2022~2023学年贵州贵阳观山湖区贵阳市第一中学高三上学期期末数学试卷（图片版，含解析）

2022~2023学年贵州贵阳观山湖区贵阳市第一中学高三上学期期末数学试
卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、已知集合 ， ，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2、若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3、在 这四个函数中，当 时，使得不等
式 成立的函数的个数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
4、若A，B，C是△ABC的三个内角，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知 为 所在平面内一点，若 ，则 （ ）
A.1：3
B.1：4
C.1：5
D.1：6
6、深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数
衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学习率， 表示衰减系
数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 ，衰减速度为
，且当训练迭代轮数为 时，学习率衰减为 ，则学习率衰减到 以下（不含 ）所需的训练迭代轮
数至少为（ ）（参考数据： ， ）
A.
B.
C.
D.
7、若圆 上有四个不同的点到直线 的距离为 ，则 的取值范
围是（ ）
A.
B.
C.
D.
8、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
9、已知点 是抛物线 上的一点，若以抛物线的焦点 为圆心，以 为半径的圆交抛物线的
准线于 ， 两点， ，当 的面积为 时，则 等于（ ）
A.2
B.
C.4
D.
10、第 届世界大学生夏季运动会于 月 日至 月 日在成都举办，现在从 男 女共 名青年志愿者中，选出
男 女共 名志愿者，安排到编号为 、 、 、 、 的 个赛场，每个赛场只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能
安排在编号为 、 的赛场，编号为 的赛场必须安排女志愿者，那么不同安排方案有（ ）
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
11、已知点 ， 分别是双曲线 ： 的左、右焦点，过 作斜率为 的直线 与双
曲线的左、右两支分别交于 ， 两点，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12、已知 ，且 ，则 的最大值是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知复数 是纯虚数，其中 ， 是虚数单位，则 ．
14、在棱长为1的正方体 中，点Q为侧面 内一动点（含边界），若 ，
则点Q的轨迹长度为 ．
15、已知点F是椭圆 的右焦点，点P在椭圆上， 且 的最小值为
3，则椭圆C的离心率是 ．
16、已知 是定义在R上的函数，且函数 的图象关于直线 对称，当 时，
.若曲线 在 处的切线与函数 的图象也相切，则实数a的值
是 .
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
已知数列 和 满足： ， ， ， ，其中 ．
(1)求证： ；
(2)求数列 的前 项和 ．
18、（本小题8分）
新型冠状病毒是一种急性的传染性疾病，传播速度很快，它的传播途径主要是飞沫传播、口液传播以及接触传
播等，传播速度最快的是飞沫传播．佩戴口罩能有效预防新冠病毒的感染，双方都戴口罩的情况下新冠病毒感
染的几率大概只有 ，如果戴口罩再加上保持1.8米的距离，感染的几率是 ，如果双方都不戴口罩，那么
感染几率高达 ．为了调查不同年龄层的人对“佩戴口罩”的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果
统计如下表所示．
年龄
频数 30 75 105 60 30
愿意戴口罩 24 66 90 42 18
(1)完成下列 列联表，并判断是否有 的把握认为年龄与戴口罩态度具有相关性；
年龄在50周岁以上（含50周岁） 年龄在50周岁以下 合计
愿意戴口罩
不愿意戴口罩
合计
(2)现从年龄在50周岁以上（含50周岁）的样本中按是否愿意佩戴口罩，用分层抽样法抽取6人，再从这6人中随
机抽取3人，记抽出的3人中不愿戴口罩的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望．
参考公式： ．
参考数据：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19、（本小题8分）
如图，在四棱锥 中，底面 为梯形， ， ， ，
， 是等边三角形．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成的锐 二面角的余弦值．
20、（本小题10分）
已知A，B为椭圆 的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点，直线AP与直线BP的
斜率之积为 ，且椭圆C过点 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线AP，BP分别与直 线 相交于M，N两点，且直线BM与椭圆C交于另一点Q，证明：A，N，Q三点
共线．
21、（本小题12分）
已知函数 ， ， 是 的导数.
