2022~2023学年广东深圳龙华区深圳市龙华高级中学高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2022~2023学年广东深圳龙华区深圳市龙华高级中学高二上学期期中数学
试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、若向量 ， 互相垂直，则 （ ）
A.
B.
C.2
D.3
2、双曲线 的渐近线方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
3、将直线 绕着原点逆时针旋转 ，得到新直线的斜率是（ ）
A.
B.
C.
D.
4、已知直线 与直线 平行，则 等于（ ）
A.3或 —2
B.—2
C.3
D.2
5、已知点P为圆 ： 上任一点，点Q为圆 ： 上任一点，则 的最小值
为（ ）
A.1
B.
C.2
D.4
6、已知椭圆： ，过点 的直线与椭圆相交于 两点，且弦 被点 平分，则直线 的
方程为
A.
B.
C.
D.
7、在正方体 中,棱 的中点分别为 ,则直线 与 所成角的余弦值为
（ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知双曲线 ，过 的右焦点 作其渐近线的垂线，垂足为 ，若 的面
积为 ，则 的离心率为（ ）
A.
B.
C.2
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、到直线 的距离等于 的直线方程可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
10、已知曲线C的方程为 ，则（ ）
A.曲线C可以表示圆
B.曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆
C.曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆
D.曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线
11、直线 与圆 的交点个数可能为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
12、卡西尼卵形线是由下列条件所定义的:曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数．已知:曲线 是平
面内与两个定点 和 的距离的积等于常数 的点的轨迹,则下列命题中正确的是（ ）
A.曲线 过坐标原点
B.曲线 关于坐标原点对称
C.曲线 关于坐标轴对称
D.若点 在曲线 上,则 的面积不大于
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、抛物线 的准线方程是 .
14、正四面体 的棱长为 ,则 的体积为 ．
15、圆 关于直线 的对称圆的标准方程为 ．
16、已知抛物线 （ ）和动直线 （ ， ）交于两点 ， ，直
角坐标系原点为O，记直线的斜率分别为 ， ，且 恒成立，则当k变化时直线l恒经过的定点
为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
求满足下列条件的曲线的方程:
(1)离心率为 ,长轴长为8且焦点在x轴的椭圆的标准方程;
(2)与椭圆 有相同焦点,且经过点 的双曲线的标准方程．
18、（本小题12分）
已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
19、（本小题12分）
如图,在四棱锥 中,已知棱 两两垂直且长度分别为1,1,2, , ．
(1)若 中点为 ,证明: 平面 ;
(2)求点 到平面 的距离．
20、（本小题12分）
已知焦点在y轴上的抛物线过P（2，2）
(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知直线 与抛物线交于点A，B，若以AB为直径的圆过原点O，求直线l的方程．
21、（本小题12分）
如图， 是边长为3的正方形， 平面 ， ， ， 与平面 所成角为
.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余 弦值.
22、（本小题12分）
已知椭圆 的离心率为 ，左，右焦点分别为 ，过 的直线 与 交于 两
点，若 与 轴垂直时，
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若点 在椭圆 上，且 为坐标原点），求 的取值范围.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
B
【分析】
因为向量 ， 互相垂直，
所以 ，即 ，
解得 ，故
所以 ．
因此正确答案为：B
2、
【答 案】
A
【分析】
双曲线 的渐近线方程是 ，即
因此正确答案为：A
3、
【答 案】
A
【分析】
将 化为 ，
则该直线的斜率为 、倾斜角为 ，
所以旋转后新直线的倾斜角为 ，
则新直线的斜率为 .
因此正确答案为：A.
4、
【答 案】
C
【分析】
通过题意 ，解得 或 ，
时，两直线方程分别为 ， ，平行，
时，两直线方程分别为 ， ，两直 线重合，舍去．
所以 ．
因此正确答案 为：C．
5、
【答 案】
A
【分析】
解：通过题意分析可以得，圆 半径为 ，圆心坐标为 ，圆 半径为 ，圆心坐标为 ，
所以两圆的位置关系为内含，
所以 ， ，
所以 的最小值为 ．
因此正确答案为：A
6、
【答 案】
B
【分析】
设 ， ， ，
则
则
即直线 的斜率为
则直线 的方程为
即
因此正确答案为
7、
【答 案】
A
【分析】
解:由题正方体 ,
分别取 中点为 ,连接 ,如下图所示:
不妨记正方体棱长为2,
分别为 中点,
, ,
,
即 ,
故 ,
在 中,由余弦定理得:
,
所以直线 与 所成角的余弦值为 .
因此正确答案为:A
8、
【答 案】
C
【分析】
双曲线 的渐近线方程为：
过 的右焦点 作其渐近线的垂线，垂足为 ，则
所以在 中， ，所以
则 ，即
所以 ，即 ，所以 ，故
因此正确答案为：C
二、多选题
9、
【答 案】
C;D
【分析】
因为所求直线与直线 的距离为 ，
所以所求直线与已知直线平行，
设所求直线方程为 ，
所以 ，
解得 或 ，
故所求直线方程为 或 ．
因此正确答案为：CD
10、
【答案 】
C;D
【分析】
若曲线C表示圆，则 ，解得 ，则曲线C的方程为 ，无意义，A有误；
若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 ，不等式无解，B有误；
若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则 ，解得 ，C无误；
若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则 解得 ，D无误.
