2022~2023学年河南焦作解放区焦作市第一中学高二下学期期末数学试卷（PDF版含解析）

2022~2023学年河南焦作解放区焦作市第一中学高二下学期期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、设集合 ， ， 则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、设 是虚数单位，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
3、已知 的三个顶点的坐标分别为 ， 则 （ ）
A.0
B.
C.
D.
4、已知变量 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ）
A.6
B.
C.3
D.
π
5、双曲线 的两焦点间的距离为（ ）
A.2
B.
C.
D.1
6、函数 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
7、某样本的频率分布直方图如图，从样本中随机抽取一个数据，若该数据落在
， ， ， 内的概率之比为 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
8、某程序框图如图， 若输人 ， ， 则运行程序后输出的结果为（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
9、若直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
10、已知函数 ， 在 处取得最小值 ， 相邻对称轴间的距
离为 ，若将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 ，则函数 的对称中心不可
能为（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
11、已知点 ，抛物线 的焦点为 ， 射线 与抛物线 交于点 ，与拋物线准线相
交于 ，若 ， 则 的值为（ ）
A.
B.1
C.2
D.3
12、已知对任意的 ， 都有 ， 当 时， ， 而 ， 则方
程 的实数解的个数为（ ）
A.10
B.9
C.8
D.7
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、若存在 ， 使得 ， 则实数 的最大值为
14、已知函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围为 .
15、已知抛物线 在其上点 处的切线斜率之和为 2 ， 则直线 的倾斜角等于
16、已知函数 ， 若不等式 成立， 则实数 的取值范围
为
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
已知数列 满足 ，设 .
(1)判断数列 是否为等比数列，并说明理由;
(2)求 的通项公式.
18、（本小题8分）
已知命题p：“ x∈[1，2]， x2－lnx－a≥0”与命题q：“ x∈R，x2＋2ax－8－6a＝0”都是真命题，求实数a的取值
范围．
19、（本小题8分）
电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 名观众进行调查，其中女性有
名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于 分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有 名女性.
（1）根据已知条件完成下面的 列联表，并据此资料判断是否有 的把握认为“体育迷 ”与性别有关？
非体育迷体育迷合计
男
女
合计
（2）将日均收看该体育节目不低于 分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有 名女性，若从“超
级体育迷”中任意选取 人，求至少有 名女性观众的概率.
附：
20、（本小题10分）
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 是椭圆 上一点，且 轴.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，且 ，求直线 的方程.
21、（本小题12分）
已知函数 .
(1)若 ， ，求函数 的单调区间；
(2)若 ， 在 上存在极值，求 的取值范围.
22、（本小题12分）
已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合， 极轴与 轴的正半轴重合，圆 的极坐标方程为
，点 的极坐标为 ， .
(1)求点 的直角坐标及圆 的参数方程;
(2)已知直线 过点 ，求圆心 到直线 的 最大距离.
23、（本小题12分）
已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 的最小值不小于2，求实数 的取值 范围.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
A
【分析】
根据交集运算求解.
【详解】
由题意可 得： .
故选：A.
2、
【答 案】
B
【分析】
根据复数的除法运算和加法运算求解即可.
【详解】
由题意可得： .
故选：B.
3、
【答 案】
D
【分析】
根据题意，得到 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
由 的三个顶点的坐标分别为 ，
可得 ，则 且 ，
所以 .
故选：D.
4、
【答 案】
B
【分析】
先作出不等式组表示的平面区域,再平移求出直线 在y轴上的截距最大，此时 最大.
【详解】
作出不等式组 表示的平面区域，如图阴影部分所示：
由 可得 ，则 表示直线 在y轴上的截距，截距越大，
越大，结合图形可知，当 经过点A时, 最大，
可得 ，即 ，即 ，此时 取得最大值 .
故选：B
5、
【答 案】
A
【分析】
由双曲线方程求双曲线参数c，即可得焦距.
【详解】
π
由双曲线 得 ，所以 ，
所以该双曲线的两焦点间的距离为 .
故选：A
6、
【答 案】
D
【分析】
去掉绝对值，得到具体的函数表达式，即可作出判断.
【详解】
当 时 ， ，排除C；
当 时， ，排除AB选项.
故选：D.
