2022~2023学年广东广州白云区广州市白云中学高二下学期期中数学试卷（图片版，含解析）
文档属性
| 名称 | 2022~2023学年广东广州白云区广州市白云中学高二下学期期中数学试卷（图片版，含解析） |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-01 17:24:31 | ||
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文档简介
2022~2023学年广东广州白云区广州市白云中学高二下学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、一个集合有5个元素，这个集合的子集个数共有（ ）
A.16
B.31
C.32
D.64
2、为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种率，某区卫健委在城区设立了11个接种点，在乡镇设立
了19个接种点．某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫苗接种，则不同接种点的选法共有（ ）
A.11种
B.19种
C.30种
D.209种
3、等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝（ ）
A.8
B.12
C.16
D.24
4、已知函数 ，则该函数在区间 上的平均变化率为（ ）
A.
B.
C.
D.
5、在 的展开式中， 的系数是（ ）
A.35
B.
C.560
D.
6、P是椭圆 上一点， ， 是该椭圆的两个焦点，且 ，则 （ ）
A.1
B.3
C.5
D.9
7、A、B、C、D、E五个人并排站在一起，若A、B两人站在一起有（ ）种方法
A.12
B.24
C.48
D.72
已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列有关排列数 组合数计算正确的有（ ）
A.C
B.从 中任取两个数相乘可得C 个积
C.C C C C C
D. C
10、（多选）下列命题正确的是（ ）
A.若 ，则
B.设函数 ，若 ，则 e
C.已知函数 e ，则 e
D.设函数 的导函数为 ，且 ，则
11、设 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
12、将12支完全相同的圆珠笔分给4位小朋友.（ ）
A.若每位小朋友至少分得1支，则有C 种分法
B.若每位小朋友至少分得1支，则有C 种分法
C.若每位小朋友至少分得2支，则有C 种分法
D.若每位小朋友至少分得2支，则有C 种分法
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、曲线 在点 处的切线方程为 ．
14、在空间直角坐标系中，点 与点 之间的距离 ．
15、已知 且满足 能被8整除，则符合条件的一个 的值为 .
16、用1，2，3，4，5，0组成数字不重复的六位数，满足1和2不相邻，5和0不相邻，则这样的六位数的个数
为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球.
(1)共有多少种不同的取法
(2)恰有1个为红球，共有多 少种不同的取法
18、（本小题12分）
已知数列 为等差数列， 是公比为 的等比数列，且满足
(1)、求数列 和 的通项公式
(2)、令 求数列 的前n项和
19、（本小题12分）
在 的展开式中，求：
(1)求第3项的二项式系数及系数；
(2)含 的项
(3)常数项.
20、（本小题12分）
如图所示，四棱锥 的底面 是矩形， 底面 ， ， ，
， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所 成角的正弦值．
21、（本小题12分）
已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 在 上的最 大值和最小值.
(1)、求函数 的单调区间；
(2)、求函数 在 上的最大值和最小值.
22、（本小题12分）
已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点，求 的取值范围．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
C
【分析】
有5个元素的集合的子集个数为 .
因此正确答案为：C
2、
【答 案】
C
【分析】
该市民可选择的接种点为两类，一类为乡镇接种点，另一类为城区接种点，所以共有 + = 种不同接种点的
选法．
因此正确 答案为：C．
3、
【答 案】
C
【分析】
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由a2＝2，a5＝8，得
解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16.
因此正确答案为：C.
4、
【答 案】
A
【分析】
因为函数 ，
所以该函数在区间 上的 平均变化率为
，
因此正确答案为：A
5、
【答 案】
C
【分析】
二项式 的展开式的通项公式为 ，
令 ，
所以 的展开式中 的系数为 .
因此正确答案为：C
6、
【答 案】
A
【分析】
解：对椭圆方程 变形得 ，易知椭圆长半轴的长为4，
由椭圆的定义可得 ,
又 ，故 .
因此正确答案为：A.
7、
【答 案】
C
【分析】
把A、B二人看成一个整体，再与其余三人全排列.
故A、B 两人站在一起的方法数为A A
因此正确答案为：C
8、
【答 案】
D
【分析】
对于 ， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除 ；
对于 ， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除 ；
对于 ， ，则 ，当 时，
，与图象不符，排除C.
故选：D.