(1)讨论 的单调性，并证明： ；
(2)若函数 在区间 内有唯一的零点，求a的取值范围.
22、（本小题12分）
在直角坐标系 中，点 的坐标是 ，曲线 的参数坐标方程 （ 为参数，
）．以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中曲线 的极坐标方程为 ， 与 交于
， 两点．
(1)将曲线 的 极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它是什么曲线？
(2)过点 作垂直于 的直线 交 于 ， 两点，求 的值．
23、（本小题12分）
已知 、 、 都是正实数．
(1)求证： ；
(2) 若 ，求证： ．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
A
【分析】
根据角的范围及集合的关系即可判断.
【详解】
当 时， ，
当 时， ，
所以 .
故选：A
2、
【答 案】
C
【分析】
当 时可由基本不等式推得 ；当 时解不等式可得 ，则可判定它们之间的逻辑关
系.
【详 解】
当 时由基本不等式可得 ，当且仅当 时取得“=”
当 时，则 ，
可得 即 ，
解得 ；
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选： .
3、
【答 案】
D
【分析】
依题意可得 在 内是上凸函数，结合基本初等函数的图象判断即可.
【详解】
满足 为上凸函数，如图：
分别考虑四个函数在 上的图象，
如下图，因为 在 上是上 凸函数，故正确；
如下图， 在 上不是上凸函数，故错误；
如下图， 在 上是上凸函数，故正确；
如下图， 在 上是上凸函数，故正确；
故选：D.
4、
【答 案】
B
【分析】
由正弦定理、三角形内角及余弦函数性质判断A、B；特殊值 即可判断C、D.
【详解】
由 ，则 ，而 ，则 ，A错；
由 ，结合余弦函数性质知： ，B对；
对于 ，则 ， ，C、D错；
故选：B
5、
【答 案】
B
【分析】
取 边中点 ，由已知及向量的线性运算得 ，从而得到两个三角形高的比，可得到答案.
【详解】
由 ，得 ，
取 边中点 ，连接 ，则 ，所以 ，
又 与 有相同的底边 ，则它们的高之比即为 与 的比为 ，
所以 .
故选：B.
6、
【答 案】
C
【分析】
由已知信息可得出 ，将 ， 代入指数模型求出 的值，然后解不等式 ，结合
对数运算可求得结果.
【详解】
由题中信息可得 ， ，则 ，
当 时， ，即 ，解得 ，即 ，
由 ，可得 ，
所以， ，
故学习率衰减到 以下（不含 ）所需的训练迭代轮数至少为 .
故选：C.
7、
【答 案】
C
【分析】
求出与直线 平行且到直线 的距离为 的直线的方程分别为 、 ，由题
意可知，这两条直线与圆 都相交，根据直线与圆的位置关系可得出关于实数 的不等式组，即可解得实数 的
取值范围.
【详解】
将圆 的方 程化为标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
设与直线 平行且到直线 的距离为 的直线的方程为 ，
则 ，解得 或 ，
所以，直线 、 均与圆 相交，
所以， ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是 .
故选：C.
8、
【答 案】
A
【分析】
作出对应的立体图形，求出各边长和 的正弦值，即可求出该几何体的表面积.
【详解】
由题意， 作出立体图形如下图所示，
过点 作 于点 ，
由几何知识得，
,
在 中，由勾股定理得，
,
在 中，由勾股定理 得，
,
在Rt 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定 理得，
在 中，由余弦定理得，
，解得： ，
∴ ，
故选：A.
9、
【答 案】
C
【分析】
依题意可得 为等边三角形，则用 可表示出 ，利用三角形面积公式，结合抛物线定义可构造
方程求得 的值.
【详解】
依题意 ，所以 为等边三角形，
设准线与 轴交点为 ，则 ， ，
则圆的半径 ，
，解得 （负值舍去）.
故选：C.
10、
【答案 】
D
【分析】
对女志愿者甲是否被选中进行分类讨论，分别确定各赛场的人员安排，结合分类加法计数原理可得结果.