因此正确答案为：CD
11、
【答 案】
B;C
【分析】
．令 解得 故直线l经过
点 ．又 ，所以点 在圆C上，故直线l与圆C的交点个数可能为1或2．
因此正确答案为：BC.
12、
【答 案】
B;C;D
【分析】
解:不妨设曲线上任意点 ,
由曲线 定义可知: ,
即曲线 的方程为: ,
将 代入可得: ,
即 与 矛盾,
因此正确答案为项A有 误;
若 在曲线 上,
则有 成立,
将 代入曲线 的方程,
即 ,
所以 在曲线 上,
即曲线 关于坐标原点对称 ,
因此正确答案为项B无误;
若 在曲线 上,
则有 成立,
将 代入有:
,
故曲线 关于 轴对称,
再将 代入有:
,
故曲线 关于 轴对称,
综上:曲线 关于坐标轴 对称,
因此正确答案为项C无误;
若 在曲线 上,
则 ,
,
当且仅当 时取等,
所以 的面积不大于 ,
因此正确答案为项D无误.
因此正确答案为:BCD
三、填空题
13、
【答 案】
【分析】
由 得抛物线方程为 ，所以 ，
所以抛物线 的准线方程是 ，
因此正确答案为： .
14、
【答案 】
【分析】
解:通过题意分析可以得正四面体 ,
故可将正四面体 放到正方体中如下 图所示:
由正四面体的棱长为 ,
可得正方体棱长为1,
由图象可以知正四面 体体积为正方体体积减去4个全等的小三棱锥的体积,
即
.
因此正确答案为:
15、
【答 案】
【分析】
， 圆心为 ，半径为 ，
设圆心关于直线 的对称点为 ，
\left\{ \begin{align}
& \frac{y+1}{x}\times (-1)=-1, \\
& \frac{x}{2}+\frac{y-1}{2}-1=0, \\
\end{align} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& x=2, \\
& y=1. \\
\end{align} \right.
对称圆的标准方程为 .
. 因此正确答案为：
16、
【答 案】
【分析】
解：将直线与抛物线联立，消去 ，得 ，
， ；
， ，
；
，
解得 ，
令 ，得 ，
直线过定点 ．
因此正确答案为：
四、解答题
17、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）解:通过题意分析可以得长轴长为8,
故 ,
,
故 ,
,
椭圆焦点在 轴上,
椭圆的标准方程为: ;
（2）由题椭圆为 ,
所以椭圆焦点坐标为: ,
即为双曲线的焦点坐标.
设双曲线的实半轴长,虚半 轴长,半焦距分别为 ,
则双曲线的标准方程为
,
①,
将 代入双曲 线方程有:
②,
联立①②可得:
,
故双曲线方程为: .
18、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
，∴ ．
（2）通过题意可得， ，∴ ，
∵ 联立得， ， ，
由余弦定理可得， ， ，此时周长为 ．
19、
【答 案】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）证明:取 中点为 ,连接 ,如下图所示:
分别为 中点,
,且 ,
, ,
,
故四边形 为平行四 边形,
故 ,
不含于平 面 , 平面 ,
故 平面 ;
（2）连接 , 两两垂直且长度分别为1,1,2,
且 , ,
,
将底面拿出考 虑如下:
, , ,
,
,
,
记 到平面 的距离为 ,
则
,
解得: ,
故 到平面 的距离为 .
20、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）解：通过题意可设抛物线的方程为 ，
代入点 得 ，解得 ，
所以抛物线的标准方程 ，
准线方程为 ；
（2）解：设 ，
联立 ，消 得： ，
，则 ，
，
因为以 为直径的圆过原点 ，
所以 ，则 ，
即 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
所以直线 的方程为 .
21、
【答 案】
（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）证明：因为 平面 ， 面 ，所以 .
因为 是正方形，所以
又 ， 面 ， 面 ，故 平面
（2）因为 两两垂直，建立空间直角坐标系 如下图 所示.
因为 平面 ，且 与平面 所成角为 ，即 ，
所以 ，由已知 ，可得 ， .
则 ， ， ， ， ，
所以 ， .
设平面 的法向量为 ，则 ，即 .
令 ，则
因为 平面 ，所以 为平面 的法向量， .
所以 .
因为二面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 .
22、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）通过题意得， ，即 ，则 ，把 代入椭圆方程可得 ，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，∴ ， ，∴椭圆C的标准方程为 ；
（2）由（1）知， 的坐标为 ，
①当直线 的斜率不存在时， ， ，则 ；
②当直线 的斜率为0时， ， ，则 ；
③当直线 的斜率存在且不为0时，设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
设 ， ，则 ， ，
则 ，
，
设点 ，则 ，即 ，代入椭圆方程得 ，
∴ ，则 ，∴ ，
∴ ，
又 ，∴ 的取值范围是 ，
综上所述， 的取值范围是 .