2022~2023学年广东肇庆端州区肇庆中学高一上学期期中数学试卷（图片版，含解析）

2022~2023学年广东肇庆端州区肇庆中学高一上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合 ，集合 ，则 ＝（ ）
A.
B.
C.
D.
2、下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递减的函数是（ ）
A.
B.
C.
D.
3、设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
4、已知奇函数 ，当 时， （ 为常数），则 （ ）
A.1
B.2
C.－3
D.3
5、已知偶函数f(x)与奇函数g(x)的定义域都是[－2，2]，它们在[0，2]上的图象如图所示，则关于x的不等式
f(x)·g(x)＜0成立的x的取值范围为（ ）
A.(－2，－1)∪(0，1)
B.(－1，0)∪(0，1)
C.(－1，0)∪(1，2)
D.(－2，－1)∪(1，2)
6、若正实数m满足 ，则 的值为（ ）
A.-2
B.0
C.-4
D.
7、若命题“ ”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知 是偶函数，且在 上递减，若 时， 恒成立，则实数 的取值
范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为（ ）
A.若a>b，则acB.若 ，则a>b
C.若aab>b2
D.若a>0>b，则|a|<|b|
10、已知 ， ，且 ，则下列各选项正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11、（多选）下列命题不是真命题的（ ）
A.已知集合 或 ，则 的一个必要不充分条件是
B.函数 的值域为
C.已知函数 ，则函数 的解析式为
D.如果方程 的两根为α、β，则 的值是
12、（多选）已知连续函数 满足：① ，则有 ，②当 时，
，③ ，则以下说法中正确的是（ ）
A.
B.
C. 在 上的最大值是10
D.不等式 的解集为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知幂函数 的图象过点 和 ，则实数m＝ .
14、函数 的单调递增区间为 .
15、若正数 、 满足 ，则 的最小值为 .
16、已知函数 ，若 的最小值为 ，则实数 的取值范围是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
（1）求值 lg lg ；
（2）设 ，求 的值.
18、（本小题12分）
（1）求 的值域；
（2）解不等式 （ 且 ）.
19、（本小题12分）
已知定义域为R的函数 是奇函数．
(1)求a，b的值．
(2)判断函数 的单调性，并用定义证明．
20、（本小题12分）
某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第 年 N 花在该台运输
车上的维护费用总计为 万元，该车每年运输收入为25万元.
(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正 值）
(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价 格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.
哪一种方案较为合算？请说明理由.
21、（本小题12分）
已知 .
(1) 若不等式 对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若 ，解不等式 .
22、（本小题12分）
若函数 在区间 上有最大值4和最小值1，设
(1)求 的值；
(2)若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围；
(3)关于 的方程 有且仅有二个不同的实根，求实数 的取值范围.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
B
【分析】
因为集合 ，集合 ，
所以 ， .
因此正确答案为：B.
2、
【答 案】
B
【分析】
对选项A： 关于 对称，不是偶函数，排除；
对选项B ： 定义域为 ， .
函数为偶函数，且在 上单调递减，满足；
对选项C： 定义域为 ，是奇函数，排除；
对选项D：当 ， 单调递增，排除.
因此正确答案为：B.
3、
【答 案】
D
【分析】
由指数函数的单调性可得， ，
，所以 .
因此正确答案为：D
4、
【答 案】
C
【分析】
由于 是奇函数，所以 ，
所以 ，
所以 时， ，
所以 .
因此正确答案为：C
5、
【答 案】
C
【分析】
如下图所示：当 时， ， ， ；当 时， ，
， ，故当 时，其解集为 ，∵ 是偶函数， 是奇函数，∴ 是
奇函数，由奇函数的对称性可得：当 时，其解集为 ，综上：不等式 的解集是
．
因此正确答案为： C.
6、
【答 案】
A
【分析】
，
，
因此正确答案为：A
7、
【答 案】
A
【分析】
由命题“ ”为真命题，即不等式 在 上恒成立，
设 ，
根据二次函数的性质，可得 ，所以 .
因此正确答案为：A.
8、
【答 案】
A
【分析】
因为 是偶函数，所以 ，
所以 在 恒成立
等价于 在 恒成立，
又因为 在 上递减，根据偶函数性质， 在 上递增，
所以 在 恒成立，
因为 ，所以 恒成立，即 ，
所以 ，即 ，设 ， ，
易知函数 在 单调递减，所以 ，即 = ；
设 ， ，易知函数 在 单调递增，
所以 ，即 = ，
综上所述：实数 的取值范围是： .
因此正确答案为：A.
二、多选题
9、
【答 案】
B;C
【分析】
A选项， ，若 ，则 ，所以A有误.
B选项， ，B无误.
C选项， ，
； ，
所以 ，C无误.
D选项， ，所以D有误.
因此正确答案为：BC
10、
【答案 】
A;C;D
【分析】
对于A：因为 ， ， ，所以 ，当且仅当 时等号成立，故A无
误；
对于B：因为 ， ， ，又由基本不等式可得 ，所以
，当且仅当 时等号成立，故B有误；
对于C：因为 ， ， ，所以 ，当且仅当 时
等号成立，故C无误；
对于D，因为 ， ， ，所以 ，当且仅当
等号成立，故 ，故D无误.
因此正确答案为：ACD.
