2022~2023学年贵州铜仁地区高三上学期文科期末数学试卷（PDF版含解析）

2022~2023学年贵州铜仁地区高三上学期文科期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、已知集合 ，则 （ ）
A.
B.
C.M
D.N
i
2、在复数范围内，复数 的共轭复数的模是（ ）
i
A.
B.
C.
D.
3、已知向量 ，满足 ，则动点 的轨迹是（ ）
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.双曲线
4、世界人口变化情况的三幅统计图如图所示．
下列结论中错误的是（ ）．
A.从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加
B. 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
C. 年到 年各洲中北美洲人口增长速度最慢
D. 年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平
5、已知实数x，y分别是方程 的解，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
6、已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 是抛物线 上不同两点，且 ， 中点的横坐标为 ，则
（ ）
A.4
B.5
C.6
D.8
7、设 则a，b，c之间的大小关系式是（ ）
A.
B.
C.
D.
8、函数 在区间 的图象大致为（ ）
2
A.
B.
C.
D.
9、在棱长为1的正方体 中，下列结论错误的是（ ）
A.
B.若E是棱 的中点，则 //平面
C.正方体 的外接球的表面积为
D. 的面积是
10、已知等比数列 的前 项和 ，且 ，则数列 的前 项和
（ ）
A.
B.
C.
D.
11、已知 ，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
12、已知正四棱锥的体积为 ，则该正四棱锥内切球表面积的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知数列 满足 ，且 ，则 ．
14、从3男2女共5名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生参加的概率为 ．
15、已知直线 ， ，当任意的实数m变化时，直线 与 的交点的轨
迹方程是 ．
16、已知函数 满足 函数 恰有5个零点，则实数a的取
值范围为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
设 的三个内角A，B，C所对的边长为a，b，c， 的面积为S．且有关系式：
．
(1)求C；
(2)求 的最小值．
18、（本小题8分）
如图，在直三棱柱 中， ， ， ，M，N分别是 ，
的中点．
(1)求证： ；
(2)求三棱锥 的体积．
19、（本小题8分）
在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物资，保障
抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管
理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六
组： ，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求出直方图中m的值，并利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位
数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；
(2)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的 口罩为一等品．利用分层抽样的方法从
该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口门罩中恰
好有1个口罩为一等品的概率．
20、（本小题10分）
已知函数 ，曲线 在点 处的切线与直线 垂直．
（1）求函数 的单调区间和极值；
（2）求证：当 时， ．
21、（本小题12分）
平面内定点 ，定直线 ，P为平面内一动点，作 ，垂足为Q，且 ．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过点F与坐标轴不垂直的直线交动点P的轨迹于A，B两点，线段 的垂直平分线交x轴于点R，试判断
是否为定值．
22、（本小题12分）
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为
，曲线C的参数方程是 （t是参数）．
(1)求直线l及曲线C的直角坐标方程；
(2)求直线l被曲线C截得弦 的长．
23、（本小题12分）
设不等式 的解集为 ．
(1)求证： ；
(2)试比较 与 的大小，并说明理由．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
C
【分析】
求出集合 再求并集可得答案.
【详解】
因为 ，所以 ．
故选：C．
2、
【答 案】
B
【分析】
根据复数的除法运算可得 i，再结合共轭复数和模的概念求解.
【详解】
i i i
因为复数 i，
i i i
所以 i，其模为 i ．
故选：B．
3、
【答 案】
B
【分析】
将坐标代入运算后即可辨析为圆的标准方程.
【详解】
因为 ，
所以 ，
即 ．
故动点 的轨迹是一个圆 ．
故选：B．
4、
【答 案】
C
【分析】
由折线图可以看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确；
由扇形统计图可知 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故B正确；
由条形统计图可知 年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故D正确；
根据三幅统计图并不能得到各个洲人口增长速度的快慢，故C错误．
故选：C．
5、
【答 案】
C
【分析】
根据实数x，y分别是方程 的解可得 ，进而可得 .
【详解】
因 表示实数t的范围是 ，
所以 ．
所以 ，
且当 时， 有最大值是3；
当 时， 有最小值是0．
故 的取值范围是 ．
故选:C．
6、
【答 案】
D
【分析】
根据抛物线焦半径公式求解即可.
