2022~2023学年广东深圳罗湖区深圳中学高二下学期期中数学试卷（图片版，含解析）

2022~2023学年广东深圳罗湖区深圳中学高二下学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知函数 ,则 （ ）．
A.
B.
C.
D.
2、对四组数据进行统计，获得以下散点图，则其相关系数值最大的是（ ）．
相关系数 相关系数
相关系数 相关系数
A.
B.
C.
D.
3、已知 ~ ,且 , ,则 等于（ ）．
A.
B.
C.
D.
4、一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概
率为（ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度 ~ ,则取得的这件材料的强度介于 到
之间的概率为（ ）．
附:若 , 则 ， ,
A.
B.
C.
D.
6、某一离散型随机变量的分布列为
且 ，则 的值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
7、已知函数 ，则 的图象大致为（ ）．
y
x
A. O
y
x
O
B.
y
x
O
C.
y
E x
O
D.
8、当 时，下列不等式正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、关于 的展开式，下列结论正确的是（ ）．
A.奇数项的二项式系数和为
B.所有项的系数和为
C.只有第 项的二项式系数最大
D.含 项的系数为
10、关于随机事件 下列说法正确的是（ ）．
A.若 ,则 独立
B.若 ,则
C.若 ,则
D.若事件 和 是两个互斥事件，则
11、设函数 的定义域为 ， 是 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）．
A. ,
B. 是 的极大值点
C. 是 的极小值点
D. 是 的极小值点
12、已知函数 , ）,其中 ,则（ ）．
A.存在过点 与函数 、 图象均相切的直线
B.当 , 时，不存在与函数 、 图象均相切的直线
C.当 , 时，存在两条与函数 、 图象均相切的直线
D.最多存在三条与函数 、 图象均相切的直线
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、画出一个 列联表：
总计
总计
则表中 ， 处的值分别为 ； ．
14、甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局比赛都结束，假定甲每局比赛获
胜的概率均为 ,则甲以 的比分获胜的概率为 .
15、随机变量 的取值为 .若 ， ，则 ．
16、已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
如图，已知长方体 , , , , , .
(1)、求异面直线 与 所成角的余弦值;
(2)、求平面 与平面 所成角的余弦值.
18、（本小题12分）
已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在 之间，一农学实验室研究人员为研究温度 与绿豆新品种
发芽数y（颗）之间的关系，每组选取了成熟种子 颗，分别在对应的 的温度环境下进行实验，得
到如下散点图:
颗
参考数据: , , , .
参考公式:相关系数 ,
回归直线方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
(1)、由折线统计图看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以说明;
(2)、建立 关于 的回归方程，并预测在 C的温度下，种子发芽的颗数.
19、（本小题12分）
若函数 .
(1)、当 时，求函数 的单调区间;
(2)、在 处有极值为-2,求 的值.
20、（本小题12分）
深圳中学足球社团是一个受学生欢迎的社团．
(1)、现社团招新，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取，
若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球 次， 某同学进行“点球测试”，依据平时的训练数
据，获得其单次点球踢进的概率为 ，该同学每次点球是否踢进相互独立．他在测试中所踢的点球次数记为
，求 的分布列及数学期望．
(2)、社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者
再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人
为第 次触球者，第 次触球者是甲的概率记为 ，即 ．
（i） 证明：数列 为等比数列．
（ii）判断第 次还是第 次触球者是甲的概率大．
21、（本小题12分）
函数 .
(1)、若函数 存在过 的切线，求实数 的取值范围;
(2)、若 , 函数 在区间 上最大值为 ,最小值为 ,求 的最小值.
22、（本小题12分）
已知函数 , .
(1)、若 ,求 的取值范围;
(2)、当 时，证明:
参考答案
一、选择题
1、
【答 案】
C
【分析】
，则
2、
【答 案】
A
【分析】
由图中显然①与③为正相关，②与④为负相关，故 ， ， ， ;并从图中可看出 ， 更接近 ，
可得答案A
3、
【答 案】
A
【分析】
已知 ~ , , ，则
4、
【答 案】
B
【分析】
设事件 ：表示第1次取到黑球，事件 ：表示第1次取到白球，
事件 ：表示第2次取到黑球，可得 ，
则 .
因此正确答案为：B.