【详解】
分以下两 种情况讨论：
①女志愿者甲被选中，则 还需从剩余的 人中选出 男 女，选法种数为 ，
则女志愿者甲可安排在 号或 号或 号赛场，另一位女志愿者安排在 号赛场，
余下 个男志愿者随意安排，此时，不同的安排种数为 ；
②女志愿者甲没被选中，则还需从剩余 人中选出 男 女，选法种数为 ，
编号为 的赛场必须安排女志愿者，只需从 名女志愿者中抽 人安排在 号赛场，
余下 人可随意安排，此时，不同的安排方法种数为 .
由分类加法计数原理可知，不同的安排方法种数为 种 .
故选：D.
11、
【答 案】
暂无
【分析】
略
12、
【答 案】
A
【分析】
根据余弦函数、正切函数的性质可得当 取最小值时 取最大值，则问题转化为求出 的最小值，依
题意利用两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系得到 ，再结合二次函数的性
质求出 的最小值，最后根据同角三角函数的基本关系计算可得.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，则 ， ，
且 在 上单调递减， 在 上单调递增，
要使 取最大值，只需 取最小值，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以当 时 ，
此时 ，解得 或 （舍去），
所以 .
故选：A
二、填空题
13、
【答案 】
【分析】
利用复数的概念可得出关于实数 的不等式与等式，解出 的值，可得出复数 ，再利用复数的除法可化简复数
.
【详解】
因为复数 是纯虚数，其中 ，则 ，解得 ，
所以， ，因此， .
故答案为： .
14、
【答 案】
/
【分析】
根据题设描述确定Q的轨迹，即可求其长度.
【详解】
由题意， 在面 的轨迹是以 为圆心，半径为 的四分之一圆弧，
所以轨迹长度为 .
故答案为：
15、
【答案 】
【分析】
若 是椭圆左焦点，数形结合及椭圆定义可得 ，结合已知和两点距离公式求椭圆参
数，进而可得离心率.
【详解】
由 ，则 在椭圆内，若 是椭圆左焦点，
所以 ，
仅当 共线且 在 之间时取等号，故 ，即 ，
而 且 ，则 ，故 ，
此时 ，故 .
故答案为：
16、
【答 案】
【分析】
先根据函数 的对称性得 的对称性，进一步求出函数的解析式，利用导数的几何意义建立方程求
解即可.
【详解】
因为函数 的图象关于直线 对称，所以 ，
即 ，所以函数 关于 对称，
当 ，即 时， ，则 ，所以 ，
故函数 在 处的切线为 ，即 ，
设直线 与 相切于点 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为：
三、解答题
17、
【答案 】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）由已知条件可推导出数列 为常数列，数列 为等比数列，求出这两个数列的通项公式，
可求得数列 的通项公式，即可证得 成立；
（2）由（1）可得出数列 的通项公式，利用分组求和法可求得 .
【详解】
（1）证明：因为 ①， ②，
① ②可得 ，且 ，
所以，数列 为常数列，且 ③，
① ②可得 ，且 ，
所以，数列 为等比数列，且该数列的首项为 ，公比为 ，
所以， ④，
③ ④可得 ，则 ，
所以， .
（2）解：由（1）可知， ，
则
.
18、
【答 案】
(1)列联表见解析，有 的把握认为年龄与戴口罩态度具有相关性
(2)分布列见解析，
【分析】
（1）根据频数分布表完善列联表，计算出卡方，即可得解；
（2）首先利用分层抽样求出愿意、不愿意戴口罩的人数，则 的可能取值为 、 、 ，求出所对应的概率，即
可得到分布列与数学期望.
【详解】
（1）依题 意可得 列联表如下：
年龄在50周岁以上（含50周岁） 年龄在50周岁以下 合计
愿意戴口罩 60 180 240
不愿意戴口罩 30 30 60
合计 90 210 300
，
故有 的把握认为年龄与戴口罩态度具有相关性；
（2）年龄在50周岁以上（含50周岁）愿意戴口罩的抽取 人，不愿意戴口罩的抽取 人，
则 的可能取值为 、 、 ，
所以 ， ， ，
所以 的分布列为：
则 .