二、多选题
9、
【答 案】
B;D
【分析】
A. C ，所以该选项错误；
B. 从 中任取两个数相乘可得C 个积，所以该选项正确；
C. C +C C C C C +C C C C C C C C C , 所以
C C C C C ，所以该选项错误；
D. C = ，所以该选项正确.
因此正确答案为：BD
10、
【答案 】
B;D
【分析】
对于选项A, 即 ，则选项A不正确；
对于选项B,即 , 则 ，解得 e，则选项B正确；
对于选项C,即 e e ，则 e e e，则选项C不正确；
对于选项D,即 ， ，解得 ，
则选项D正确.
因此正确答案 为：BD.
11、
【答 案】
C;D
【分析】
令 ，则 ，即 ，A有误；
令 ，则 ， 即 ①，
则 ，B有误；
令 ，则 ，即 ②，
由①②可得： ， ，C、D无误；
因此正确答案为：CD.
12、
【答案 】
B;C
【分析】
若每位小朋友至少分得1支，则由隔板法可得，不同的分法种数为C .
则选项A判断错误；选项B判断正确；
若每位小朋友至少分得2 支，则每位小朋友可先各发1支，剩下8支，再由隔板法可得，不同的分法种数为C .则
选项C判断正确；选项D判断错误.
因此正确答案为：BC
三、填空题
13、
【答 案】
【分析】
由 ，得 ，
则曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
则所求切线方程为 ，即 .
14、
【答 案】
【分析】
由空间中两点间距离公式可得 ,
因此正确答案为：
15、
【答 案】
5（答案不唯一）
【分析】
由已知得
，由已知 且满足 能被8整除，则 是8的整数倍，所以 （ ），则符合条件的
一个 的值为5.
因此正确答案为 ： （合理即可）
16、
【答 案】
【分析】
1，2，3，4，5，0组成数字不重复的六位数的个数共有 个
其中1，2相邻的六位数的个数共有 个
5 0 ， 相邻的六位数的个数共有 个
1和2相邻且5和0相邻的六位数的个数共有 个
即满足1和2 不相邻，5和0不相邻，则这样的六位数的个数为
因此正确答案为：
四、解答题
17、
【答 案】
(1)126；
(2)70.
【分析】
（1）通过题意，从9个球中任取5个球的不同取法种数是 ，
所以共有126种不同的取法.
（2）求恰有1个为红球的不 同取法数，需要两步：从2个红球中任取1个红球，有 种方法，
再从7个白球中取出4个白球，有C 种方法，
由分步乘法计数原理得 ，
所以恰有1个为红球，共有70种不同的取法.
18、
【答案 】
(1)、
，
(2)、
【分析】
(1)、设 的公差为 ,由已知，有 解得 ，所以 的通项公式为 ,
的通项公式为 .
(2)、 ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：
19、
【答案 】
(1)二项式系数为15，系数为240；
(2) ；
(3) .
【分析】
（1）在 的展开式中，第3项的二项式系数为 ，
第3项为 C ，
所以第3项的二项式系数为15，系数为240.
（2）二项式 展开式的通项是
，
由 ，得 ， C ，
所以含 的项是 .
（3）由（2）知，当 ，得 ，则 ，
所以常数项 .
20、
【答案 】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）通过题意知， ， ， 两两互相垂直，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴，建立
如下图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ．
底面 ， 底面 ，
又 ， ，
且 平面 ,
平面 ，
所以 是平面 的一个法向量．
因为 ，
所以 ．
又 平面 ，所以 平面 ．
（2）因为 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则
由 ，解得 ，令 ，
得平面 的一个法向量为 ．
设直线 与平面 所成的角为 ，
则sin \cos< ．
故：直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
21、
【答案 】
(1)、
递增区间为 ， ；递减区间为
(2)、
最大值为 ，最小值为-49
【分析】
(1)、 的定义域为 ，且 ，令 得 ，令 得
，所以递增区间为 ， ，递减区间 ；
x -3 (-3,-1) -1 (-1,1) 1 (1,3) 3
+ 0 - 0 +
-49 单调递增 极大值11 单调递减 极小值-1 单调递增 59
(2)、所以函数 在 上的最大值为 ，最小值为 -49.