5、
【答 案】
D
【分析】
因为 ~ ， ， ，
所以
6、
【答 案】
B
【分析】
依题意得
，
解得 ，
∴ ．
7、
【答 案】
B
【分析】
设 ，
则 ，
∴ 在 上为增函数，在 上为减函数，
∴ ，
∴ ，
得当 或 时，均有 ，排除ACD．
故选B．
8、
【答 案】
C
【分析】
令 ， ，
当 时， ， ，
则 , 在 上单调递减，
又 ,
则
又
则
二、多项选择题
9、
【答 案】
B;D
【分析】
略
10、
【答案 】
A;B;D
【分析】
略
11、
【答 案】
B;C;D
【分析】
极大值不一定是最大值，因此不满足在整个定义域上值最大，故A错误．
是把 的图像关于 轴对称，
因此 是 的极大值点，故B正确．
是把 的图像关于 轴对称，
因此 是 的极小值点，故C正确．
是把 的图像关于原点做对称，
因此 是 的极小值点，故D正确．
12、
【答案 】
B;C
【分析】
已知 ，函数定义域为 ，
可得 ，
对于选项 ，易知函数 的图象恒过定点
所以切线斜率 ，切线方程为 ，
显然 不是函数 的切线，故选项A错误；
对于选项 ，当 ， 时， , ，
假设存在公切线与 切点 ，
所以函数 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
函数 在点 处的切线方程为 ，
即
其满足
所以
此时 ，
整理得 ，
即 ，①
不妨设 ，函数定义域为
可得 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
所以 在 上取得极小值也是最小值，
所以 ，
其不满足①式，故 不存在，
所以不存在与函数 、 图象均相切的直线，
故选项B正确；
对于选项 ，当 , 时 ， ，
可得
假设存在公切线与 切点 ，
所以函数 在点 处的切线方程为 ，
即
函数 在点 处的切线方程为
即
其满
所以
即 ②
不妨设 函数定义域为 ，
可得
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减，
所以 在 上取得极大值也是最大值，
此时方程②有两解，
所以存在 条公切线，故选项C正确；
对于选项 ，函数 、 至多存在两条公切线，故选项D错误．
故选：BC．
三、填空题
13、
【答案 】
;
【分析】
由题意可知：
，解得 ．
故答案为： ， ．
14、
【答 案】
【分析】
甲以 的比分获胜，甲只能在第 、 、 次中失败 次，第 次获胜，因此所求概率为
15、
【答案 】
【分析】
设 ，
则 ，
从而由 ，
得 ，
故 ．
故
16、
【答 案】
【分析】
令 ，即 ，显然 不是方程的根，
则 ，
令 ，
，
， 随 的变化如下表所示：
极小值 极大值
又 ， ，
且 时， ，
且 时， ，
当 时， ，
时， ，
做出函数草图如下图所示：
故 ，
即 的取值范围为 ．
四、解答题
17、
【答 案】
(1)、
(2)、
【分析】
(1)、以 为坐标原点，分别以 为 ， ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则
故 ，
设异面直线 与 所成角为 ，
(2)、设 是平面 的法向量， ，
取 ，有
设 ） 是平面 的法向量，
,
则
取 ，有
设平面 与平面 所成角为 ，
18、
【答 案】
(1)、
暂无
(2)、
暂无
【分析】
(1)、由题意可知：
又
所以相关系数
因为相关系数 ，所以 与 的线性相关性较高，可以利用线性回归模型拟合 与 的关系．
(2)、由（ ）知
所以
所以
所以 与 的回归直线为
当 时，
即在 的温度下，种子发芽的颗数为 .
19、
【答 案】
(1)、
见解析
(2)、
【分析】
(1)、当 时，
若 ， 恒成立，函数 的单调递增区间为
若 ， 或 ， ，函数 单调递增,
时， ，函数 单调递减
若 ， 或 时， ，函数 单调递增,
时， ，函数 单调递减
综上： 时，函数 的单调递增区间为
， 时，函数 的单调递增区间为 ，
函数 的单调递减区间为
时，函数 的单调递增区间为 ,
函数 的单调递减区间为
(2)、 ，即 ，
消元有 ，
解得 或 .
当 时， ， ，满足题意
当 时， ， ，与存在极值点矛盾
故 ， ， ．
20、
【答案 】
(1)、
见解析
(2)、
见解析
【分析】
(1)、因为该同学踢一次点球命中的概率 ，
由题意， 可能取 ， ， ，则 ， ，
，
的分布列为
即 ．
(2)、（i） 第 次触球者是甲的概率记为 ，
则当 时，第 次触球者是甲的概率为 ，第 次触球者不是甲的概率为 ，
则 ，
从而 ，
又 ，
是以 为首项，公比为 的等比数列．
（ii） ，
， ，
，
故第 次触球者是甲的概率大．
21、
【答 案】
(1)、
(2)、
【分析】
(1)、设切点为 ，则切线方程为
切线过点 ，故 ，整理得
令 最大值 ，故
(2)、(i）当 时， 恒成立，函数 在区间 上单调递减，
所以 ，所以 ，
令 ，则函数 在区间 上单调递增，
所以 的最小值为 ，即 的最小值为 ．
(ⅱ)当 时，由 ,得 ,由 ,得
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增
所以
①当 时， ，此时
所以 ，
令 ，则
所以函数 在区间[ 上单调递增，
所以函数 的最小值为
所以 的最小值为
②当 时， ,
所以
所以
令 ，则 ，
所以函数 在区间( 上单调递减，
所
综止所述： 的最小值为
22、
【答案 】
(1)、
(2)、
见解析
【分析】
(1)、记 .
则 恒成立，即 ．
∵ ，
当 ，当 ；
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减
∴ ,解得 ·
∴实数 的取值范围是
(2)、记
在 上单调递增
令 ，
则 .所以 即 在 上单调递增
由 ,知
∴ 即
∴当 单调递减；当 单调递增．
∴
由(*)式，可得
代入(**)式，得
由(1）知，当 时有 ，故
由 ,
故 ，即 ，原不等式得证