2022~2023学年广东广州荔湾区广东实验中学高二下学期期中数学试卷（图片版，含解析）

2022~2023学年广东广州荔湾区广东实验中学高二下学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合 ， ，若 ，则实数a的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
i
2、复数 的虚部为（ ）
i
A.
B. i
C.
D. i
3、等差数列 满足 ，则该数列的前13项的和为（ ）
A.45
B.55
C.78
D.110
4、已知角 满足 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
5、函数 ＝ 的图象大数为（ ）
A.
B.
C.
D.
6、若 ， ， ，则下列大小关系正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
7、已知 ， ， ， ， 成等比数列，且1和4为其中的两项，则 的最小值为（ ）
A.－64
B.－8
C.
D.
8、已知定义在 上的函数 满足 e ， e ， 为 的导函数，当
时， ，则不等式e e 的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列求导计算中，错误的有（ ）
A.若 ，则
B.若 ，则
C.若 ，则
D.若 ，则
10、已知二项式 的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则下列说法正确的是
（ ）
A.所有项的系数之和为1
B.所有项的系数之和为
C.含 的项的系数为240
D.含 的项的系数为
11、已知函数 ， 的图象关于直线 对称，则（ ）
A.函数 在 上有极值点
B.若方程 在 上有2个不同实根 ， ，则 的最大值为
C.函数 满足
D.函数 的图象向右平移 个单位长度得到的函数图象关于 对称，则 的最小值为
12、在棱长为 的正方体 中， 与平面 相交于点 ， 为 内一点，且
，设直线 与 所成的角为 ，则下列结论正确的是（ ）．
A.
B.点 的轨迹是圆
C.点 的轨迹是椭圆
D. 的取值范围是
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、3个男生3个女生排队接种流感疫苗，恰有两个女生排在一起的情况有 种（用数字作答）
14、已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围是 ．
15、已知 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则 的最大值为 ．
16、已知双曲线 的右焦点为 ，过点 且斜率为2的直线与双曲线 的两条
渐近线分别交于 两点，若 是线段 的中点，且 ，则双曲线的离心率为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知
(1)求角 的大小；
(2)已知 ， 的面积为6，求 的值．
18、（本小题12分）
已知函数
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时，讨论 的单调性
19、（本小题12分）
如图，已知斜四棱柱 ，底面 为等腰梯形， ，点 在底面 的射影为
，且 ， ， ， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)已知点 满足 ， ，且平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求直线
与平面 所成角的正弦值．
20、（本小题12分）
已知数列 首项为 ，对任意的 N ，满足
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
21、（本小题12分）
已知双曲线C以 为渐近线，其上焦点F坐标为 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于 两点， 的中垂线交y轴于点T，问 是否为定值，若
是，请求出定值，若不是，请说明理由.
22、（本小题12分）
已知函数 = ln ；
（1）讨论 的极值点的个 数；
（2）若 \Nu ，且 恒成立，求 \Nu 的最大值．
参考数据：
1.6 1.7 1.8
4.953 5.474 6.050
ln 0.470 0.531 0.588
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
C
【分析】
，因为 ，所以 为 的子集，
所以 .
因此正确答 案为：C.
2、
【答 案】
A
【分析】
i i i
因为 i，
i i i
i
所以复数 的虚部为 .
i
因此正确答案为：A
3、
【答 案】
C
【分析】
设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，
因为 ，所以 ；
所以 .
因此正确答案为：C.
4、
【答 案】
D
【分析】
由 得， ，即 ，解得 ，
又因为 ， ，
可得 ， 或 ， ，
所以 ，
因此正确答案为：D．
5、
【答 案】
C
【分析】
通过题意可知，函数 的定义域为 .
又 ＝ ，
所以，函数 为奇函数.
当 时， ＝ ，
则 .
设 ，则 在 上恒成立，
所以， 在 上单调递增.
又 ， ，
所以，根据零点存在定理可得， ，有 ，
且当 时，有 ，显然 ，
所以 在 上单调递增；
当 时，有 ，显然 ，
所以 在 上单调递减.