【详解】
解：由题知 ，即 ，设 ，
因为 ， 中点的横坐标为 ，所以 ，
所以，由抛物线焦半径公式得
故选：D．
7、
【答 案】
B
【分析】
构造函数 ，利用导数判断出 的单调性可得答案.
【详解】
，
构造函数 ，得 ，
由 得 e时 ，
知 在区间 e ∞ 上是增函数，于是 ，即 .
故选：B．
8、
【答 案】
D
【分析】
判断函数的奇偶性，结合函数值的正负情况，即可得答案.
【详解】
由于 ，\xinR,
则 ，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，
而A,B 中图象不是关于原点对称，故A,B错误；
当\xin 时， ，∴ ，
则当\xin 时， ，故C错误，
只有D中图象符合题意，
故选：D．
9、
【答 案】
D
【分析】
对于A,连接 ，利用线面垂直的判定定理可得 平面 ，即可判断；对于B，利用线面平行的判
定定理即可判断；对于C，利用正方体外接球的直径长度为体对角线长度即可判断；对于D， 为等边三
角形，利用面积公式即可
【详解】
对于A，连 接 ，
由正方体可得 平面 ， 平面 ，
所以 ，在正方形 中， ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，
所以 ，故A正确；
对于B，
因为 // ， = ，所以四边形 是平行四边形，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，故B正确；
对于C, 正方体 的外接球的直径长度为正方体体对角线的长度 ，
所以外接球的表面积为 ，故正确，
对于D，
因为 是正三角形，其边长为 ，
所以它的面积为 ，即D错误．
故选：D．
10、
【答案 】
B
【分析】
根据等比数列前 项和求出参数 的值，以及 的通项，从而得到 ，再利用裂项相消法求和即可；
【详解】
解：因为等 比数列 的前 项和 ，当 时， ，即 ，当 时，
，即
所以 ，解得 ，所以 ，
则
所以
故选：B
【点睛】
本题考查 由前 项和求数列的通项公式，以及裂项相消法求和，属于中档题.
11、
【答 案】
B
【分析】
利用两角和与差的正弦公式结合三角函数的值域求解.
【详解】
设 ，又 ，则有
由三角函数的有界性，知
，
所以 ．
故选：B．
12、
【答案 】
A
【分析】
将问题转化为正四棱锥内切球的大圆是 的内切圆，利用几何关系表示出内切球的表面积，利用基本不
等式求最大值.
【详解】
如图，在 正四棱锥 中，M、N分别是线段 、 的中点，
该正四棱锥内切球的大圆是 的内切圆．圆心为E．
设 ，则圆E的半径
．
．
于是，正四棱锥的体积为 ，
即有 ，
所以 ，
此时，该正四棱锥内切球 的表面积
．
，
即 ．
当 ，即 时取等号，故 max ．
故选：A．
二、填空题
13、
【答 案】
/
【分析】
化简可得 ，则 ，进而得到 .
【详解】
由 ，得 ，且 ，
则 是首项为2，公差为1的等差数列，
所以 ，故 ，
故答案为： .
14、
【答案 】
/
【分析】
求得全是男医生参加的概率，根据对立事件的概率公式，即可求得答案.
【详解】
由题意从3男2女共5名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，共有C 种选法，
如果全是男医生参加，则只有一种选法，此时的概率为 ，
故至少有1名女医生参加的概率为 ，
故答案为： ．
15、
【答 案】
【分析】
联立方程消m整理即可.
【详解】
联立两直线得 ，将这两式相乘，消去参数m，得 ，
即 ，可得轨迹方程为 ．
故答案为：
16、
【答 案】
e
【分析】
把函数零点问题转化为两函数交点问题，再结合函数图象，利用导数求切线进行求解.
【详解】
因为函数 满足 ，
所以 ，
因为函数 恰有5个零点，
所以函数 与 的图象恰有5个 交点，如图，
因为 与 交于原点，要恰有5个交点，
与 必有2个交点，
设 与 相切，切点为 ，
此时切线斜率为 ，解得 ，
解得 e，所以切点为 e ，所以 e ，解得 ，
e
所以要使函数 恰有5个零点，则 ．
e
故答案为： .
e
三、解答题
17、
【答案 】
(1)
(2) ．
【分析】
(1)根据二倍角公式可得 ，再根据正弦定理可得 再用余弦
定理求解；
(2)利用三角形的面积公式和余弦定理可得 ，再利用基本不等式求解.