11、
【答 案】
A;B;C;D
【分析】
对A， 或 ，解得 或 ，
即 ，所以 是命题成立的必要不充分条件，故 错误；
对B， ，当 ，即 时取得最小值 ，故B有误；
对C，因为 ，所以 ，故
C有误；
对D，通 过题意知， 是一元二次方程 的两根，根据根与系数的
关系可知， ，所以 ，故D有误.
因此正确答案为：ABCD
12、
【答 案】
A;C;D
【分析】
因为 ，则有 ，
令 ，则 ，则 ，故A无误；
令 ，则 ，
令 代 ， 则 ，
即 ，即 ，故 B有误；
设 且 ，则 ，由 ，
令 ，则 ，即 ，
令 ， ，则 ，即
，
因为 时， ，又 ，故 ，
所以 ，所以 ，即 在 上单调递减，
又 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
故 在 上的最大值为 ，故C无误；
由 ，即 ，
即 ，即 ，
又因为 ，即 ，
所以 ，即 ，
故 ，即 ，解得 ，
即原不等式的解集为 ，故D无误；
因此正确答案为：ACD.
三、填空题
13、
【答 案】
2
【分析】
通过题意，设 ，
因为幂函数 的图象经过 点 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
又幂函数 的 图象经过点 ，
所以 .
因此正确答案为： .
14、
【答案 】
【分析】
令 ，根据二次函数的性质，
可得函数 在 单调递增，在 单调递递减，
又由 ，根据指数函数的性质，可得函数 为单调递减函数，
根据复数函数的单调性的判定方法，可得函数 的单调递增区间为 .
因此正确答案为： .
15、
【答 案】
【分析】
解：因为正数 、 满足 ，
所以 ，且
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为
因此正确答案为：
16、
【答 案】
【分析】
函数 ，可得 时， ，当且仅当
时， 取得最小值 ，
由 时， ，
若 时， 在 ， 递减，可得 ，
由于 的最小值为 ，所以 ，解得 ；
若 时， 在 处取得最小值与题意矛盾，故舍去；
综上得实数a的取值范围是 ，
因此正确答案为： .
四、解答题
17、
【答 案】
（1） ；（2） .
【分析】
（1） lg lg
lg ，
（2）通过题意有 log log log log ，
所以 log log log .
18、
【答案 】
（1）
（2）答案见解析
【分析】
（1）设 ， ， ，
则 ，
故 .
故函数 的值域为 ；
（2）当 时， 在定义域内单调递增，
故 ，
解得 或 ；
当 时， 在定义域内单调递减，故 ，
解得 ；
综上所述： 时， ；
时， .
19、
【答 案】
(1) ，
(2) 在 上为减涵数，证明见解析
【分析】
（1）因为 在定义域为R上是奇函数，所以 ，即 ，
∴ ，又 ，即 ，∴ ．
则 ，由 ，
则当 ， 原函数为奇函数．
（2）由（1）知 ，
任取 ，设 ，
则 ，
因为函数 在R上是增函数， ， ．
又 ，
，即 ，∴ 在 上为减涵数．
20、
【答 案】
(1)3年
(2)方案 ①较为合算
【分析】
（1）通过题意可得 ，即 ，
解得 ， ，
该车运输3年开始盈利.；
（2）该车运输若干年后， 处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价 格卖出，
，
当且仅当 时，取等号，
方案①最后的利润为： （万 ；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，
，
时，利润最大，
方案②的利润为 （万 ，
两个方案的利润都是59万，按照时间成 本来看，第一个方案更好，因为用时更短，
方案①较为合算.
21、
【答 案】
(1)
(2)解集见解 析
【分析】
（1）变形得到 对一切实数x恒成立，
当 时， ，不对一切实数x恒成立，舍去；
当 时，则需 ，解得 ，
综上所述实数a的取值范围是 ；
（2） ，即 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以当 时， ，解集为 ，
当 时， ，解集为 ，
当 时， ，解集为 ，
综上：当 时， 的解集为 ，
当 时， 的解集为 ，
当 时， 的解集为 .
22、
【答 案】
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】
（1）由二次函数的性质得最大值和最小值，从而求得 ；
（2）化简不等式得 ，令 ，则 ，求得 ，求得
在 上的最大值即得；
（3）方程变形为 ，令 ，得
，由函数的 的性质得出方程 的解的情
况，然后由二次方程根的分布知识得结论．
（1）
，对称轴 ， ， 在 上单调递增，
所以 ，解得 ；
（2）
由（1）知 ， 化为 ，即
，
令 ，则 ，因为 ，所以 ，
问题化为 ，
记 ，因为 ，所以 ，
所以 ；
（3）
原方程 化为 ， ,
令 ， 时， 是减函数，且 ， 时， 是增函数且 ，
，则 ，
所以 时 ， 有两个实数解， 时， 无实数解．
原问题转化为 （*）在 上只有1个实根，
， 或 ，
时，方程（*）的解为 满足题意
时，方程（*）的解为 ，满足题意，
，即 或 时，方程（*）有两个不等的实根 ， ，不妨设 ，则 ， ，
，即 时，方程（*）的解为 ， ，满足题意．
即 时， ， 满足题意．
综上，实数 的取值范围是 ．
【点睛】
方法点睛 ：本题考查二次函数的性质，考查不等式有解，方程根的分布问题，解题方法是换元法，利用换元法
把指数不等式转化为二次不等式，再转化为求二次函数的最值，把指数型方程转化为二次方程，利用二次方程
根的分布知识求解，本题属于难题，对学生的运算求解能力，逻辑思维能力要求较高．