因为 ，所以C项满足题意.
因此正确答案为：C.
6、
【答 案】
D
【分析】
解：因为 ， ， ，
所以 ， ，
又因为 ，所以 ， ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
又 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ， ，即 ，
综上所述： .
因此正确答案为：D.
7、
【答 案】
B
【分析】
通过题意，要使 最小，则 ， ， 都是负数，则 和 选择1和4，
设等比数列 的公比为 ，
当 时， ，所以 ，所以 ，所以 ；
当 时， ，所以 ，所以 ，所以 ；
综上所述 的最小值为－8.
因此正确答案为：B
8、
【答 案】
B
【分析】
令 ，
e
所以 e ，因为 e ，
所以e e e ，
化简得 ，
所以 是 上的奇函数．
e e
，
e e
因为当 时， ，
所以当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，
又 是 上的奇函数，
所以 在 上单调递增．
e
因为 ，
e e
由e e ，得e e e ，
即 ，
由 在 上单调递增，得 ，解得 ，
所以不等式e e 的解集为 ．
故选：B．
二、多选题
9、
【答 案】
B;C;D
【分析】
由初等函数求导公式和复合函数求导法则知 ；
；
；
；
所以A无误，B、C、D有误，
因此正确答案为：BCD.
10、
【答 案】
A;C
【分析】
因为二项式 的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，即C 最大，
所以 ，则该二项式为 ，
令 可得所有项的系数之和为 ，故A无误，B有误；
展开式的通项公式为 C ，
令 ，则 ，因此含 的项的系数为 C ，故C无误，D有误.
因此正确答案为：AC.
11、
【答 案】
A;C;D
【分析】
因为 的图象关于直线 对称，
， ， ， ，
， 当 时， ， ，
对于A：令 ， ，解得 ， ，所以 在 处取得极大值，故A无
误；
对于B：由 ，所以 ，
令 ，解得 ，所以 在 上单调递增，
令 ，解得 ，所以 在 上单调递减，
又 ， ， ，
因为方程 在 上有2个不同实根 ， ，则 的最大值为 ，故B有误；
对于C： ，故 关于 对称，
所以函数 满足 ，故C无误；
对于D：函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象关于 对
称，
， ，即 ，又 ，故 的最小值是 ，故D无误；
因此正确答案为：ACD
12、
【答 案】
A;B;D
【分析】
如图所示，
与平面 相交于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
由题意可知 平面 ， 平面 ，则 ．
又因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ；
同理可证 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ．
又因为 ，
由正三棱锥性质可得点 即为 的中心，连接 ，
因为 为 的中点， 交 于点 ，连接 ，
由 平面 ， 平面 ，得 ，
所以选项A正确； 为 的高，
设 ，
由正方体棱长为 可知， ， ，
且 的内切圆半径 ，
所以 ，
．
又 ，即可得 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
所以选项B正确，选项C错误；
由 平面 ， 平面 ，得 ，
所以 ．
因此 是底面半径为 ，高为 的圆锥的母线，如图所示:
设圆锥母线与底面所成的角为 ，则 ，
所以 ，即直线 与平面 所成的角为 ．
又因为异面直线所成角的取值范围是 ，直线 在平面 内，
所以直线 与 所成的角的取值范围为 ．
又因为 ，
所以直线 与 所成的角的取值范围为 ，
即 ，所以选项D正确．
故选ABD．
三、填空题
13、
【答 案】
432
【分析】
先选两个女生看作一个整体有 种方法，
再排3个男生有 种排法，最后把女生插入男生形成的4个空隙中有 种排法；
根据分步计数原理可得共有： 种方法.
因此正确答案为：432.
14、
【答案 】
【分析】
函数 ，求导得 ，
通过题意， ， ，即 恒成立，
显然函数 是开口向上的二次函数，因此 ，
解得 ，
所以 的取值范围是 .
因此正确答案为：
15、
【答 案】
/
【分析】
当 时， 不成立，所以 .