【详解】
（1）由二 倍角公式，得
，
即 ，
由正弦定理、余弦定理，得
，
，
又因为 ，所以 ．
（2）注意到 ．
由余弦定理，得
，
所以 ．
当 时等号成立，故 的最小值为 .
18、
【答案 】
(1)详见解析
(2)
【分析】
（1）利用面面垂直的性质定理证明线线垂直；
（2）利用等体积公式，转化为 ，即可求解体积.
【详解】
（1）因为 三棱柱是直三棱柱，
所以平面 平面 ，且平面 平面 ，
因为 ， ，且点 是 的中点，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ；
（2）三棱锥 ,
由条件可知 是等腰直角三角形， ，
所以 ，点 到平面 的距离 ，
.
19、
【答案 】
(1) ，平均数为71，中位数为73.33
(2)
【分析】
（1）利用频率之和为1可算出 ，然后利用直方图的平均数，中位数计算方式即可求解；
（2）所抽取的5个口罩中一等品，二等品各有3个，2个，记3个一等品为a，b，c，2个二等品为d， e，从5个口
罩中抽取2个的可能结果10种，恰有1个口罩为一等品的可能结果共6种，利用古典概型概率公式求解即可
【详解】
（1）由 得 ，
所以该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为
，
设中位数为n，
因为 ，
所以中位数位于 ，
则 ，得 ，
故 ，可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33．
（2）由频率分布直方图可知，100个口罩中一等品，二等品分别有 个，
个，由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品，二等品分别有3个，2个，
记3个一等品为a，b，c，2个二等品为d，e，
则从5个口罩中抽取2个的可能结果有： ，共10
种，
其中 ，恰好有1个口罩为一等品的可能结果有： ，共6种，
故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为 ．
20、
【答 案】
（1） 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增； 极小值 ，无极大值；（2）
证明见解析.
【分析】
（1）解：定义域： ，
∵ ，∴ ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增；
极小值 ，无极大值．
（2）证明：由（1）知 ，
令 ，
则 ，
， ， ，
∴ ，即 在 ， 上单调递减，
，
∴当 时， ．
21、
【答 案】
(1)
(2) 为定值．
【分析】
（1）设 ，利用 可得到 ，化简即可；
（2）设 ，与椭圆的方程进行联立可得 ，可求出
的坐标，继而求出线段 的垂直平分线的方程，通过距离公式和弦长公式即可求解
【详解】
（1）设 ，因为 ，即 ，
所以
化简整理，得 ，
所以动点P的轨迹方程为
（2）法一：由条件可得直线 的斜率必存在且不为0，可设 ，
联立方程组 消去y，得 ，
设 ，则 ，
设 中点为 ，知 ， ，
∴线段 的垂直平分线的方程为 ，
令 ，得 ，所以 ，
而 ，
∴ 为定值．
法二：设直线 的方程为 ，
联立方程组 整理得 ，
设 中点为 ，则 ，
由 可得 ，
∴ ，
，
又线段 的垂直平分线方程为 ，
令 ，得 ，
∴ ，
∴ 为定值．
【点睛】
方法点睛 ：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ） 的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题 中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22、
【答 案】
(1) ， ；
(2) .
【分析】
（1）根据给定方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式和消去参数方程中参数求解作答.
（2）联立直线l与曲线C的直角坐标方程，利用弦长公式求解作答.
【详解】
（1）因为 ，则 ，
即 ，把 代入得， ，
所以直线l的直角坐标方程是 ；
由 变形得， ，则有 ，
所以曲线C的直角坐标方程是 ．
2 （ ）把直线 的方程 ，代入曲线C的方程： ，得 ，即
，
，设 ，则 ，
于是 ，
所以直线l被曲线C截得弦 的长 .
23、
【答案 】
(1)证明见解析
(2) ，理由见解析
【分析】
（1）分 、 、 讨论去绝对值求出集合 ，再利用绝对值三角不等式即可证明；
（2）首先根据题意得到 ，再计算 与 平方的大小，即可得到答案.
【详解】
（1）不等式 ，
或 或 或 或
，
即 ，
由 ，知 ，得 ，于是
；
（2） ．理由如下：
由得 ，知 ，
所以 ，
得 ，即 ．