7、
【答 案】
D
【分析】
设四个小组的频率分别为 ，根据频率之和为 ，即可得到 ，从而利用频率列式求解 .
【详解】
根据数据落 在 ， ， ， 内的概率之比为 ，
可设这四个小组的频率分别为 ，且频率之和为 ，即 ，
解得 ，则 ，解得 .
故选：D
8、
【答 案】
A
【分析】
根据给定的程序框图，逐次循环计算，结合判断条件，即可求解.
【详解】
根据给定的 程序框图，可得：
第1次循环，满足判断条件 ， ， ，执行循环；
第2次循环，满足判断条件 ， ， ，执行循环；
第3次循环，满足判断条件 ， ， ，执行循环；
第4次循环，满足判断条件 ， ， ，执行循环；
第5次循环，不满足判断条件 ，输出结果 .
故选：A.
9、
【答 案】
A
【分析】
根据题意，化简曲线为 ，再由直线恒过定点 ，结合图象和圆心到直线
的距离，列出方程，即可求解.
【详解】
由曲线 ，可得 ，
又由直线 ，可化为 ，直线恒过定点 ，
作出半圆与直线的图象，如图所示，
结合图象，可得 ，所以 ，
当直线与半圆相切时，可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A.
10、
【答案 】
C
【分析】
根据最小值，相邻对称轴的距离确定函数 的解析式，然后根据平移变换得到 的解析式，从而得到
，再求出 的对称中心，从而得到答案.
【详解】
函数 ， 在 处取得最小值 ，相邻对称轴间的距离为 ，
所以 ， ，则 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 ，
则 ，
所以 ，
当 时，即 ，
所以对称中心为 ，
当 时，对称中心为 ，
当 时，对称中心为 ，
当 时，对称中心为 ，
当 时， ，
所以函数 的对称中心不可能为 ， ，
故选：C.
11、
【答 案】
C
【分析】
过 作 准线，垂足为 ，根据抛物线的定义可得 ，可得
，运算求解即可.
【详解】
过 作 准线，垂足为 ，则 ，
由题意可得： ，
且 为锐角，则 ，
可得 ，
在 中， ，
即 ，解得 .
故选：C.
12、
【答案 】
B
【分析】
确定函数 的周期为2，在同一坐标系中，作出 的图象，再画出 的图象，观察得出交点个数，即为
方程解的个数．
【详解】
对任意的 ，都有 ，所以函数 的周期为2，又当 时， ，
在同一坐标系中作出 的图象，再画出 的图象，
观察可得交点个数为9，即方程 的实数解的个数为9.
故选：B.
二、填空题
13、
【答案 】
2
【分析】
根据题意求出 的最大值即可.
【详解】
当 时， 为减函数，
所以当 时， 有最大值2，故 .
故答案为：2
14、
【答案 】
【分析】
根据题意结合导数，将单调性问题转化为不等式恒成立问题，再转化为对应函数最值问题，最后根据函数最值
得结果.
【详解】
因为函数 在区间 上是增函数，
所以 在区间 上恒成立，即 ,
因为 = ，当且仅当 时取等号，
所以 最小值为4，即
故答案为：
【点睛】
本题考查利 用导数研究函数单调性以及不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属基础题.
15、
【答案 】
/
【分析】
设直线 的方程为 ，联立方程组，得到 ，在求得 ，利用导数的几
何意义，得到在点 处的切线斜率分别为 ，结合题意，求得 ，进而求得直线 的
倾斜角.
【详解】
设直线 的方程为 ，且 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，且 ，
又由 ，可得 ，可得 ，
所以在点 处的切线斜率分别为 ，可得 ，
即 ，可得 ，解得 ，
设直线 的倾斜角为 ，且 ，可得 ，所以 .
故答案为： .
16、
【答 案】
【分析】
用导数判断 的单调性，根据单调性解不等式.
【详解】
由 得， ，
所以 在 上为减函数，
由 得 ， 解得 或 .
故答案为：
三、解答题
17、
【答案 】
(1)是等比数列，理由见解析
(2)
【分析】
（1）整理得 ，即可证明；
（2）首先求出 ，则得到 .
【详解】
（1 ）由题知: 即: ，又 ，
是以1为首项,2为公比的等比数列
（2）由（1）知: ， .