19、
【答 案】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）取线段 的中点 ，连接 、 ，证明出 平面 ，利用面面垂直的判定定理可证得结论成
立；
（2）连接 ，取线段 的中点 ，连接 ，证明出 ，以点 为坐标原点， 、 、 的方向
分别为 、 、 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面 与平面 所成的锐二面角
的余弦值.
【详解】
（1）证明 ：取线段 的中点 ，连接 、 ，
因为 是等边三角形，且 ， 为 的中点，所以， ，
且 ，
因为 ， ， ，则 为等边三角形，
所以， ，
又因为 ，所 以， ，所以， ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，因此，平面 平面 .
（2）解：连接 ，取线段 的中点 ，连接 ，
因为 ，则 ，
又因为 ，故 为等边三角 形，
因为 为 的中点，所以， ，
又因为 平面 ，以点 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 、 、 轴的正方向建立如下图所
示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，取 ，则 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，取 ，可得 ，
因为 ，
因此，平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .
20、
【答 案】
(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）令 ，根据斜率之积及 可得 ，结合点在椭圆上求椭圆参数，即可得椭圆方
程；
（2）由题意，设 ，则 ，写出M，N两点坐标，求直线BM，联立椭圆求点Q坐
标，两点法判断 是否成立，即可证结论.
【详解】
（1）令 ，则 ，又 ，则 ，
所以 ，即 ， ，
由 在椭圆上，则 ，
联立以上两式，可得 ，故椭圆C的标准方程为 .
（2）由题设，直线 、 斜率存在且不为0， ，
令 ，则 ，故 ， ，
所以 ，联立 ，整理得 ，
显然 ，则 ，则 ，
由 ， ，即 ，
所以A，N，Q三点共线.
21、
【答案 】
(1)答案见解析
(2)
【分析】
（1）求出导函数，根据 ， 分类讨论即可，构造函数，利用导数法求解最值即可证明；
（2）把问题转化为方程 在区间 内有唯一解，构造函数，利用导数研究单调 性，数形结
合即可求解.
【详解】
（1）因为 ，所以 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时，令 得 ，令 得 ，
所以函数 的增区间为 ，减区间为 ，
令 ，则 ，令 得 ，
令 得 ，所以函数 的增区间为 ，减 区间为 ，
所以当 时， 取得最小值为 ，
所以 ，得证；
（2）由（1）知， ，
因为函数 在区间 内有唯一的零点 ，所以方程 在区间 内有唯一解，
令 ，则函数 与 在 上只有一个交点，
记 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
故 ，
所以 在 上单调递增，又 ，
如图：
要使方程 在区间 内有唯一解，则 .
所以a的取值范围是 .
【点睛】
方法点睛： 导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等 式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.
22、
【答 案】
(1) ，焦点为 ，顶点为 的抛物线（顶点除外）.
(2)
【分析】
（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式，可得曲线 的直角坐标方程；
（2）将曲线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，利用直线参数方 程中参数的几何意义求出
、同理得到 ，即可得解.
【详解】
（1）因为曲线 的极坐标方程为 ，
所以 ，又 ，所以 ，则 ，
所以 ，即 ，
因为 ，即 ，所以 ，
所以曲线 的直角坐标方程为 ，
曲线 可以由抛物线 向下平移 个单位得到，
所以曲线 为焦点为 ，顶点为 的抛物线（顶点除外）.
（2）将 代入 得 ，
设 ， 对应的参数分别为 ， ， ，
所以 ，
过点 作垂直于 的直线 的参数方程为 （ 为参数， ），
将 代入 得 ，
设 ， 对应的参数分别为 ， ， ，
所以 ，
所以 .
23、
【答案 】
(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）利用基本不等式可得出 ， ， ，结合不等式的基本性质可证得结
论成立；
（2）由已知等式可得出 ，利用柯西不等式可得出 ，再利用作商法可证
得结论成立.
【详解】
（1）证明 ：因为 、 、 都是正实数，
由基本不等式可得 ， ， ，
由不等式的基本性质可得 ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，故 .
（2）证明：等式 两边同时除以 可得 ，
由柯西不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故 ，
所以， ，故 .