由 得 .
因为 ， ，所以 ，解得 ，即 .
所以 ，
令 ，则 ，于是 .
令 ， ，则 .
由对勾函数的图象知， 在 上单调递减，故 .
所以 ，即 的最大值为 .
因此正确答案为： .
16、
【答 案】
/
【分析】
设直线 为 ，
双曲线的渐近线方程为 ，
联立 可得， ， ，不妨令 ，
同理可知 ，
设 ，则 ， ，
故 ，
故 ，
解得 ，方程两边同时除以 得，
，令 ，
可得 ，解得 或 1（舍去），
故 .
因此正确答案为： .
四、解答题
17、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）通过题意可得：
，
可得 ，∵ ，∴ .
（2）∵ 的面积 ，∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，即 ，
则 .
18、
【答 案】
(1)极小值为 ，极大值为 ；
(2)分类讨论，答案见解析.
【分析】
（1）∵ ， ，
∴ ，
当 时，令 ，解得 ，
2 3
- 0 + 0 -
减 极小值 增 极大值 减
∴极小值为 ，极大值为 .
（2）①当 时， ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
②当 时，令 ，得 或 ；
（i）当 时，即 时，则 恒成立，
所以 在 上单调递减；
（ii）当 ，即 时，
令 ，得 或 ；
令 ，得 ；
在 和 上单调递减，在 上单调递增；
综上所述：当 时， 在 上递减，在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；
19、
【答案 】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）
证明：等腰梯形 中， ， ，延长 ， 交于 ，则 ，
，所以 为等边三角形，
所以 ，且 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 面 ，
又因为 平面 ，则平面 平面 .
（2）过 作 交 于 ，
以 为坐标原点， 为 轴正半轴， 为 轴正半轴， 为 轴正半轴，建立如下图所示空间直角坐标系
，
则 ， ， ， ， ，
， ， ，
，
设平面 的一个法向量为
，则 ，取 ，则
取平面 的法向量 ，
，得 ，因为 ，所以 ，
即 ， ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成的角正弦值为 ．
20、
【答 案】
(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）由题条件可得 ，所以 ，
所以 是首项为3，公比为3的等比数列，所以 ，则 .
（2） ，
设 ， ，所以 ，
，
所以
，
所以 ，
因为 ，所以 .
21、
【答案 】
(1)
(2) 为定值
【分析】
（1）因为双曲线C以 为渐近线，
设双曲线方程为 ， 即 ,
∵ ，∴ ，即： ，
∴ ，∴ ，即 .,
所以双曲线C的方程为： .
（2）通过题意可知直线l一定有斜率存在，设直线l： ， ， ，
，
化简得： ， ，
此方程的两根为 ，则 ，
∴
.，
中点M坐标为 ，即 ，
∴PQ中垂线方程为： ，
令 ，∴ ，∴ ，
则 ，
∴ ，即 为定值，定值为 .
22、
【答 案】
(1)见解析;(2)10.
【分析】
（1）通过题意可得， = ，
①当 时， ，函数 单调递减，无极值点；
②当 时，令 ，得 ，
又 在 上是增函数，且当 时， ，
所以 在 上存在一解，不妨设为 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
所以函数 有一个极大值点，无极小值点；
总上可得：当 时，无极值点；
当 时，函数 有一个极 大值点，无极小值点．
（2）因为 \Nu ，由（1）知 有极大值 ，且 满足 ①，
ln 且 max ，
要使 恒成立，只需 ln ②，
由①可得 ，代入② 得 ln ，即 ln ，
因为 \Nu ，所以ln ，
因为ln ，ln ，且 ln 在 是增函数，
设 为 ln 的零点，则 ，可知 ，
由②可得 ln ，
当 时， ln ，不等式显然恒成立；
当 时，ln ， ，
ln
ln
令 ， ， ，
ln ln
所以 在 上是减函数，且 10.29， 10.31，
ln ln
所以 ，
所以 ，
又 \Nu ，
所以 的最大值 为 ．