18、
【答案 】
(－∞，－4]∪[－2， ]
【分析】
根据题意，命题p，利用恒成立问题方法转化，求出a的取值范围；
命题q，由一元二次方程的根的情况分析可得a的取值范围，根据p、 q都是真命题，将两次求出的a的范围求交集
即可.
【详解 】
命题p：a≤ x2－lnx在x∈[1，2]上恒成立，令f(x)＝ x2－lnx，f ′(x)＝x- ＝ ，
x
当10，∴f(x)min＝f(1)＝ .∴a≤ . 即：当a≤ 时，p是真命题.，
命题q：Δ＝4a2－4(－8－6a)≥0，∴a≥－2或a≤－4.即当 a≥－2或a≤－4时，q是真命题，
综上，a的取值范围为(－∞，－4]∪[－2， ]．
【点睛】
以命题的 真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题化简，判断每个简单命题为真(假)时，参数
的取值范围，再根据题意，求解集的交、并、补即可.
19、
【答案 】
（1）列联表答案见解析，没有 的把握认为“体育迷”与性别有关；（2） .
【分析】
（1）根据频率分布直方图，计算体育迷的人数，再结合条件依次填入 列联表，并计算 ，并和临界值
比较后进行判断；（2）首先由频率分布直方图计算“超级体育迷”的人数，在通过编号列举的方法，利用
古典概型的计算公式计算概率.
【详解】
（1）由频 率分布直方图可知，在抽取的 人中，“体育迷”有 人，从而完成 列联表如下：
非体育迷 体育迷 合计
男
女
合计
将 列联表中的数据代入公式计算，
得 ，
∴没有 的把握认为“体育迷”与性别有关；
（2）由频率分布直方图可知“超级体育迷”为 人，设 是3名男超级体育迷， 是2名女超级体育迷，
从而一切可能结果所组成基本事件为：
， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
则由 个基本事件组成，而且这些基本事件的出现 是等可能的，
用 表示“任选 人中，至少有 人是女性”这一事件，
则 由 ， ， ， ， ， ， ，
这 个基本事件组成，因而 .
20、
【答 案】
(1)
(2) 或
【分析】
（1）根据点的坐标和椭圆的定义求出c和a，然后求出椭圆方程即可；
（2）设直线 ： ，与椭圆方程联立，根据向量的坐标运算结 合韦达定理列式求解即可.
【详解】
（1） 轴， ， .
， ， ，
椭圆 的标准方程为 .
（2）由题意可设直线 的方程为 ，
由 消去 得 ，
易知 ，设 ，则 ， .
， ， ，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 或 .
.
21、
【答 案】
(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为
(2)
【分析】
（1）求导，利用导数求解函数的单调区间；
（2）把 在 上存在极值转化为 在 上有异号零点，令 ，求导得 在区间
上单调递增，利用零点存在性定理列不等式求解即可.
【详解】
（1）由题 可知 ， ，
令 ，得 .令 ，得 .令 ，得 .
所以 单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2）由题可知 ，则 .
令 ，则 .
所以 在 上恒成立，所以 在区间 上单调递增.
因为 ， ， 在区间 上有极值.
所以 ，解得 .
22、
【答案 】
，
(1) ， ( 为参数)
(2)
【分析】
（1）将圆的极坐标方程化成普通方程，再写出参数方程；把点的极坐标方程化成直角坐标方程得出；
（2）当 时， 的长度即圆心 到直线 的最大距离，由两点距离公式求出即可.
【详解】
（1）点 的直角坐标为 ， 即
因为 ，
两边同时乘以 可得 ，即 ，
化简可得圆 的普通方程为 ，
，
圆 的参数方程为 ( 为参数).
（2）当 时， 的长度即圆心 到直线 的最大距离.
又圆心 与点 的距离为 ，
所以圆心 到直线 的最大距离为 .
23、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）分类讨论解绝对值不等式，最后求并集即可求解；
（2）求出函数 的最小值，列不等式求解即可.
【详解】
（1）当 时，不等式可化为 即 ，则不等式解集为 ；
当 时，不等式可化为 即 ，则不等式解集为 .
综上，原不等式的解集为 .
（2） ，
显然 ，即 ，依题知 ，解得 .
所以实数 的取值范围为 .