 8
.
19、
【答案 】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）取线段 中点 ，连接 、 ，
由图1可知，四边形 是矩形，且 ，
是线段 与 的中点，
// 且 ，
在图1中 // 且 ， // 且 = ．
所以在图2中， // 且 ，
// 且
四边形 是平行四 边形，则 //
由于 平面 ， 平面 ，
//平面
（2）由图1， ，折起后在图2中仍有 ，
即为二面角 的平面角．
= ，
以 为坐标原点， ， 分别为 轴和 轴正向建立空间直角坐标系 如下图所示，
且设 = = ，
则 ，
，
，
设平面 的一个法向量 ，
由 ，得 ，取 = ，则 ，
于是平面 的一个法向量 ，
，
∴直线 与平面 所成角的正弦值为
20、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）根据条件，列出关于 的方程组，即可求椭圆方程；
（2）讨论直线 的斜率不存在和存在两种情况，联立方程，将向 量关系，转化为坐标关系，并利用韦达定理消
元整理，并根据 ，求解 .
【详解】
（1）由题可知
解得
故椭圆的方程为 .
（2）当直线l的斜率不存在时，设 ， ， ， ，
由 ， ， ，得 ，
同理，当 , 时，得 ，所以 ，
当直线l的斜率存在时，即 时，
设直线 的方程为 ，
联立
消去y得 .
因为直线l与椭圆C交于不同的两点P、Q，
所以 ，
即 ①.
设 ，
则 ②，
则 ，
由 ，得 ③，
③代入②得 ，
化简整理得 ④，
将④代入①得 ，
化简得 ，
解得 或 .
综上，m的取值范围为 .
21、
【答 案】
(1)单调递增区间是 e ，单调递减区间是 e ；
(2)
e
【分析】
（1） e ，
e
因为函数在 e处取得极值，所以 e e ，则 ，
e
当 时， ，得 e
当 e 时， ，函数单调递增，当 e 时， ，函数单调递减，所以当 e时，
函数取得极大值，
综上所述函数的单调 递增区间是 e ，函数的单调递减区间是 e ；
（2） e ， 恒成立，
即 e e ，设 e ， e ，所以函数 e 单调递增， e，
不等式转化为 ， e时恒成立，
转化为 恒成立，即 ，
设 ， ，解得： e ，
当 e e 时， ，函数单调递减，当 e 时， ，函数单调递增，所以当 e
时，函数 取得最小值，最小值是 ，
e
所以实数 的取值范围为
e
22、
【答案 】
(1) ，
(2)
【分析】
（1）直线 的参数方程为 ，消去参数 ，可得 ，即 ；
曲线 的极坐标方程为 ，即 ，
化为直角坐标方程是 ，即 ；
所以直线 的普通方程是 ，
曲线 的直角坐标方程为 ；
（2 ）令 ，得直线 与 轴交于点 ，
把直线 的参数方程化为 \begin{cases} x=\frac{1}{2} m\\ y=-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}m \end{cases} \left(m 为参
数），代入 ，
得到 ，
故 ， ；
所以 ．
23、
【答案 】
(1)3；
(2) .
【分析】
（1）因为 ， ，
所以
，
当且仅当 ，且 ，即 ， 时等号成立，
则 的最小值为3.
（2）
，
因为 ，所以 ，
所以原式
，
当且仅当 ，且 ，即 ， 时等号成立，
则 的最小值为 .