22、
【答案 】
(1)答案见解析
(2)
【分析】
（1）通过题意可得 ，
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， ，则 ，
由 ，得 ，由 ，得 或 ，
则 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
当 时， 在 上恒成立，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 ，
由 ，得 ，由 ，得 或 ，
则 在 上单调递减，在 ， 上单调递增．
综上可得：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增．
（2）由（1）可知当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
要使 有两个零点，需至少满足 ，即 ，
当 时， ，
，
则 在 与 上各有一个零点，即 与题意相符．
当 时， 只有一个零点，则 与题意不相符．
当 时，由 ，当 时， ， ，
则 在 上恒成立．
由（1）可知 在 上单调 递增或先递减后递增，则 不可能有两个零点，即 与题意不相符．
综上可得， 的取值范围为 ．
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、一个集合有5个元素，这个集合的子集个数共有（ ）
A.16
B.31
C.32
D.64
2、为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种率，某区卫健委在城区设立了11个接种点，在乡镇设立
了19个接种点．某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫苗接种，则不同接种点的选法共有（ ）
A.11种
B.19种
C.30种
D.209种
3、等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝（ ）
A.8
B.12
C.16
D.24
4、已知函数 ，则该函数在区间 上的平均变化率为（ ）
A.
B.
C.
D.
5、在 的展开式中， 的系数是（ ）
A.35
B.
C.560
D.
6、P是椭圆 上一点， ， 是该椭圆的两个焦点，且 ，则 （ ）
A.1
B.3
C.5
D.9
7、A、B、C、D、E五个人并排站在一起，若A、B两人站在一起有（ ）种方法
A.12
B.24
C.48
D.72
已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列有关排列数 组合数计算正确的有（ ）
A.C
B.从 中任取两个数相乘可得C 个积
C.C C C C C
D. C
10、（多选）下列命题正确的是（ ）
A.若 ，则
B.设函数 ，若 ，则 e
C.已知函数 e ，则 e
D.设函数 的导函数为 ，且 ，则
11、设 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
12、将12支完全相同的圆珠笔分给4位小朋友.（ ）
A.若每位小朋友至少分得1支，则有C 种分法
B.若每位小朋友至少分得1支，则有C 种分法
C.若每位小朋友至少分得2支，则有C 种分法
D.若每位小朋友至少分得2支，则有C 种分法
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、曲线 在点 处的切线方程为 ．
14、在空间直角坐标系中，点 与点 之间的距离 ．
15、已知 且满足 能被8整除，则符合条件的一个 的值为 .
16、用1，2，3，4，5，0组成数字不重复的六位数，满足1和2不相邻，5和0不相邻，则这样的六位数的个数
为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球.
(1)共有多少种不同的取法
(2)恰有1个为红球，共有多 少种不同的取法
18、（本小题12分）
已知数列 为等差数列， 是公比为 的等比数列，且满足
(1)、求数列 和 的通项公式
(2)、令 求数列 的前n项和
19、（本小题12分）
在 的展开式中，求：
(1)求第3项的二项式系数及系数；
(2)含 的项
(3)常数项.
20、（本小题12分）
如图所示，四棱锥 的底面 是矩形， 底面 ， ， ，
， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所 成角的正弦值．
21、（本小题12分）
已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 在 上的最 大值和最小值.
(1)、求函数 的单调区间；
(2)、求函数 在 上的最大值和最小值.
22、（本小题12分）
已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点，求 的取值范围．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
C
【分析】
有5个元素的集合的子集个数为 .
因此正确答案为：C
2、
【答 案】
C
【分析】
该市民可选择的接种点为两类，一类为乡镇接种点，另一类为城区接种点，所以共有 + = 种不同接种点的
选法．
因此正确 答案为：C．
3、
【答 案】
C
【分析】
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由a2＝2，a5＝8，得
解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16.
因此正确答案为：C.
4、
【答 案】
A
【分析】
因为函数 ，
所以该函数在区间 上的 平均变化率为
，
因此正确答案为：A
5、
【答 案】
C
【分析】
二项式 的展开式的通项公式为 ，
令 ，
所以 的展开式中 的系数为 .
因此正确答案为：C
6、
【答 案】
A
【分析】
解：对椭圆方程 变形得 ，易知椭圆长半轴的长为4，
由椭圆的定义可得 ,
又 ，故 .
因此正确答案为：A.
7、
【答 案】
C
【分析】
把A、B二人看成一个整体，再与其余三人全排列.
故A、B 两人站在一起的方法数为A A
因此正确答案为：C
8、
【答 案】
D
【分析】
对于 ， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除 ；
对于 ， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除 ；
对于 ， ，则 ，当 时，
，与图象不符，排除C.
故选：D.
二、多选题
9、
【答 案】
B;D
【分析】
A. C ，所以该选项错误；
B. 从 中任取两个数相乘可得C 个积，所以该选项正确；
C. C +C C C C C +C C C C C C C C C , 所以
C C C C C ，所以该选项错误；
D. C = ，所以该选项正确.
因此正确答案为：BD
10、
【答案 】
B;D
【分析】
对于选项A, 即 ，则选项A不正确；
对于选项B,即 , 则 ，解得 e，则选项B正确；
对于选项C,即 e e ，则 e e e，则选项C不正确；
对于选项D,即 ， ，解得 ，
则选项D正确.
因此正确答案 为：BD.
11、
【答 案】
C;D
【分析】
令 ，则 ，即 ，A有误；
令 ，则 ， 即 ①，
则 ，B有误；
令 ，则 ，即 ②，
由①②可得： ， ，C、D无误；
因此正确答案为：CD.
12、
【答案 】
B;C
【分析】
若每位小朋友至少分得1支，则由隔板法可得，不同的分法种数为C .
则选项A判断错误；选项B判断正确；
若每位小朋友至少分得2 支，则每位小朋友可先各发1支，剩下8支，再由隔板法可得，不同的分法种数为C .则
选项C判断正确；选项D判断错误.
因此正确答案为：BC
三、填空题
13、
【答 案】
【分析】
由 ，得 ，
则曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
则所求切线方程为 ，即 .
14、
【答 案】
【分析】
由空间中两点间距离公式可得 ,
因此正确答案为：
15、
【答 案】
5（答案不唯一）
【分析】
由已知得
，由已知 且满足 能被8整除，则 是8的整数倍，所以 （ ），则符合条件的
一个 的值为5.
因此正确答案为 ： （合理即可）
16、
【答 案】
【分析】
1，2，3，4，5，0组成数字不重复的六位数的个数共有 个
其中1，2相邻的六位数的个数共有 个
5 0 ， 相邻的六位数的个数共有 个
1和2相邻且5和0相邻的六位数的个数共有 个
即满足1和2 不相邻，5和0不相邻，则这样的六位数的个数为
因此正确答案为：
四、解答题
17、
【答 案】
(1)126；
(2)70.
【分析】
（1）通过题意，从9个球中任取5个球的不同取法种数是 ，
所以共有126种不同的取法.
（2）求恰有1个为红球的不 同取法数，需要两步：从2个红球中任取1个红球，有 种方法，
再从7个白球中取出4个白球，有C 种方法，
由分步乘法计数原理得 ，
所以恰有1个为红球，共有70种不同的取法.
18、
【答案 】
(1)、
，
(2)、
【分析】
(1)、设 的公差为 ,由已知，有 解得 ，所以 的通项公式为 ,
的通项公式为 .
(2)、 ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：
19、
【答案 】
(1)二项式系数为15，系数为240；
(2) ；
(3) .
【分析】
（1）在 的展开式中，第3项的二项式系数为 ，
第3项为 C ，
所以第3项的二项式系数为15，系数为240.
（2）二项式 展开式的通项是
，
由 ，得 ， C ，
所以含 的项是 .
（3）由（2）知，当 ，得 ，则 ，
所以常数项 .
20、
【答案 】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）通过题意知， ， ， 两两互相垂直，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴，建立
如下图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ．
底面 ， 底面 ，
又 ， ，
且 平面 ,
平面 ，
所以 是平面 的一个法向量．
因为 ，
所以 ．
又 平面 ，所以 平面 ．
（2）因为 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则
由 ，解得 ，令 ，
得平面 的一个法向量为 ．
设直线 与平面 所成的角为 ，
则sin \cos< ．
故：直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
21、
【答案 】
(1)、
递增区间为 ， ；递减区间为
(2)、
最大值为 ，最小值为-49
【分析】
(1)、 的定义域为 ，且 ，令 得 ，令 得
，所以递增区间为 ， ，递减区间 ；
x -3 (-3,-1) -1 (-1,1) 1 (1,3) 3
+ 0 - 0 +
-49 单调递增 极大值11 单调递减 极小值-1 单调递增 59
(2)、所以函数 在 上的最大值为 ，最小值为 -49.
22、
【答案 】
(1)答案见解析
(2)
【分析】
（1）通过题意可得 ，
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， ，则 ，
由 ，得 ，由 ，得 或 ，
则 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
当 时， 在 上恒成立，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 ，
由 ，得 ，由 ，得 或 ，
则 在 上单调递减，在 ， 上单调递增．
综上可得：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增．
（2）由（1）可知当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
要使 有两个零点，需至少满足 ，即 ，
当 时， ，
，
则 在 与 上各有一个零点，即 与题意相符．
当 时， 只有一个零点，则 与题意不相符．
当 时，由 ，当 时， ， ，
则 在 上恒成立．
由（1）可知 在 上单调 递增或先递减后递增，则 不可能有两个零点，即 与题意不相符．
综上可得， 的取值范围为 ．